Темные века

Книга: Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Арабский и индийский мир делали выдающиеся шаги как в математике, так и в остальных науках, а Европу охватил период относительного застоя, хотя Средние века всё же нельзя назвать темными временами в полном смысле. Было заметно продвижение вперед, но медленное и будто нерешительное. Скорость изменений стала нарастать с момента, когда в Европе распространились научные открытия Востока. Из европейских стран Италия расположена ближе всего к арабскому миру, и вполне естественно, что достижения соседей, умудренных в математике, попадали в Европу через Италию. Венеция, Генуя и Пиза уже в то время были важными центрами торговли, и купеческие корабли ходили отсюда до Северной Африки и восточного побережья Средиземноморья. Они активно обменивали европейскую шерсть и древесину на шелк и специи.

Помимо торговли в прямом смысле – материальными ценностями, – не менее активно велись и «продажи» научных идей. Именно по торговым путям в Европу проникли арабские открытия в математике и других науках, зачастую передаваемые из уст в уста. Благодаря торговле Европа добилась процветания, на смену бартеру пришли деньги, система расчетов, вкладов и пошлин стала намного сложнее. Эквивалентом карманному калькулятору того времени был абак – простые счеты, где костяшки на проволоке изображали числа. Но эти числа требовалось еще и записать на бумаге для легитимности сделок и составления отчетов. Купцы отчаянно нуждались в надежном способе записи чисел, а также в простых и быстрых методах вычислений.

Влиятельной фигурой был в то время Леонардо Пизанский, более известный под прозвищем Фибоначчи, чей труд «Книга абака» был опубликован в 1202 г. (По-итальянски «abbaco» означает «вычисление», так что не стоит путать его с абаком – латинскими счетами.) В своей книге Леонардо познакомил Европу с индийско-арабскими обозначениями цифр.

Эволюция западных символов цифр

В «Книге абака» есть одно нововведение, сохранившееся до наших дней: горизонтальная черта в дроби. Индусы использовали те же символы, но без черты; судя по всему, первыми ее предложили арабы. Фибоначчи применял ее очень часто, но его подход отличается от современного. Например, он мог одну черту использовать как элемент сразу нескольких самостоятельных дробей.

Поскольку дробям в нашей истории отводится крайне важное место, стоит сделать несколько уточнений. В такой дроби, как

, 4 в нижней половине показывает, что нужно поделить единицу на четыре равные части, а 3 в верхней половине – что нужно выбрать три из этих единиц. Более формально: 4 – знаменатель, а 3 – числитель. Для удобства работы дроби несколько видоизменились: три четверти изображают как 3/4 или ³/₄. Горизонтальную черту заменила косая, или слеш.

ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКИЙ (ФИБОНАЧЧИ) 1170–1250

Леонардо родился в Италии и вырос на севере Африки, где его отец Гильермо трудился дипломатом, обеспечивая мирную торговлю с Беджаей (современным Алжиром). Сопровождая отца в деловых поездках, мальчик быстро усвоил арабскую систему записи чисел и оценил ее значение. В 1202 г. в своей «Книге абака» он пишет: «Когда отец мой был назначен на должность таможенного чиновника, заведовавшего в Беджае делами стекавшихся к нему пизанских торговцев, он в отрочестве моем призвал меня к себе и предложил несколько дней учиться счетному искусству, сулившему немало удобств и выгод для моего будущего. Наученный благодаря мастерству учителей основам индийского счета, я приобрел большую любовь к этому искусству».

Его книга открывает для Европы индийско-арабский способ записи чисел и содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, изложенные исключительно полно и глубоко, а также дает примеры решения практических задач, в частности связанных с торговлей. И хотя прошло еще несколько веков, пока индийско-арабские символы окончательно вытеснили из обихода привычный абак, преимущества этой стройной системы записи и подсчетов вскоре стали очевидны.

Леонардо также известен под прозвищем Фибоначчи (от Filius Bonacci, или «сын Боначчи»), но это имя не появлялось в письменных трудах до XVIII в. Псевдоним был дан ему позже, предположительно Гийомом Либри.

Мы не так часто прибегаем на практике к обыкновенным дробям. Гораздо чаще используются десятичные: например, π = 3,14159 – не точно, но вполне достаточно для большинства подсчетов. Стоило бы сделать рывок к десятичным дробям, но мы договорились следовать за идеей, а не хронологией, и придется перейти к дальнейшим фактам. Итак, переносимся в 1585 г., когда Вильгельм Оранский избрал фламандца Симона Стевина советником своего сына Морица, графа Нассауского.

Воспользовавшись возможностью, Стевин сумел сделать хорошую карьеру, став инспектором водных сооружений, главным военным квартирмейстером и под конец – министром финансов. Он быстро осознал необходимость в точных процедурах бухгалтерского учета и обратился к итальянским математикам эпохи Возрождения, а также к переложению для Европы индийско-арабской системы счисления, сделанному Леонардо Пизанским. Он находил вычисления при помощи простых дробей громоздкими и неудобными и предпочел бы более точную и аккуратную систему, предложенную вавилонянами, – если бы в ее основании не находилось число 60. Стевин попытался найти вариант, сочетавший лучшие черты подходов, и изобрел десятеричный аналог вавилонской системы – десятичные дроби.

Стевин опубликовал арифметику десятичных дробей, а также пылкую и аргументированную статью о полезности их применения: «Все необходимые для делопроизводства вычисления можно будет делать с помощью целых чисел, без добавления дробей».

В его системе еще не использовалась знакомая нам запятая, но она очень скоро приняла современный вид. Там, где мы бы написали 5,7731, Стевин писал

. Символ

обозначал целое число,

– одну десятую,

– одну сотую и т. д. Привыкнув к этой системе, люди вскоре отказались от символов

и т. д., оставив только

, который сократился и упростился до обычной запятой.

Назад: Индийская система

Дальше: Отрицательные числа