Государственная клиника оказывается в патовой ситуации, когда обиженный пациент требует деньги: да, она может хоть как-то отреагировать на претензию в 10-дневный срок, избежав необходимости выплачивать пеню, но выплатить требуемую компенсацию за некачественное лечение или моральный вред не может (так как у нее нет бюджета на внесудебное урегулирование претензий). Это не очень справедливо, но это тот редкий случай, когда законодательство на вашей стороне.