Если бы комплексные числа так и остались полезны только для алгебры, им было бы суждено оставаться отвлеченным научным курьезом, занимающим исключительно математиков. Но по мере роста интереса к исчислению, который принял строгую форму математического анализа, люди стали замечать, что действительно интересное слияние вещественного анализа с комплексными числами – точнее, комплексный анализ – не только возможно, но и желательно. Действительно, для многих задач это существенно.

Это открытие выросло из первых попыток обдумать существование комплексных функций. Самые простые функции, такие как возведение в квадрат или в куб, зависят только от алгебраических операций, поэтому было легко определить их для комплексных чисел. Чтобы возвести в квадрат комплексное число, необходимо умножить его само на себя, и тот же прием годится для действительных чисел. Квадратные корни из комплексных чисел немного каверзнее, но приносят нам приятную награду за потраченные силы: каждое комплексное число имеет квадратный корень. И действительно, любое такое число, не равное 0, имеет ровно два квадратных корня (положительный и отрицательный, равные по модулю). Так мы обогатили действительные числа новым числом i, вдобавок обеспечив –1 квадратным корнем и определив квадратные корни для любого числа в расширенной системе комплексных чисел. А как быть с синусами, косинусами, экспонентами и логарифмами? На этом этапе они особенно интересны, но и более головоломны. Особенно логарифмы.

Как и число i само по себе, логарифмы комплексных чисел тут же превратились в очередную проблему. В 1702 г. Иоганн Бернулли исследовал процесс интегрирования, применив его к обратным полиномам второй степени. Он нашел изысканный способ решения этой задачи, когда у квадратного уравнения есть два действительных корня: r и s. Теперь мы можем переписать это подынтегральное выражение, используя так называемые простейшие дроби:

что приводит нас к интегралу

А что, если квадратное уравнение не имеет действительного корня? Как, например, проинтегрировать величину, обратную x² + 1? Бернулли понимал, что раз уж вы занялись алгеброй комплексных чисел, трюк с простейшей дробью сработает и здесь, только в этом случае r и s будут комплексными числами. Например:

а интеграл этой функции принимает форму:

Этот финальный шаг не совсем удовлетворителен, поскольку требует определения логарифма комплексного числа. Возможно ли сделать корректным такое утверждение?

Бернулли считал, что можно, и благодаря этой идее добился потрясающего эффекта. Той же позиции придерживался и Лейбниц. Однако математические детали всё еще требовали доработки. К 1712 г. оба ученых сошлись в споре по самой сути такого подхода. Забудем про комплексные числа, – что такое логарифм отрицательного действительного числа? Бернулли считал, что он тоже должен быть действительным, а Лейбниц утверждал, что он будет комплексным. Бернулли представил нечто вроде доказательства своей правоты: с помощью обычного вычислительного формализма уравнение

может быть проинтегрировано, получим

Однако Лейбница это не убедило, и он по-прежнему утверждал, что интегрирование будет верно только для положительного действительного x.

Этот узконаправленный спор был разрешен в 1749 г. Эйлером, и оказалось, что Лейбниц был прав. Бернулли забыл, что любой интеграл включает произвольную константу. И вместо полученного Бернулли выражения должно быть

для некой константы с. Но что это за константа? Если логарифм отрицательных (и комплексных) чисел должен иметь свойства логарифма действительных чисел, что и является целью всей игры, то верно, что

так что c = ln (–1). Затем Эйлер привел последовательность изящных преобразований, получив еще более явную формулу для с. Прежде всего он нашел способ манипулирования различными формулами, содержащими комплексные числа, придя к выводу, что они ведут себя очень похоже на действительные, и получил соотношение между тригонометрической функцией и экспоненциальной:

Эта формула была предложена в 1714 г. Роджером Котсом. Установив, что θ = π, Эйлер получил превосходный результат:

связавший две основные математические константы: e и π. Вызывает восхищение как само существование этой связи, так и ее простота. Эта формула по праву считается одной из самых красивых формул всех времен.

Взяв логарифм, мы получаем:

приоткрывая тайну этой непостижимой константы с из предыдущего текста: она равна iπ. В таком случае это мнимое число, т. е. Лейбниц был прав, а Бернулли ошибался.

Но и это еще не всё: ящик Пандоры едва успел открыться. Если принять, что θ = 2π, то

Значит, ln (1) = 2iπ. Тогда уравнение x = x × 1 приводит к выводу:

Тогда для любого целого n

На первый взгляд, бессмыслица: это означает, что 2niπ = 0 для любого n. Но есть и такой способ проинтерпретировать это выражение, что оно покажется осмысленным. В случае комплексных чисел логарифмическая функция многозначна. И действительно, кроме тех случаев, когда комплексное число z равно 0, функция ln z может принимать бесконечно много разных значений (когда z = 0, ее логарифм не определен).

Магнитное поле вокруг магнитного стержня, «увидеть» которое помогают железные опилки: комплексный анализ может быть использован при расчете таких полей

Математики привыкли пользоваться функциями, которые могут иметь несколько разных значений, и квадратный корень остается самым очевидным примером: здесь даже действительное число имеет два разных корня, положительный и отрицательный. Но бесконечно много значений? Это действительно странно.