1988 год. Это был последний шанс нашей сборной завоевать звание чемпиона Европы по футболу. После фантастических голов Рууда Гуллита и Марко ван Бастена советские футболисты проигрывали со счетом 0:2, но время еще оставалось, и тут – это не так часто случается в финалах чемпионатов Европы! – судья назначил пенальти в ворота голландцев. Бить взялся Игорь Беланов, за два года до этого названный лучшим футболистом континента. Он забивал пенальти выдающимся вратарям – Ринату Дасаеву и Жан-Мари Пфаффу. На его удар было просто невозможно среагировать: мяч летел, как ядро. Неудивительно, что голландский вратарь Ханс ван Брекелен даже не пытался реагировать. Он бросился наугад. Пущенный Белановым с невероятной силой мяч попал ему в ногу и отскочил на поле. В такой же ситуации в 2018 году удача оказалась на нашей стороне – в серии пенальти с испанцами мяч попал в ногу Игорю Акинфееву, но тридцать лет назад, в 1988-м, сборная СССР упустила свой шанс.

Конечно, это была чистая случайность. Сильно пущенный мяч пролетает 11 метров за полсекунды, и никакая реакция не может здесь помочь. Полети мяч в другой угол, ван Брекелен оказался бы бессилен, а наша сборная получила бы возможность отыграться. Но, оказывается, ван Брекелену есть чем гордиться. Прыгая “случайно”, он поступил оптимальным образом.

Если спросить экономиста, что произойдет в ситуации, когда у участников есть возможность выбирать стратегию, он вам ответит: надо посмотреть, что произойдет в равновесии. А что такое равновесие? Это такой выбор стратегии каждым из действующих лиц, при котором они, даже зная, какую именно стратегию выбирают остальные, не стали бы пересматривать свой выбор.

И все же, что происходит, если, узнав о выборе других, хочется поменять свой? Представьте себе такую игру: один игрок пишет на бумажке “черное” или “белое”, а второй угадывает. Если угадает, то заработает рубль, а если нет – проиграет столько же. Правила понятны?

В этой игре у каждого из игроков есть по две стратегии: у одного – загадать один из двух цветов, у другого – сказать “черное” или “белое”. Но если стратегия первого будет состоять в том, чтобы загадывать “белое”, то второй, конечно, станет говорить “белое” и выигрывать. А если загадывающий знает, что второй собирается сказать “белое”, то он лучше загадает “черное” и окажется в выигрыше. Получается, что на каждый выбор загадывающего имеется такой ответ, что ему захочется поменять свой выбор. И наоборот, если бы тот, кто загадывает, знал, какую стратегию применяет второй, он бы поменял цвет. Так что чистые стратегии в этой игре не дают равновесия.

Зато если загадывающий “смешает” стратегии – подкинет тайком монетку и, если выпадет решка, напишет “белое”, а если орел – “черное”, – то у второго есть такой ответ, что первому все равно будет выгодно придерживаться этой смешанной стратегии. А именно, второй игрок тоже будет подкидывать тайком монетку и называть цвет в зависимости от того, какой стороной она выпала. Таким образом и будет достигнуто равновесие.

Нечто похожее происходит и при исполнении 11-метрового. Грубо говоря, у бьющего пенальти есть три стратегии: ударить в правый угол, в левый или, сделав вид, что бьет в угол, ударить по центру. И у вратаря возможностей тоже три: прыгнуть вправо, прыгнуть влево и остаться на месте. Точно так же, как и в игре с загадыванием цветов, равновесие здесь возможно только “смешанное”. В голове у вратаря должен быть небольшой датчик случайных чисел.

Игра в “черное” и “белое” показывает, что без смешанных стратегий часто не обойтись. Это теоретически. Три американских экономиста – Стивен Левитт, один из авторов популярной книги “Фрикономика”, Пьер-Андре Кьяппори и Тимоти Гроусклоуз – решили посмотреть, насколько точно следуют предписаниям экономической теории профессиональные футболисты. Оказалось, что и вратари, и пенальтисты довольно устойчиво следуют равновесным стратегиям – прыгают и бьют по углам случайным образом.

Как проводилось исследование? Чтобы определить, в какой угол прыгал вратарь и куда бил игрок, исполняющий 11-метровый, экономисты просмотрели фрагменты матчей французской и итальянской профессиональных лиг за три года. За это время было пробито 459 пенальти 162 игроками, в воротах стояли 88 вратарей. Из пенальтистов 58 % пробили не менее чем по четыре раза. Ни один из них не бил в один и тот же угол.

