Осуществляя свою программу поиска универсальных законов, Ньютон получил немало важных результатов в алгебре и геометрии. Особенно велик его вклад в создание дифференциального и интегрального исчислений. Математический анализ, ядро которого составляет дифференциальное и интегральное исчисление – самая тонкая область всей математики, – был построен на совсем не существующих логических основаниях арифметики и алгебры и на не вполне ясных основах евклидовой геометрии. В основе математического анализа лежит понятие функции. Не стремясь к особой строгости, функцию можно описать как зависимость между переменными. Но в XVII в. понятие иррационального числа еще не получило должного истолкования. Следовательно, едва зародившейся теории функций явно не доставало логических обоснований. Однако, поскольку в середине XVII в. математики привыкли свободно обращаться с иррациональными числами, на отсутствие таких обоснований никто не обращал внимания.

Две проблемы привлекли к себе внимание величайших математиков XVII в., наиболее известными среди которых были Кеплер, Декарт, Бонавентура Кавальери, Ферма, Блез Паскаль, Джеймс Грегори, Жиль Персон, Христиан Гюйнгенс, Исаак Барроу, Джон Валлис и, конечно же, Ньютон и Лейбниц. Каждый из этих ученых по-своему подошел к проблемам определения и вычисления производной и определенного интеграла. Одни из творцов дифференциального и интегрального исчисления рассуждали исключительно геометрически, другие – алгебраически, третьи использовали смешанный алгебро-геометрический подход. И для каждого из этих математиков было ясно одно: математические законы естествознания представляют собой истины, органически включенные Господом Богом в созданный им план Вселенной.

Из ранних попыток вычисления площадей и объемов с помощью определенного интеграла работа Бонавентуры Кавальери заслуживает внимания по двум причинам: во-первых, она оказала большое влияние на современников и на математиков последующих поколений и, во-вторых, довольно точно отражала типичные особенности характерного для того времени математического мышления, которое сегодня можно было бы назвать довольно смутным. Так, один из современных историков науки заявил, что если бы существовал особый приз за неясность, то работа Кавальери была бы тут вне всякой конкуренции и, безусловно, заслужила бы такую награду. Кавальери считал, что площадь фигуры, изображенная на рисунке, состоит из бесконечно большого числа элементов.

Эти элементы он называл неделимыми. Вполне возможно, что неделимыми могли быть отрезки прямых. У самого Кавальери не было ясности относительно того, что именно представляют собой его неделимые. Он лишь утверждал, что если площадь фигуры разбивать на все меньшие и меньшие прямоугольники, то в конечном итоге получатся неделимые.

В одной из своих книг «Шесть геометрических упражнений» Кавальери «объяснил», что рассматриваемая фигура состоит из неделимых, как, например, ожерелье – из бусин, ткань – из нитей и книга – из страниц. Руководствуясь столь неясными понятиями, Кавальери, тем не менее, научился сравнивать две площади или два объема и получать правильные соотношения между двумя сравниваемыми величинами. Не имея возможности объяснить, как из бесконечного числа элементов (неделимых) можно составить фигуру конечной протяженности, Кавальери пытался уйти от ответа на вопрос, отказываясь дать сколько-нибудь точную интерпретацию неделимых. Иногда он в довольно туманных выражениях говорил о бесконечной сумме линий, не объясняя явно природу бесконечности. В других случаях Кавальери называл свой метод не более чем прагматическим приемом, позволяющим заменить сложный метод исчерпывания, применявшийся древними греками. По свидетельству Кеплера, приведенному в его сочинении «Новая стереометрия винных бочек», Кавальери ссылался на современных ему геометров, обращавшихся с понятиями еще более свободно, чем он сам.

