Топология в трех измерениях

Книга: Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Естественным шагом после плоскостей – двумерных топологических пространств – становится трехмерное пространство. Теперь объектами изучения станут многообразия в понимании Римана, за исключением того, что понятия расстояния игнорируются. В 1904 г. Анри Пуанкаре, один из величайших математиков всех времен, пытался понять свойства трехмерных многообразий. Он открыл ряд методов для достижения этой цели. Один из них, гомология, изучает взаимоотношения между областями в многообразиях и их границами. Другой – гомотопия – отслеживает изменения, происходящие с замкнутыми петлями в многообразиях в процессе их деформации.

Гомотопия тесно связана с методами, отлично служившими при изучении плоскостей, и Пуанкаре искал аналогичные результаты для трехмерного пространства. Так он пришел к одному из самых важных вопросов математики.

Он помнил о свойстве сферы как единственной поверхности, у которой всякая замкнутая петля может стянуться. Работает ли это свойство в трех измерениях? На первых порах он предположил, что да. Это казалось очевидным, и ученому даже не пришло в голову, что он делает необоснованное допущение. Позже ему стало ясно, что одна из правдоподобных версий этого утверждения откровенно ошибочна, а другая тесно связанная с нею формулировка может оказаться верной, несмотря на сложности с доказательством. Он задал вопрос, впоследствии названный гипотезой Пуанкаре. Если трехмерное многообразие (без границ, или конечного пространства, и т. д.) обладает тем свойством, что всякая замкнутая петля в нем может стянуться до точки, то такое многообразие топологически должно быть эквивалентно 3-сфере (естественному аналогу обычной сферы).

Последовавшие попытки доказать теорему завершились успешными обобщениями для четырех и более измерений. Топологи продолжали работу с изначальной гипотезой Пуанкаре, в трех измерениях, – без успеха.

В 1980-х гг. Уильям Тёрстон высказал идею, которая могла бы превзойти гипотезу Пуанкаре, будучи более амбициозной. Его гипотеза геометризации пошла дальше, обобщая свойства всех трехмерных многообразий, а не только тех, где всякая замкнутая петля может стянуться. Отправной точкой стала новая интерпретация классификации поверхностей в терминах неевклидовой геометрии.

Тор можно получить, взяв квадрат в евклидовой плоскости и отождествив его противоположные края. Тогда он плоский – с нулевой кривизной. У сферы имеется постоянная положительная кривизна. Тор с двумя или более отверстиями может быть представлен как поверхность с постоянной отрицательной кривизной. Иными словами, топология поверхностей может быть заново интерпретирована в терминах геометрии трех типов: одного евклидова и двух неевклидовых, точнее, собственно евклидовой геометрии, эллиптической геометрии (положительная кривизна) и гиперболической (отрицательная кривизна; геометрия Лобачевского).

Может ли быть нечто аналогичное в трех измерениях? Тёрстон указывал на ряд осложнений: оказывается, здесь задействовано не три, а восемь типов геометрий. И уже нет возможности использовать какую-то одну из них для данного многообразия: последнее должно быть разбито на несколько частей, чтобы для каждой использовать свою геометрию. Он сформулировал свою гипотезу геометризации: всегда есть систематический способ разбить трехмерное многообразие на части, каждая из которых соответствует одной из восьми геометрий.

ЧТО ТОПОЛОГИЯ ДАЛА ИМ
Один из простейших топологических инвариантов был открыт Гауссом. При исследованиях электрических и магнитных полей его заинтересовало, как могут быть связаны две замкнутые петли. Он изобрел коэффициент зацепления, который обозначает, сколько раз одна петля оборачивается вокруг другой. Если число зацеплений не равно 0, петли не могут быть разделены с помощью топологического преобразования. Однако данный инвариант не помогает достоверно определить, когда две соединенные петли невозможно разделить, ведь в некоторых случаях инвариант связывания равен 0, однако петли разделить невозможно.

Слева: петли с коэффициентом зацепления 3. Справа: эти связи нельзя разделить топологически, хотя их коэффициент зацепления равен 0

Он даже составил аналитическую формулу для такого числа, взяв интеграл подходящей величины вдоль соответствующей кривой. Открытия Гаусса положили начало такой современной отрасли математики, как алгебраическая топология.

Теперь гипотеза Пуанкаре становится ее прямым следствием, поскольку условие, что все петли стягиваются, исключает семь геометрий, оставляя только геометрию постоянной положительной кривизны – трехмерной гиперсферы.

Альтернативный подход предлагает геометрия Римана. В 1982 г. Ричард Гамильтон открыл в этой области новые приемы, основанные на математических идеях, которые были использованы Альбертом Эйнштейном для обоснования общей теории относительности. По Эйнштейну, пространство-время можно считать изогнутым, а кривизна описывает силу притяжения. Она измеряется так называемым тензором кривизны, который имеет более простого родственника, известного как тензор Риччи (назван в честь его изобретателя Грегорио Риччи-Курбастро). Изменения в геометрии Вселенной, связанные со временем, описываются уравнениями Эйнштейна, где говорится, что кривизна пропорциональна силе тензора. В результате гравитационные искривления Вселенной стараются со временем выпрямиться, и уравнения Эйнштейна количественно описывают эту идею.

Тот же фокус можно проделать и с использованием версии кривизны Риччи, и мы получим ту же модель поведения: поверхность, подчиняющаяся уравнениям для потока Риччи, естественным путем стремится к упрощению своей геометрии, более справедливо распределяя свою кривизну. Гамильтон показал, что гипотеза Пуанкаре для двумерного пространства может быть доказана с помощью потока Риччи – на основании того, что поверхность, на которой все петли стягиваются, упрощает саму себя по мере того, как следует потоку Риччи, так что в конце получается идеальная сфера. Гамильтон также предложил обобщить этот подход для трехмерного пространства и даже добился определенного успеха в своих исследованиях, пока не натолкнулся на ряд трудностей.

Назад: Ориентируемые поверхности

Дальше: Перельман