К чему же мы пришли?
Теоремы Гёделя изменили наш взгляд на логические основания математики. Они заставили предположить, что кажущиеся нам сейчас неразрешимыми проблемы могут вообще не иметь решения: ни подтверждающего их, ни опровергающего, а вечно пребывать в чистилище неразрешимости. И такими предстают перед нами очень многие интересные проблемы. Однако эффект от работ Гёделя на практике так и не вышел далеко за пределы фундаментальной математики, в лоне которой и появился на свет. Математики продолжают искать доказательства для гипотез Пуанкаре и Римана, не жалея времени на открытие новых доводов за и против. Они отдают себе отчет в том, что проблема может оказаться неразрешимой, и даже могут заняться поисками доказательств этой неразрешимости, если найдут исходную точку. Однако большинство из известных нам неразрешимых проблем манят ученых именно неразрешимостью, и вряд ли кому-то удастся ее доказать.
ЧТО ЛОГИКА ДАЕТ НАМ
Важнейший вариант гёделевых теорем о неполноте был открыт Аланом Тьюрингом. Их анализ очертил путь для создания первых компьютеров. В своей работе On Computable Numbers, with an application to the Entscheidungsproblem («О вычислимых числах, приложение к проблеме разрешения»), опубликованной в 1936 г., Тьюринг предложил формализацию алгоритмических вычислений – следующую заранее написанному алгоритму – в рамках так называемой машины Тьюринга. Это математическая идеализация устройства, которое пишет символы 0 и 1 на движущейся ленте, подчиняясь конкретным правилам. Он доказал, что проблема остановки машины Тьюринга – выполнится ли окончательное вычисление для данного ввода данных – неразрешима. А значит, нет такого алгоритма, который бы предсказал, остановится ли вычисление или нет.
Тьюринг доказал свой результат, предположив, что проблема остановки разрешима, и построив алгоритм, который останавливается тогда и только тогда, когда не останавливается. Вот и противоречие. Его результат показывает, что существуют ограничения для вычислимости. Некоторые философы расширили эти идеи для определения пределов рационального мышления, и было выдвинуто предположение, что сознание не может функционировать алгоритмически. Однако их аргументы пока не так уж и убедительны. Они показали, что наивно полагать, будто мозг работает как современный компьютер, хотя это не значит, что компьютер не может имитировать работу мозга.
По мере того как на основе предшествующих теорий математики постоянно строили всё новые конструкции, одна сложнее другой, сверхструктура математики начала раскалываться из-за нераспознанных предположений, которые на поверку оказались ложными. Для предотвращения коллапса требовалась серьезная работа по укреплению фундамента.
Последующие работы углубились в истинную природу чисел, двигаясь вспять от комплексных чисел к действительным, рациональным и, наконец, натуральным. Но и там процесс не закончился. Сами числовые системы подверглись пересмотру с точки зрения еще более простых составляющих – множеств.
Теория множеств принесла немало преимуществ, включая разумную, хотя и неортодоксальную систему бесконечных чисел. Она также открыла несколько фундаментальных парадоксов, связанных с понятием множества. Их решение не стало, как надеялся Гильберт, полным обоснованием аксиоматической математики и доказательством ее логической последовательности. Но оно доказало, что математика по природе своей имеет ограничения и некоторые задачи вообще не имеют решения. В результате нам пришлось кардинально изменить свое отношение к понятиям математической истины и определенности. И это прекрасно: лучше жить в осознании пределов наших возможностей, чем в обманчивом раю.
