Очевидный способ осмысления комплексной функции f состоит в том, чтобы интерпретировать ее как отображение из одной комплексной плоскости в другую. Базовая формула для такой функции, w = f(z), предлагает нам взять любое комплексное число z, применить к нему f и получить другое комплексное число w, связанное с z. Геометрически z принадлежит одной комплексной плоскости, а w – фактически второй, независимой копии комплексной плоскости.

Но эта точка зрения была не особо популярна среди ученых, и причиной тому стали так называемые сингулярности. Комплексные функции часто имеют такие интересные точки, в которых их регулярное, нормальное поведение становится странным. Например, функция f(z) = 1/z ведет себя очень предсказуемо во всех точках, за исключением 0. Когда z = 0, значение функции равно 1/0, что не имеет смысла для обычного комплексного числа, хотя с помощью некоторой доли воображения его можно представить как бесконечность (символ ∞.). Если z слишком близко подойдет к 0, 1/z окажется особенно большим. Бесконечность в этом смысле не число – это всего лишь термин, описывающий численный процесс: число становится сколь угодно большим. Гаусс уже отметил, что бесконечности такого рода создают новый тип поведения при комплексном интегрировании. Это оказалось существенным.

Риман счел полезным включить ∞ в ряд прочих комплексных чисел и нашел для этого красивый геометрический способ. Разместите единичную сферу так, чтобы она оказалась поверх комплексной плоскости. Теперь ассоциируйте точки на плоскости с точками на сфере с помощью стереографической проекции. Это значит соединить точку на плоскости с северным полюсом сферы и посмотреть, где эта линия будет пересекать сферу.

Сфера Римана и комплексная плоскость

Такая конструкция называется сферой Римана. Новая точка – своего рода северный полюс сферы: единственная точка, которая не соответствует какой-либо точке на комплексной плоскости, и будет являться бесконечностью. Поразительно, как прекрасно эта конструкция вписывается в стандартные расчеты в комплексном анализе, ведь теперь уравнение вроде 1/0 = ∞ обретает безукоризненный смысл. Точки, в которых комплексная функция f принимает значение ∞, называются полюсами, и на поверку выходит, что вы сможете больше выяснить о f, если знаете, где лежат ее полюса.

Одна лишь сфера Римана не привлекла бы столь пристального внимания ученых к топологическим аспектам комплексного анализа, но второе свойство сингулярности, под названием точка ветвления, сделало топологию незаменимой. Простейший пример – комплексная функция квадратного корня, f(z) = √z. Большинство комплексных чисел имеет два разных квадратных корня, как и действительные числа. Они различаются лишь знаком: один положительный, другой отрицательный, причем по модулю они равны. Например, квадратные корни из 2i равны 1 + i и –1 – i, почти как действительные квадратные корни из 4 равны 2 и –2. Но есть одно комплексное число с одним квадратным корнем: 0. Почему? Потому что + 0 и –0 равны.

Чтобы понять, почему 0 оказывается точкой ветвления для функции квадратного корня, представим cебе для начала точку 1 на комплексной плоскости и выберем один из двух квадратных корней. Явным выбором станет 1. Теперь постепенно перемещайте точку вокруг единичной окружности и по мере движения выбирайте для каждого положения точки тот из квадратных корней, который меняется непрерывно. К тому моменту, когда вы пройдете половину окружности до –1, квадратный корень пройдет лишь четверть окружности, до + i, поскольку √–1 = + i или – i. Продолжая путь по кругу, мы вернемся в исходную точку 1. Но квадратный корень, двигающийся с половинной скоростью, остановится только у –1. Чтобы вернуть его к исходному значению, точке придется пройти окружность полностью дважды.

Риман нашел способ справиться с такой разновидностью сингулярности: он удвоил сферу Римана до двух слоев. Они отделены друг от друга, за исключением точек 0 и ∞ – второй точки ветвления. В них слои сливаются – или, наоборот, разветвляются от одиночного слоя при 0 и ∞. Возле двух этих особых точек геометрия слоев выглядит как винтовая лестница: необычно то, что если вы подниметесь на два полных оборота по этой лестнице, то окажетесь там, откуда начали. Геометрия этой поверхности говорит нам очень многое о функции квадратного корня, и та же идея остается верной для других комплексных функций.

Сфера

Тор

Тор с двумя отверстиями

Описание поверхности смутное, и возникает вопрос: что у нее за форма? Вот здесь и вступает в игру топология. Мы можем непрерывно деформировать винтовую лестницу во что-то более легкое для визуализации. Специалисты по комплексному анализу открыли, что топологически всякая поверхность Римана является либо сферой, либо тором, либо тором с двумя отверстиями, либо тором с тремя отверстиями и т. д. Число отверстий g известно как род поверхности, и это то же g, которое встречалось нам в обобщенной формуле Эйлера для поверхностей.