Любой, кому доводилось перемножать целые числа, замечал их фундаментальные отличия.

Многие числа можно разделить на меньшие части, из которых искомое получается путем их перемножения. Например, 10 можно получить умножением 2 на 5, а 12 равно 3 × 4. Но некоторые числа так разделить невозможно. Мы не можем выразить 11 как произведение двух меньших целых чисел, то же относится к 2, 3, 5, 7 и многим другим.

Составные числа – те, которые можно выразить как произведение двух меньших. Простые числа – те, которые нельзя так выразить. Согласно этому определению, 1 должно считаться простым числом, но в силу важных причин его решено выделить в отдельный класс и обозначать как единицу. Итак, первые простые числа выглядят так:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41

По этому списку видно, что для простых чисел нет очевидного шаблона (за исключением того, что все, кроме первого, нечетные). Кажется, они появляются беспорядочно, и нет способа предсказать, каким будет следующее в списке. Но даже тогда несомненно, что это число всё же можно определить – одно за другим проверяя все последующие, пока снова не найдете простое.

Несмотря или, скорее, благодаря своему беспорядочному распределению они жизненно важны в математике. Они являются основными строительными блоками для всех прочих чисел, в том смысле, что большие числа получаются умножением меньших.

Химия утверждает, что любая молекула, какой бы сложной она ни была, состоит из атомов – неделимых частиц материи. А математика говорит нам, что любое число, каким бы большим оно ни было, состоит из простых – неделимых. Простые числа – это атомы теории чисел.

Это свойство простых чисел очень полезно, потому что в математике многие вопросы могут быть решены для всех целых чисел, если их решить для простых чисел, а простые числа имеют такие особые свойства, что иногда облегчают процесс. Эта дуальность простых чисел – простота, но непредсказуемость – всегда была предметом любопытства ученых.