[1] Изучение отдельных компонентов ценовой эластичности помогает понять тенденции эластичности на длинном временном горизонте:

Это эффект абсолютной цены ∂q_t/∂p_t, объем продаж q_t и цена p_t.

Если исходить из типичного жизненного цикла с нисходящим и восходящим трендом, объем q_t вырастет до максимума в фазе зрелости. При условии отсутствия ценового эффекта и такой же цены (при прочих равных) ε_t будет снижаться при восходящем тренде жизненного цикла. Обратное справедливо для нисходящего тренда. Такой рост объема часто сопровождается снижением цен. Снижение эластичности в этом случае усиливается. Чтобы получить усиление (в абсолютном выражении) роста ценовой эластичности в восходящем тренде жизненного цикла, согласно Mickwitz [3], должны выполняться следующие условия.

• При постоянной цене ценовой эффект должен расти резче, чем объем продаж. Если взять реалистичные величины роста (объем продаж часто растет в 10, 20 и даже 100 раз), проблематичность данной предпосылки становится очевидной.

• Если цена снижается, ценовой эффект должен расти еще быстрее, чем соотношение (p_t/q_t) – снижаться. Подобное развитие событий еще менее вероятно, особенно на рынках с сильными эффектами кривой опытности. За несколько лет цены на калькуляторы, кварцевые часы, мобильные телефоны и цифровые камеры упали до незначительной доли от их начального уровня.

Всегда следует помнить, что ценовая эластичность – мера относительная. Если снижение цены в фазе внедрения составляет 10 % и объем продаж растет с 10 до 14 единиц (то есть на 4 единицы), то ε_t = –4. Если объем продаж позже поднимется до 1000 единиц, то аналогичное снижение цены должно увеличить объем на 400 единиц. Тогда ценовая эластичность ε_t = –4. Подобное невероятно, по крайней мере, без значительного изменения структуры рынка.

[2] В уравнении (7.2) коэффициент переноса считается константой. Однако, если принимать в расчет жизненный цикл продукта, способность продукта удержать существующих клиентов или привлечь новых со временем снижается. Этого следует ожидать как минимум в начале фаз зрелости и спада. Коэффициент переноса со временем снижается. Если принять экспоненциальный спад со скоростью (1 – r), это дает следующую модификацию/версию уравнения (7.2):

Подобная модель переноса, которая варьируется со временем, остается простой и полезной для измерений. Она может учитывать самые разные формы жизненного цикла продукта [6].

[3] Связь между скоростью научения α и эластичностью χ становится ясна, если вставить Q_t = 2Q0 и k_t = (1 – α)k₀ в уравнение (7.3).

Получаем (для Q₀ = 1):

После логарифмирования и решения получаем:

Ценовая эластичность

или

Скорость научения

Разница (1 – α) называется уклоном кривой опытности.

[4] Выведение долгосрочного условия оптимальности с динамической функцией затрат.

Продифференцировав долгосрочную функцию прибыли по p_t, получаем:

Помножив на p_t/q_t и вставив ε_t для ценовой эластичности, получаем:

Дополняем слагаемые k_t+τ/k_t+τ и вставляем в

как эластичность удельных затрат в t + τ относительно цены в t. Решение для p_t:

Это можно записать как

где