Для статистического анализа было бы хорошо располагать сведениями о конкретных парах вратарь – пенальтист, которые встретились бы в 11-метровом раз двадцать за несколько лет. К сожалению, один и тот же пенальтист с одним и тем же вратарем встречается, как правило, не чаще, чем два-три раза за карьеру.

Важнейшее предположение, которое необходимо было сделать авторам, состояло в том, что вратарь и игрок, бьющий пенальти, делают свой выбор – куда прыгать и куда бить – одновременно. Несмотря на то что может показаться, будто исполнитель пенальти часто ждет, пока вратарь начнет движение в угол, предположение о том, что решения принимаются независимо, вполне согласуется с данными. Авторам не удалось обнаружить корреляцию, то есть статистическую зависимость, между направлениями броска вратаря и удара. Кстати, в точном соответствии с наблюдениями футбольных знатоков, выбор игрока не зависит от того, как прыгал вратарь в предыдущих случаях, а вот вратари, по-видимому, знают о приемах бьющих пенальти игроков. На чемпионате мира 2006 года у вратаря сборной Германии Йенса Леманна даже была шпаргалка: как били пенальти игроки команды соперников, и он подглядывал в нее между ударами.

Впрочем, даже здесь теоретическое соображение о том, что прыгать нужно “случайно”, сработало. Когда аргентинец Роберто Айяла готовился к удару, Леманн посмотрел в шпаргалку и, увидев, что там написано “правый угол”, прыгнул влево (перепутал, проигнорировал?) и отбил удар. Есть и некоторые тонкости – например, игроки-правши (примерно 85 % всех игроков) предпочитают бить, как правило, в левый от себя угол. При статистических вычислениях это нужно учитывать. Вероятность гола, если вратарь выбрал “неправильный” угол – от 82 до 95 % (результат варьируется в зависимости от того, насколько точно произведено измерение), а если “правильный” – то от 43 до 64 %. Доказательство того, что футболисты используют именно смешанные стратегии, – отсутствие закономерности в последовательности ударов одного игрока и направлений прыжков одного вратаря. Работа трех экономистов в основном состояла в очистке исходных данных, чтобы никакие статистические погрешности не помешали уловить то, что профессиональные футболисты действительно “смешивают” стратегии – прыгают и бьют случайным образом.

Конечно, было бы странно предполагать, что профессиональные голкиперы, у подавляющего большинства которых нет высшего образования, что-нибудь слышали о смешанных стратегиях. Или чтобы они тайком от телекамер подкидывали монетку, обеспечивая “случайность” своих действий. Однако вполне может так быть, что вратари, играющие в лучших профессиональных лигах, прошли среди прочего “естественный отбор” по врожденной способности смешивать стратегии.

Это касается не только футбола. В статье экономистов Уокера и Вудерса, опубликованной в American Economic Review в 2001 году^[21], рассматривались стратегии, применяемые сильнейшими теннисистами мира. Оказывается, их действия вполне соответствовали теории, причем взрослые, сложившиеся игроки “смешивали” гораздо лучше, чем юные.

Недавно я слышал, как один лектор в серьезном экономическом вузе бросил ассистенту по курсу теории игр: “Поставьте в экзамен задачи на чистые стратегии. Смешанные – это теоретики выдумали”. Бог с ним, с футболом. Интересно, приходилось ли этому лектору когда-нибудь играть в преферанс, бридж или хотя бы в дурака? Если он не использовал смешанные стратегии, то, наверное, часто проигрывал.

Что такое чистая, то есть несмешанная, стратегия в преферансе? Это значит, что, если даже вам все равно, какую карту сбрасывать на козырь оппонента или с какой делать заход, вы в одной и той же ситуации (при одном и том же раскладе) всегда делаете одно и то же. Вспоминается – внимание: неправильный! – совет бабушки пирата из шуточной песенки Эдуарда Успенского: “И всегда ходи с бубей, если хода нету!” Если вы последуете этому совету, то оппонентам будет гораздо легче играть против вас, потому что ваши ходы будут нести больше информации о тех картах, которые у вас на руках. Если при игре в дурака вы будете придерживаться какой-то заранее заданной чистой стратегии (иными словами, у вас будет листочек с описанием вашего хода в каждой возможной ситуации), это значительно упростит игру вашим соперникам.