Обыкновенные дифференциальные уравнения

В этой работе нет чертежей. Излагаемые мною методы не требуют построений, геометрических или механических рассуждений, а только алгебраических действий, подчиненных регулярному и единообразному ходу.

Уравнения движения могут выглядеть совершенно по-разному в различных системах координат, и Лагранжу это казалось неэлегантным. Он нашел способ так переписать их, что они становились схожими для любой системы координат. Первым его изобретением стали парные координаты. Для каждой координаты q (такой, например, как угол отклонения маятника) существовала соответствующая ей координата скорости (угловая скорость движения маятника). Если имеется k координат положения, то будет и k координат скорости. Вместо дифференциальных уравнений второго порядка Лагранж вывел уравнения первого порядка по положению и скорости. Он сформулировал это в терминах величины, сейчас называемой лагранжианом.

ЧТО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДАЮТ НАМ

Между волновым уравнением и современными радио и телевидением есть самая прямая связь.

Примерно в 1830 г. Майкл Фарадей занялся экспериментами по электричеству и магнетизму, исследуя возникновение магнитного поля под воздействием электрического тока и появление электрического поля при движении магнита. Современные генераторы и электромоторы – прямые потомки сконструированных им аппаратов. В 1864 г. Джеймс Клерк Максвелл преобразовал выкладки Фарадея в математические уравнения, описывающие электромагнетизм, – уравнения Максвелла. Это были ДУЧП, относившиеся к явлениям электричества и магнетизма.

Простой вывод из уравнений Максвелла приводит нас к волновому уравнению. Этот расчет показывает, что электрическое и магнитное поля могут передвигаться вместе, подобно волне, со скоростью света. А что движется с такой скоростью? Свет! А значит, свет – электромагнитная волна. Уравнение не ставит пределов для частоты волны, световые волны демонстрируют сравнительно небольшой диапазон частот. Из этого физики заключили, что должны существовать и другие электромагнитные волны с иными частотами. Генрих Герц продемонстрировал физическое существование таких волн, а Гульельмо Маркони обратил их к практической пользе, создав радио. Дальше число новых технологий стало расти как снежный ком. Телевизор и радар также работают на электромагнитных волнах, как и спутниковая навигационная система GPS, сотовые телефоны и беспроводные компьютерные сети.

Отправить