В защиту Кавальери выступил Паскаль. В своих «Письмах из Деттонвиля» (1658) он утверждал, что геометрия неделимых превосходно согласуется с евклидовой геометрией: «То, что может быть доказано с помощью истинных правил неделимых, может быть также доказано со всей строгостью на манер древних». По мнению Паскаля, геометрия неделимых Кавальери и геометрия древних греков отличаются только терминологией. Метод неделимых, считал Паскаль, должен быть принят каждым математиком, претендующим на то, чтобы считаться геометром. Но у Паскаля не было определенного мнения относительно математической строгости. Иногда он утверждал, что, подобно тому, как религия ставит милосердие превыше разума, так и для получения правильных результатов необходима истинная «утонченность», а не логика, присущая геометрии. Парадоксы геометрии, проявившиеся в математическом анализе, Паскаль сравнивал с кажущимися нелепостями христианства и считал, что неделимые значат в геометрии не более чем суд мирской в сравнении с судом Божьим.

Согласно Паскалю, необходимые поправки в идеи нередко вносит не разум, а душа. В своих «Мыслях» он говорит: «мы постигаем истину не только разумом, но и душой. Из последнего источника мы познаем первые принципы, и разум, не принимающий в этом участия, тщетно пытается сражаться с душой… на нашем знании души и инстинкта с необходимостью зиждется разум, и этим знанием он питается». В своем трактате «О геометрическом уме» Паскаль недвусмысленно заявляет: «Не стану говорить здесь о божественных истинах, ибо они бесконечно выше природы, и я не намерен подчинять их искусству убеждения. Один лишь Бог может располагать их в душе так, как Сам того пожелает. Мне известно, что по Его воле эти истины должны из сердца проникать в ум, но не наоборот, дабы смирилась гордыня рассудка, чающая быть судьей в делах волеизъявления…».

Наибольший вклад в создание математического анализа внесли Ньютон и Лейбниц. Ньютон почти не занимался понятием интеграла, но интенсивно разрабатывал понятие производной.

Заметим, что в XVII веке вся математическая наука именовалась геометрией, поскольку любая истина математики должна была получать геометрическую интерпретацию.

У Ньютона не было большой ясности относительно логического обоснования понятия производной. Его терминология туманна и в дальнейшем от неё откажутся. Внесенные Ньютоном изменения, по существу, никак не сказались на ходе вычисления производной, или, как ее предпочитал называть сам Ньютон, флюксии.

Учёный дал следующее объяснение понятия «флюксия»: «Флюксии, когда приращения флюэнт [переменных] возникает во все большем числе, отличаются сколь угодно мало и сами сколь угодно малы, и если говорить точно, то «они пропорциональны возникающим приращениям…».

Самым сильным нападкам математический анализ подвергся со стороны философа епископа Джорджа Беркли, опасавшегося, что вдохновляемая математикой философия механицизма и детерминизма создаст растущую угрозу религии. В 1734 году Беркли опубликовал сочинение под названием «Аналитик или Рассуждение, адресованное одному неверующему математику», в котором исследуется, является ли предмет, принципы и заключения современного анализа, более отчетливо познаваемыми и с большой очевидностью выводимыми, чем религиозные таинства и положения веры. Беркли с полным основанием сетовал на загадочность и непонятность того, чем занимаются математики, поскольку те никак не обосновывали и не объясняли своих действий. Беркли подверг критике многие из рассуждений Ньютона, и, в частности, указал на то, что в рассуждении о квадратуре кривых Ньютон (обозначивший приращение через x, а не через h) выполнил несколько алгебраических операций, после чего отбросил члены, содержавшие h, мотивируя это тем, будто приращение h обратилось в ноль. Поступая так, по мнению Беркли, Ньютон допустил вопиющее нарушение закона противоречия. Такого рода рассуждения в теологии были бы признаны неприемлемыми. Беркли утверждал, что первые флюксии (первые производные), по-видимому, выходят за рамки человеческого разумения, поскольку находятся за пределами конечного: «а если непостижимы первые [флюксии], то что можно сказать о вторых, третьих [производных от производных] и т.д. тот, кто сумеет постичь начала начал или конец концов возможно окажется достаточно проницательным, чтобы понять подобные вещи. Но, по моему глубокому убеждению, большинство людей не в состоянии понять их в каком бы то ни было смысле… тому, кто сумеет превратить вторую и третью производную, думается … вряд ли стоит особенно привередничать по поводу того, или иного пункта в Священном писании».

