Бесполезно дискутировать с человеком, который сомневается в том, что шестью семь равно сорок два. Счет с помощью чисел 1, 2, 3, … обладает, говоря словами Германа Вейля, «характером ясного, достаточного в самом себе убеждения, порожденного абсолютно прозрачной очевидностью». Никто не испытывает ни малейшего сомнения в твердо установленных действиях с целыми числами, каковые можно складывать, вычитать и умножать. Решение о том, какое из двух чисел больше, всегда является однозначным. Деление подчиняется железным и абсолютно непоколебимым правилам.

Ничто не подкрепляет эту убежденность лучше того доверия, с каким мы полагаемся в расчетах на электронные машины. Никогда в истории человечества не считали столько, сколько считают сейчас — причем не люди, а машины. Люди утрачивают навыки простейшего устного и письменного счета, слепо положившись на электронные машины и компьютеры. Это классический пример добровольного подчинения, которое может стать опасным, если одновременно будет утрачен контроль за машинным программированием.

Довольно причудливый пример доказывает, насколько сильно мы убеждены в надежности вычислений целых чисел. В одной из предыдущих глав мы говорили о величине числа π, являющегося величиной отношения длины окружности к ее диаметру с точностью до тридцать пятого знака после запятой.

На заре XVII в. мастер счета Лудольф ван Цейлен потратил более 30 лет на то, чтобы получить этот результат. Сегодня с помощью электронно-вычислительной машины можно в миллисекунды получить значение числа π с точностью до десяти тысяч знаков после запятой. Правда, этот расчет выполняется не по трудным формулам, которыми пользовался еще Лудольф, а согласно весьма эффективному методу расчета, предложенному Карлом Фридрихом Гауссом, одним из самых значительных математиков Нового времени. Каким бы методом вычисления мы ни воспользовались, в итоге все кончается сложением, вычитанием, умножением целых чисел и сравнением величин двух целых чисел. В противном случае мы не могли бы программировать электронные устройства.

В последние десятилетия появился новый вид спорта — определение числа π с точностью до как можно большего числа знаков после запятой. В 2009 г. Дайсуке Такахаши с помощью высокопроизводительного компьютера Цукубского университета поставил рекорд — вычислил π с точностью до 2,6 триллиона знаков после запятой. Однако уже в 2010 г. этот рекорд был побит парижским специалистом по вычислительной технике Фабрисом Белларом: Беллар использовал формулу Давида Чудновского и на своем персональном компьютере за 131 день вычислил число π с точностью до 2 699 999 999 000 (почти 2,7 триллиона) знаков после запятой. Естественно, он не стал распечатывать это число. Если на одной странице в среднем помещается 5000 цифр, то данное значение числа заняло бы полмиллиона томов по тысяче страниц каждый — то есть потребовало бы гигантской библиотеки.

В том же году японец Шигеру Кондо потратил 90 дней на то, чтобы на личном компьютере, используя программу своего американского коллеги Александра Йи, вычислить значение числа π с точностью до пяти триллионов знаков после запятой. Но два друга не успокоились на этом, и уже к октябрю 2011 г., заставив машину работать 371 день, получили заветное значение с точностью до 10 триллионов знаков. Эта гонка может продолжаться без предела, ибо бесконечно много знаков до сих пор ждут, когда их вычислят… Само собой разумеется, что на самом деле столь точное значение числа π никому не нужно. В практических расчетах достаточно найденного еще Архимедом значения с точностью двух знаков после запятой: 3,14…

Польза от этих вычислений состоит в том, что они позволяют испытать эффективность примененного компьютера. Для вычисления с точностью до миллиардов знаков после запятой используют независимые друг от друга программы, а затем сравнивают полученные в результате последовательности цифр. Если какие-то значения не совпадают, то, значит, в конструкции компьютера, в его «железе», есть какой-то дефект, потому что сами формулы расчетов безошибочны, ибо арифметика целых чисел никогда не вводит в заблуждение.

Величину π любят называть бесконечным десятичным числом, и не потому, что оно на самом деле бесконечно — нет, оно меньше числа 3,142. Бесконечным его называют потому, что десятичное представление числа π нигде не обрывается. Кроме того, речь в данном случае идет об «иррациональном», бесконечном десятичном числе, потому что в его представлении невозможно обнаружить периодичность.

Фактически нам лишь кажется, что π — число. Строго говоря, это не так. Дело в том, что с помощью целых чисел невозможно вычислить точное значение этого удивительного числа. Если, например, мы имеем круг диаметром 1 метр, то его площадь будет равна точно π квадратным метрам. Для того чтобы вычислить сторону равновеликого квадрата, надо извлечь квадратный корень из числа π. Но как практически рассчитать эту «квадратуру круга»?

Вычислить квадратный корень из положительного целого числа очень просто. Для этого надо ввести число в калькулятор, выбрать «извлечение квадратного корня» и нажать клавишу или кнопку мыши. Результат тотчас высвечивается на дисплее. (Обычно это десятичное число с бесконечным числом знаков после запятой; правда, как правило, выдается результат с точностью до двух знаков.)

Однако вычислить квадратный корень из числа π, напротив, невозможно, ибо, прежде чем нажать клавишу извлечения квадратного корня, надо набрать все десятичные знаки числа π. Но это невозможно. Бесконечные числа не поддаются действиям такими методами.

Естественно, на практике человек наберет в поле исходного числа значение 3,142 и нажмет кнопку вычисления квадратного корня. Возможно, человек этот сравнит результат с результатами, полученными при вычислении квадратного корня из чисел 3,1416 и 3,14159, и если значения необходимых для вычисления знаков остаются стабильными, то этого вполне достаточно для практики. Однако математик, требующий точности, должен признать, что ни один из этих результатов не является истинным значением квадратного корня из π, так как невозможно ввести в компьютер его точное значение.

Эта проблема немного напоминает приближенное построение Коханского. Положение фон Линдемана с непреложной надежностью утверждает, что невозможно разрешить квадратуру круга с помощью циркуля и линейки. Площадь квадрата Адама Коханского очень близко подходит к площади идеального квадрата, но никогда ее не достигает.

Однако точно так же, как «существует» идеальный квадрат, площадь которого совпадает с площадью данного круга, — а именно в нашем мышлении, — «существует» и точный квадратный корень из числа π — тоже в нашем мышлении. На точность компьютерного результата, напротив, полагаться не стоит.

Давид Гильберт был убежден в следующем: так же как мы полагаемся на арифметику целых чисел, мы имеем право допустить, что и вычисление чисел с бесконечным десятичным представлением может быть точным и надежным.

Гильберт разделял это убеждение с Ньютоном и Лейбницем, первооткрывателями «исчисления», которое, как они полагали, можно использовать для операций с числами с бесконечным десятичным представлением, как и для расчетов с целыми числами. Гильберт разделял это убеждение и с теми многочисленными математиками, которые развивали и усовершенствовали «исчисление» Ньютона и Лейбница для разнообразных приложений.

Но Гильберт понимал, что одного лишь убеждения недостаточно. Действительно, существуют своеобразные феномены, когда с бесконечными числами начинают обходиться как с абсолютно безобидным понятием. Но потом, когда в игру вступает бесконечное, логика отказывает.