Теперь мы знаем, что в доказательство Руффини закралась техническая ошибка, хотя в целом его идеи были верны и заполнили основные пробелы. Он, несомненно, добился одного: его книга создала необъяснимое, но широко распространившееся убеждение в невозможности решить уравнение пятой степени с помощью радикалов. Далеко не все считали, что Руффини доказал это, но математики хотя бы засомневались в существовании решения. К сожалению, дело кончилось тем, что ученые вообще отказались заниматься этой проблемой.

Единственным исключением стал Абель, молодой норвежец с огромным талантом в математике. Он был искренне убежден, что еще в школе решил уравнение пятой степени. Правда, он вскоре нашел ошибку, но это не повлияло на его увлеченность вопросом: работа продолжалась в полную силу. В 1823 г. он нашел безупречное доказательство тому, что уравнение пятой степени не имеет решения. Абель прибегал к той же стратегии, что и Руффини, но его тактика оказалась удачнее. На первых порах он ничего не знал о работе Руффини, позже он точно ее читал, но настаивал на ее неполноте. Правда, он так и не указал ни на одну конкретную дыру в доказательстве Руффини. По иронии судьбы, один из этапов в доказательстве Абеля оказался именно тем кирпичиком, которого так не хватало в работе Руффини.

Сейчас у нас есть возможность познакомиться с общей идеей Абеля, не погружаясь в технические тонкости. Он справился с проблемой, выделив два вида алгебраических операций. Предположим, мы начинаем с набора разных величин; это могут быть как конкретные числа, так и алгебраические выражения со многими неизвестными. Из них мы можем построить много других величин путем сложения, вычитания, умножения или деления. Для простого неизвестного x возможно составить такие выражения, как x², 3x + 4 или (x + 7)/(2x – 3). Алгебраически все эти выражения имеют тот же фундамент, что и сам x.

Другой способ получить новые величины из имеющихся – использовать радикалы. Возьмите для примера любую простую величину и извлеките из нее корень. Назовем такой шаг применением радикала. Если это квадратный корень, скажем, что степень радикала равна 2, если кубический – 3, и т. д.

В этих терминах формула Кардано для кубического уравнения может быть представлена как результат двухшаговой процедуры. Начнем с коэффициентов для кубического уравнения (и любой безобидной комбинации из них). Применим радикал со степенью 2. Затем следующий радикал со степенью 3. И всё. Описание говорит нам, какого вида формула получилась, но не какая именно. Зачастую ключом к решению математической загадки становится не фокусировка на деталях, а более широкий взгляд на ее особенности. Меньшее может оказаться более важным. И когда этот прием срабатывает, остается только удивляться «чуду»; а здесь он срабатывает прекрасно. Он позволил Абелю свести любую гипотетическую формулу для решения уравнения пятого порядка до самых существенных шагов: извлечь некую последовательность радикалов в определенном порядке, с различными степенями. И всегда остается возможность построить выражение так, чтобы степень снизилась до более простой: например, для корня шестой степени это будет кубический корень из квадратного корня.

Назовем такую последовательность башней радикалов. Уравнение считается решаемым с помощью радикалов, если хотя бы одно его решение может быть представлено башней радикалов. Но вместо того, чтобы искать ее, Абель просто предположил, что она существует, и задался вопросом, как тогда должно выглядеть исходное уравнение.

Сам того не понимая, Абель заполнил пробел в доказательстве Руффини. Он показал, что если уравнение может быть решено с помощью радикалов, то должна существовать башня радикалов, приводящая к этому решению, обязательно содержащая только коэффициенты исходного уравнения. Это теорема Абеля о решении алгебраических уравнений; она содержит утверждение, что нельзя решить уравнение за счет включения множества новых величин, не связанных с исходными коэффициентами. Вроде бы очевидно, но Абель понимал, что это решающий момент для всего доказательства.

Ключом к абелеву доказательству невозможности стал искусный предварительный результат. Предположим, мы взяли некоторое выражение от корней x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ уравнения и извлекли его корень p-й степени для некоторого простого числа p. Предположим, что исходное выражение не изменилось, когда мы применили две специальные перестановки:

и

Затем Абель показал, что p-й корень из этого выражения также не изменяется, когда мы применяем S и T. Этот предварительный результат напрямую подводит нас к доказательству теоремы о невозможности подъема на «башню», ступень за ступенью. Предположим, уравнение пятой степени можно решить в радикалах, т. е. существует башня радикалов, начинающаяся с коэффициентов, по которой можно подняться к некоему решению.

Первый этаж башни – безобидное выражение с коэффициентами – не меняется, когда мы применяем перестановки S и T, потому что они влияют не на коэффициенты, а на корни. Поэтому, по предварительному результату Абеля, второй этаж башни также неизменен после применения S и T, ведь он был достигнут примыканием корня p-й степени к чему-то с первого этажа для некоего простого числа p. По той же причине третий этаж остается неизменным, когда мы применяем S и T. То же касается четвертого этажа, пятого… до самого верха.

Но последний этаж содержит некое решение. Может ли им быть x₁? Если да, x₁ должен оставаться неизменным, когда мы применили S. Но S, примененное к x₁, дает x₂, а не x₁; это нас не устраивает. По схожим причинам иногда после применения T решение, определяемое башней, не может быть x₂, x₃, x₄ или x₅. Все пять корней исключены из любой такой башни – и в итоге она на самом деле не может содержать решения.

Из этой логической ловушки нет выхода. Уравнения пятой степени не имеют решения, потому что любое решение в радикалах должно обладать взаимоисключающими свойствами, а значит, не может существовать.