Говоря об исчезновении (обращении в ноль) h и R, Беркли заметил: «предполагая, что приращения исчезают, мы, несомненно, должны предположить, что их пропорции выражения и все вытекающее из их существования, исчезают вместе с ними». По поводу предложенного Ньютоном представления о производных как об отношении двух исчезающее малых величин h и R, Беркли высказался так: «они не конечные величины, не величины бесконечно малые, не ничто. Как же не назвать их призраками покинувших нас величин».

Несколько иной подход к математическому анализу предложил Лейбниц. По его мнению, величины, обозначенные как h и R (Лейбниц обозначил их символами dx и dy), убывая, достигают «исчезающе малых», или «бесконечно малых» значений.

Лейбниц утверждал, что бесконечно малое – не действительные, а некие фиктивные числа. Но эти фиктивные, или мнимые, числа подчиняются тем же правилам арифметики, что и обычные числа. По мнению Лейбница, все эти предельные величины, т.е. все эти действительные бесконечности и «бесконечно малые», можно использовать как удобный рабочий инструмент в вычислениях подобно тому, как алгебраисты с превеликой пользой используют мнимые корни. Напомним, что во времена Лейбница мнимые корни имели весьма шаткий статус.

Поскольку приводимые Лейбницем доводы не удовлетворяли его критиков, он сформулировал философский принцип, известный под названием принципа непрерывности.

Столь же критически, как и к идее Ньютона, Беркли отнесся и к подходу Лейбница. В своем «Трактате о принципах человеческого знания» философ писал: «некоторые из них, имеющие громкое имя, не довольствуются мнением, будто конечные линии могут быть делимы на бесконечное число частей, но утверждают далее, что каждая из этих бесконечно малых частей в свою очередь делима на бесконечное число других частей или бесконечно малых величин второго порядка, и т.д. ad infinitum. Они утверждают, говорю я, что существуют бесконечно малые части бесконечно малых частей и так далее без конца… Другие утверждают, что все порядки бесконечно малых величин ниже первого порядка, суть ничто…».

Показательно, что Беркли завершает свой трактат «Аналитик, или Рассуждение, адресованное неверующему математику» целой серией вопросов. Вот некоторые из них: «Разве математики, столь чувствительные в вопросах религии, столь же скрупулезны, придирчивы в своей науке? Разве не полагаются они на авторитет, принимая многое на веру, и разве не веруют они в вещи, непостижимые для разума? Разве нет у них своих таинств и, более того, своих несовместимостей и противоречий?»

Если исходить из того, что все выдающиеся математики XVII столетия были по совместительству не менее выдающимися теологами и что вселенную они, прежде всего, воспринимали как воплощение безупречного Порядка, а Бога – как Великого Геометра (вспомним, что именно геометрия в XVII столетии была синонимом математики в целом), то вполне естественно, на наш взгляд, предположить, что идеи дифференциала и интеграла, развитие которых произошло при анализе мгновенной скорости и неравномерного движения, возникли из общей теологической установки на проблему движения и времени. А эта установка была задана еще Аристотелем и воплотилась в идее Перводвигателя, но именно комментарии Фомы Аквинского к идее Перводвижения и абсолютного покоя и лежат в основе времени и Вечности всей западноевропейской схоластики, о связи которой с концепцией времени Декарта и Ньютона мы уже говорили выше.

Заметим, что именно движение лежит в основе математического анализа, но движение, как синоним времени, а затем и пространства, является основополагающим понятием как у Аристотеля, так и в эпистемологии св. Фомы. Ибо «время есть движение сотворенной вещи».

