Ранние концепции тригонометрии появляются в трудах индийских математиков и астрономов: «Панча-сиддхантика» («Трактат, включающий пять сиддхант» Варахамихиры, 575 г.), «Брахма-спхута-сиддханта» («Усовершенствованное учение Брахмы» Брахмагупты, 628 г.) и более подробный «Сиддханта-широмани» («Венец учения») Бхаскары, 1150 г.

Индийские математики обычно использовали полухорду, или «арха-джива», по сути современный синус. Варахамихира вычислил эту функцию для 24 целочисленных кратных, с 3°45´ до 90°. Примерно в 600 г. в книге Маха-Бхаскария привел полезную приблизительную формулу для синуса острого угла, изобретение которой он приписал Арьябхате. Этим ученым принадлежит авторство многих базовых тригонометрических формул.

Движение Марса, наблюдаемое с Земли

Арабский математик Насир-Ад-Дин Туси в «Трактате о полном четырехстороннике» комбинировал плоскостную и сферическую геометрию в единую унифицированную систему и привел несколько базовых формул для сферических треугольников. Он исследовал эту тему скорее с математических позиций, нежели с астрономических. Но на Западе никто не знал о его работах вплоть до 1450 г.

Благодаря тесной привязке к астрономии почти вся тригонометрия оставалась сферической вплоть до 1450 г. В частности, геодезия – нынешняя главная «потребительница» тригонометрии – по сути представляет собой эмпирически разработанные методы, приведенные в систему еще римлянами. Но в середине XV в. плоскостная тригонометрия стала выделяться в отдельную отрасль знаний, и началось это в Северогерманском Ганзейском союзе. Союз контролировал практически всю торговлю, поэтому был богатой и влиятельной организацией. И ему нужны были усовершенствованные методики навигации, наряду с точным измерением времени и практической прикладной астрономией.

Ключевой фигурой того времени был Иоганн Мюллер, более известный как Региомонтан. Он был учеником Георга Пурбаха, начавшего работу над новой редакцией «Альмагеста». В 1471 г. на деньги своего патрона Бернхарда Вальтера он работает над составлением новой таблицы синусов и таблицей тангенсов.

Другие талантливые математики XV–XVI вв. сумели создать собственные тригонометрические таблицы, зачастую поражающие своей точностью. Георг Иоахим Ретик вычислил синусы для окружности с радиусом 10¹⁵, причем очень точно, вплоть до 15-го знака после запятой, но умножал все числа на 10¹⁵, чтобы получить целые значения – для всех кратных с шагом в одну секунду дуги. Он открыл закон для сферических треугольников:

а также закон для косинусов

в своем «Трактате о сферических треугольниках», написанном в 1562–1563 гг., но опубликованном только в 1596 г. Здесь буквы A, B и C обозначают углы треугольника, при этом а, b и c – его стороны, измеренные по углам, которые они образуют с центром сферы.

Виет создал много трудов по тригонометрии, из которых первым был «Математический канон», изданный в 1579 г. Он обобщил и систематизировал разные методы решения треугольников, а именно определение длины всех его сторон и величины углов исходя из другой информации о нем. Он открыл новые тригонометрические тождества, в том числе несколько интересных выражений для синусов и косинусов углов, кратных θ, представленных через синус и косинус угла θ.