Книга: Обыграй дилера: Победная стратегия игры в блэкджек

Приложение
Базовые вероятности для полной колоды

Понимание этого приложения не обязательно для изучения других частей книги. Оно предназначено для удовлетворения любопытства читателей, интересующихся математикой.

Таблицы, приведенные в этом приложении, содержат часть результатов компьютерных вычислений для случая раздачи карт из полной колоды. Такие результаты, полный набор которых был получен для каждого из вариантов колод, описанных в таблице 4.1, были использованы для разработки теории игры в блэкджек, изложенной в этой книге. В связи с чрезвычайным обилием данных – одних только окончательных результатов хватило бы на несколько книг объемом с эту, содержащих одни лишь числа, – мы ограничимся представлением значений только для полной колоды, да и то частичным. Поскольку в наших описаниях и в практическом применении этих результатов, как правило, не требуется более трех знаков после запятой, значения в таблицах в основном приведены с точностью до третьего знака.

Если в числе отсутствует десятичный разделитель, следует считать, что он стоит перед самой левой цифрой этого числа. Например, число −039 следует понимать как −0,039.

Подчеркнем еще раз, что значения, представленные в этом приложении, были вычислены для ситуации игры одной полной колодой и правил, изложенных в главе 3, в том числе и правила, касающегося остановки дилера на мягких 17. Поскольку изменения этих условий могут привести к значительным отклонениям от приведенных значений, любые выводы, сделанные из материалов этого приложения, следует считать точно справедливыми только для описанных условий. Однако эти выводы дают приблизительное представление о ситуациях, возникающих в игре с несколькими колодами или с измененными правилами.

Расхождения в этих значениях могут приводить к ошибкам в выборе стратегии игры, но только в тех случаях, когда речь идет о чрезвычайно неочевидном решении. Даже и в этом случае ошибки в выборе стратегии должны быть весьма незначительными. В связи с этим, а также с редкостью возникновения ситуаций, требующих таких неочевидных решений, влияние любых стратегических ошибок такого рода на преимущество игрока также весьма мало. Грубо говоря, некоторые неочевидные решения, например решение о прикупе или остановке при жестких 16 при открытой у дилера десятке, зависят от того, из каких карт составлена рука игрока, образующая эти жесткие 16. Например, известно, что при наличии руки (10,4,2) игроку следует остановиться, а при (10, 6) – прикупать. Если сумма 16 очков была набрана из нескольких мелких карт, решение может быть вполне очевидным. Например, Джулиан Браун показал, что для игрока, имеющего на руке (4,4,4,4), прикуп против десятки приводит к уменьшению преимущества на величину, точно (!) равную 6,382 %, в то время как прикуп к жестким 16 на двух картах увеличивает его преимущество в среднем на 2,9 % (на 3,2 % в случае разделения пары (8, 8)).

Базовую стратегию можно попытаться усовершенствовать путем вычисления увеличения или уменьшения преимущества при прикупе или остановке на всех комбинациях карт, к которым игрок может прикупать с образованием жестких 16. Тогда игрок мог бы сверяться со списком таких сочетаний карт, чтобы решить, следует ли ему прикупать или остановиться. Однако такое усовершенствование, какую бы точную и подробную информацию оно ни давало, неосуществимо на практике, так как объем такого списка (содержащего много сотен вариантов) не позволит игроку заучить его для использования в игре. К тому же суммарная прибыль, получаемая от такого уточнения, весьма невелика.

Однако текущий подсчет, используемый в сочетании со стратегией десяток, учитывает те карты, которые прикупает игрок. Этот учет не так точен, как подробный анализ, описанный выше, так как он только разбивает карты на две большие категории: десятки и прочие. Однако он – в большинстве случаев – позволяет определить разницу между возможными решениями.

В таблице 1 приведены вероятности получения дилером определенной суммы для всех возможных значений его карт. Сумма значений в каждой строке таблицы в общем случае может не быть точно равна единице в связи с небольшими неточностями округления и приближениями. Это расхождение не превышает 10⁻⁴, и с практической точки зрения им можно пренебречь. Суммы значений в каждом столбце несколько отличаются от значений суммарной вероятности, поскольку в исходной таблице использовались пятизначные значения, которые были округлены уже после суммирования по столбцам.

Разумеется, данные этой таблицы справедливы только в предположении, что дилер доигрывает все раздачи до конца, даже если все его противники перебирают. В обычной игре дилер этого не делает.

Таблица 1. Вероятности комбинаций дилера

Во всех приведенных ниже таблицах представлены результаты, полученные в предположении отсутствия у дилера блэкджека.

Проиллюстрируем применение таблицы 2а на примере, в котором игрок получает жесткие 12, а открытая карта дилера – двойка. Если игрок решает прикупать, а не остановиться, его преимущество равно 0,038. Это означает, что в среднем по большому числу таких случаев, если игрок всегда прикупает, а не останавливается при жестких 12 против 2, он получает выигрыш, добавляющий к его исходной ставке приблизительно 3,8 %. Если значение в таблице положительно, игроку следует прикупать. Если же такое значение отрицательно, игроку следует не прикупать, а остановиться. Из этой таблицы немедленно следуют суммы остановки для жесткой руки. Собственно говоря, именно так они и были получены.

Таблица 2a. Преимущество игрока от прикупа или остановки при жесткой руке

То же относится и к таблице 2б, за исключением того, что приведенные в ней значения дают суммы остановки для мягкой руки.