Выше был приведён пример того, как понимает принцип непрерывности Лейбниц, когда он пытается доказать свой подход к математическом анализу. Этот принцип непрерывности выражен в комментарии Фомы Аквинского к «Метафизике» Аристотеля, когда речь заходит о Перводвигателе: «И так же как ее [первой сферы] движение вечно, она не должна сама по себе изменяться, и по субстанции должна быть всегда одной и той же, поэтому ясно, что первое из движений, коим движется «первая сфера», необходимо должно быть движением в пространстве, то есть изменением по положению в пространстве…

…Потому коль скоро первая сфера изменяется лишь по месту, но не по субстанции, то первый двигатель неподвижный и всегда актуальный ни при каких обстоятельствах не может быть каким-то иным, чем каков он есть, ибо не движется никогда. Ведь если бы даже он и двинулся, то двинулся бы исключительно первым из движений, каковое суть движение в пространстве, а первое из такого рода движений – движение круговое. Но сам он не движется, и так сообщая такого рода движение, которое он движет, подобно тому, как и первая причина изменения сама не подвержена изменению. Не двигаясь же движением круговым, он не движется и никак иначе. Поэтому-то он и не может быть каким-то иным, чем каков он есть. Из этого следует, что первое из движений существует в том, что движется необходимым образом; ибо необходимо то, чего не может не быть, но при этом оно необходимо не в том смысле, в котором что-то необходимо делается по принуждению, а в том, что необходимо пребывает в наилучшем из состояний».

Вспомним в связи с этим короткую цитату из доказательства Лейбница его принципа непрерывности, приведенную нами выше: «…Можно вообразить переход или одно из обращений в нуль, при котором точное равенство или состояние покоя еще не наступило, но достигнуто такое состояние, в котором разность меньше любой заданной величины. В таком состоянии некоторая разность – какая-то скорость, какой-то угол – еще остается, но в каждом случае она бесконечно мала …» На наш взгляд это и есть бесконечное приближение к Аристотелевскому Перводвигателю с помощью идеи бесконечно малых величин или с помощью математического анализа, ибо три вещи заключают в себе всю Вселенную по слову премудрого Соломона: Deus fecit omnia in podere in nomero et mensura (Бог все создал весом, числом и мерой).

А.Ф. Лосев в своей работе «О методе бесконечно малых в логике» в главе «Жизненно логическое значение математического анализа» пишет: «В самом деле, меняются ли вещи или нет, движутся или нет, можно ли остановить непрерывное становление вещей или нельзя этого сделать? Казалось бы, на это может быть только один и совершенно недвусмысленный ответ. Но стоит только допустить, что вещи непрерывно меняются, как тотчас же возникает вопрос: а как же мы узнаем эту вещь, если она вся целиком и непрерывно меняется. Как она может оставаться той же вещью, если мы только что признали, что она сплошь становится и меняется? Ясно, что все ее изменения мы относим к какому-то ее ядру или центру, а не просто их забываем. Мы их, несомненно, суммируем. И как же происходит это суммирование? Вовсе не так что все слагаемые остаются твердыми и неподвижными, эти слагаемые расплываются в целом вещи… С другой стороны, могут ли все эти бесконечно малые изменения вещи быть таковыми в ней раз и навсегда и сливаться в неразличимую массу? Это также невозможно, так как вещи реально меняются, и мы отчетливо воспринимаем эти изменения, так что же такое, в конце концов, реальное восприятие реально движущейся вещи, когда не становление не дробится на дискретные части, и дискретные части не теряют своей значимости в том целом, что называется восприятием вещи?

Я не знаю, как тут обойтись без процесса интегрирования и дифференцирования. Возводя изменение вещи к ее целому и прослеживая, как от них нарастает это целое, мы не делаем ничего другого, как просто-напросто интегрируем вещь и интегрируем наше восприятие вещи… С другой стороны, кто же не наблюдал скорость движения тела и не сравнивал проходимый им путь с этой скоростью?.. А известно ли всем, кто занимается логикой, что скорость есть первая производная от пути по времени?.. А известно ли логикам, что ускорение есть вторая производная от пути по времени? Что же остается сказать после этого? Не то ли, что восприятие всякой скорости и ускорения, есть бессознательное дифференцирование разных расстояний с точки зрения временного протекания тех или иных движений?»

Туманный непонятный язык («флюксии» и «флюэнта», а также «моменты» Ньютона, «бесконечно малые», «действительные бесконечные», инфинитезимальные «величины» Лейбница и т.д.) математического анализа в большей степени походил не на строгий научно-терминологический аппарат, а на туманные выражения средневековых схоластов. Известно, что истинный смысл работы Декарта «Рассуждения о методе» состоял в том, чтобы заменить логику Аристотеля и схоластов логикой математической как универсальным инструментом науки. Но этого-то как раз и не произошло. Язык математики XVII в. оказался необычайно туманным.

По мнению М. Клайна, в своих размышлениях эти ученые «нередко обращались к термину «метафизика». Под ним понимали совокупность истин, лежащих за пределами собственно математики. И в случае необходимости эти истины могли быть использованы для обоснования того или иного математического утверждения, хотя природа метафизических истин оставалась неясной. Обращение к метафизике означало использование аргументов, которые не подкреплялись разумом. Так, Лейбниц утверждал, что метафизика используется в математике шире, чем можно себе представить. Единственным «обоснованием» равенства: 0 = 1-1+1-1+… и принципа непрерывности было убеждение Лейбница в том, что оба утверждения «обоснованы» метафизически. Предмет спора исчезал, коль скоро появлялись метафизическое «обоснование»… Всякий раз, когда математики XVII – XVIII вв. не находили подобающих аргументов того или иного утверждения, они говорили, что это утверждение верно по метафизическим причинам».

Насущная необходимость надлежащего обоснования математического анализа остро ощущалась даже в конце XVIII века всем математическим миром, и по предложению Лагранжа отделение математики Берлинской Академии наук назначила в 1784 г. приз за лучшее решение проблемы бесконечности в математике. Объявление об условиях конкурса гласило:

«Своими предложениями, всеобщим уважением и почетным титулом образцовой «точной науки» математика обязана ясности своих принципов, строгости своих доказательств и точности своих теорем.

Для обеспечения непрестанного обновления столь ценных преимуществ этой изящной области знания необходима ясная и точная теория того, что называется в математике бесконечностью.

Хорошо известно, что современная геометрия [математика] систематически использует бесконечно большие и бесконечно малые величины. Однако геометры античности и даже древние аналитики всячески стремились избегать всего, что приближалось к бесконечности, а некоторые знаменитые аналитики современности усматривают противоречивость в самом термине «бесконечная величина».

Учитывая сказанное, Академия желает получить объяснение, каким образом столь многие правильные теоремы были выведены из противоречивого предположения, вместе с формулировкой точного, ясного, короче говоря, истинно математического принципа, который был бы пригоден для замены принципа бесконечного и в то же время не делал бы проводимые на его основе исследования чрезмерно сложными и длинными. Предмет должен быть рассмотрен во всей возможной общности и со всей возможной строгостью, ясностью и простотой».

Повторим еще раз очень важную мысль: математики XVII – XVIII веков верили в правильность своих результатов, потому что они были убеждены, что мир сотворен Богом на основе математических принципов, а они призваны постепенно раскрыть планы Творца. Век разума (XVIII в.), когда разгорелись жаркие споры по поводу смысла и свойств логарифмов, отрицательных и комплексных чисел, обоснования дифференциального и интегрального исчисления, суммирования рядов и других вопросов, с большим основанием заслуживал бы названия Века безумия. К началу XIX века математики были более уверены в результате, чем в его логическом обосновании. В результаты верили – но не более того. Веком разума скорее следовало бы назвать вторую половину XIX века.