Таблица 2б. Преимущество игрока от прикупа или остановки при мягкой руке

В таблицах 2a и 2б есть по одному случаю чрезвычайно неочевидных решений. Из таблицы 2а видно, что игрок, останавливающийся, а не прикупающий к руке из двух карт с жесткой суммой, равной 16, против десятки, теряет в среднем 2,9 % своей ставки. При (10, 6) он теряет 3,8 %, при (9, 7) – 0,8 %, а при (8, 8) – 0,9 %. В целом эти значения, взвешенные в пропорции 16:4:3 в соответствии с относительной вероятностью возникновения соответствующих ситуаций, дают 2,9 %. В случае разделения пары (8, 8), который не попадает в эту таблицу, это значение увеличивается до 3,2 %.

Согласно таблице 2б, игрок, решающий прикупать, а не останавливаться на мягких 18 против туза, теряет около 0,1 % ставки. Некоторые известные мне игроки пытались получить эмпирическое решение задачи игры в блэкджек. Для этого они раздавали многие сотни или даже тысячи рук и записывали результаты их розыгрыша, пытаясь найти правильные суммы остановки для различных открытых карт дилера. Как и следовало ожидать, мнения таких игроков по этим двум неочевидным решениям резко расходятся.

Таблица 3 была составлена непосредственно на основе таблицы 1 следующим образом. Предположим, что сумма руки игрока равна, например, 19, а открытая карта дилера – шестерка. В таком случае преимущество игрока равно сумме вероятностей получения дилером худшей суммы (18, 17 или перебора), то есть 0,1065 + 0,1670 + 0,4208 = 0,6943 минус вероятность получения дилером лучшей суммы (20 или 21), то есть 0,1007 + 0,0979 = 0,1986. Разность 0,6943 – 0,1986 равна 0,4957, или 0,496 при округлении до трех значащих цифр, как и указано в таблице 3.

Как было указано выше, в таблице 3 предполагается, что у дилера нет блэкджека. В таком случае выигрыш игрока, получающего блэкджек, всегда равен 1,5 его исходной ставки, то есть его преимущество в используемом нами смысле составляет 150 %. Поэтому нет необходимости приводить этот вариант в таблице.

Таблица 3. Преимущество игрока от остановки на различных суммах

В таблице 4 приведены значения преимущества игрока для всех возможных пар его исходных карт против всех возможных открытых карт дилера в предположении, что игрок просто останавливается или прикупает согласно соответствующим суммам остановки (взятым из таблиц 2a и 2б). Затем приведены значения преимущества игрока в случае удвоения ставок. Наконец, в последней строке каждой таблицы приведены значения преимущества игрока в случае, когда он получает две карты равного достоинства, разделяет эту пару и выбирает наиболее выгодный из возможных вариантов действий как относительно удвоения ставки, так и относительно прикупа и остановки. Таблица разбита на десять частей, каждая из которых соответствует одной из возможных открытых карт дилера.

Базовую стратегию для каждого значения открытой карты дилера можно вывести из этой таблицы следующим образом. Для начала предположим, что исходные карты игрока образуют пару. Сравним преимущество игрока, получаемое при разделении этой пары, со значениями преимущества от удвоения ставки и прикупа. Если оно превышает их, игроку следует разделить пару. В противном случае ему следует удваивать ставку или прикупать/останавливаться в зависимости от того, что дает ему большее преимущество. Например, при наличии у игрока (4, 4) против десятки преимущество от разделения пары равно −0,552, преимущество от удвоения ставки равно −0,739, а прикуп или остановка с учетом жесткой суммы остановки, равной 16, и мягкой суммы остановки, равной 19, дает преимущество, равное −0,241. Поскольку последнее значение наиболее выгодно из трех, прикуп или остановка соответствуют наилучшему варианту действий. Таким образом, в этом случае игроку следует прикупать или остановиться.

Если на руке игрока имеется (Т, 2), эта ситуация ничем не отличается от руки (2, Т), и в таблице приведен только один из двух вариантов для каждых двух карт. Поэтому каждая часть таблицы 4 имеет треугольную форму.

Таблица 4 позволяет дополнительно прояснить некоторые аспекты базовой стратегии. В обсуждении разделения пар по базовой стратегии было сказано, что без разделения пары тузов «удвоение ставки, прикуп или остановка дают лишь умеренно выгодную сумму», в то время как разделение такой пары с высокой вероятностью создает выигрышную руку. Таблица 4 дает точное значение преимущества наиболее выгодного из двух альтернативных вариантов – удвоения ставки и прикупа/остановки. Можно видеть, что соответствующие значения близки к нулю, причем некоторые из них положительны, а некоторые – отрицательны. Однако, как видно из таблицы, преимущество разделения пары тузов в соответствующих случаях по большей части имеет существенно положительное значение. Аналогичным образом таблица подтверждает (хотя и приблизительно) то грубое приближение, согласно которому разделение пары восьмерок против карт от семерки до туза разбивает невыгодную руку и дает вместо нее две руки средней выгодности.

Таблица 4 была использована для вычисления среднего преимущества игрока для различных открытых карт дилера в случае игры с полной колодой, после чего были определены суммарные значения преимущества игрока. Также были получены с использованием соответствующих данных аналогичные результаты и для других колод. Эти результаты приведены в таблицах 4.1 и 9.2. По ним можно составить некоторое представление о том, насколько изменения состава колоды или правил игры влияют на представленные значения.