Что такое математика?

Ответить на этот вопрос не так легко, как может показаться на первый взгляд. Легче ответить на вопрос о том, что такое биология: это наука, которая изучает все формы жизни с помощью наблюдения и эксперимента. Математика — это тоже наука. Но на чем зиждется ее метод и каков здесь предмет изучения?

Что касается метода, то здесь все как будто ясно. Математика опирается на логику. Или на мышление. Некоторые утверждают, будто это одно и то же. Как бы то ни было, любое математическое высказывание должно подчиняться безупречной логике. Если в цепь рассуждений доказательства формулы вкрадывается ошибка или возникает пробел, который невозможно обосновать, то такое доказательство теряет свою ценность и, собственно, перестает быть доказательством. Даже если его представляет корифей от математики. Даже если эта формула оказалась верной в практическом применении.

На примере из истории оснований математики можно наилучшим образом понять, почему до сих пор среди математиков нет единства в отношении того, насколько можно полагаться на логику, занимаясь математикой, и можно ли считать, что логика охватывает мышление. История эта заставляет думать, что до конца дней так и останется неясным, чего на самом деле может достичь математика.

История состоит из двух частей — двух последних глав этой книги. В первой части речь пойдет о самом значительном из говоривших по-немецки математиков начала ХХ в. Давиде Гильберте, о его девизе, на котором, собственно, и держится вся история. Во второй ее части мы узнаем, какая судьба ожидала тех, кто разделял воззрения Гильберта, и тех, кто был не готов следовать его заветам.

В начале ХХ в. у математического мира было две столицы — Гёттинген в Германии и Париж во Франции.

В то время самым выдающимся гёттингенским математиком был Давид Гильберт. Он не только сам достиг вершин во всех областях математики, но и собрал вокруг себя великое множество одаренных молодых людей со всего света, которых смог буквально соблазнить математикой: русского Сергея Бернштейна, учившегося в Париже, американку Энн Босуорт, приехавшую в Гёттинген после окончания Чикагского университета, итальянца Уго Наполеоне Джузеппе Броджи, который позднее работал в Университете Буэнос-Айреса, австрийца Пауля Георга Функа, учившегося в Чехословакии, пережившего тяжелые годы Третьего рейха и работавшего потом в Венском техническом университете, русскую Надежду Гернет, позднее умершую в осажденном нацистами голодном Ленинграде, нынешнем Санкт-Петербурге, румына Александру Миллера, основавшего затем в Яссах румынскую математическую школу, поляка Гуго Штейнгауза, который основал в Лемберге (позднее Львов) польскую математическую школу, названную по месту основания Львовской, японца Тэйдзи Такаги, вернувшегося в Токио и своими трудами открывшего свою родину современной математике. Я упомянул далеко не всех учеников Давида Гильберта.

Но в первую очередь в этой связи надо упомянуть Эмми Нётер. Собственно, она не была ученицей Гильберта, диссертацию защитила в Эрлангене, под руководством Пауля Гордана, в университете, где ее отец, Макс Нётер, преподавал математику. Руководитель Эмми Пауль Гордан был математиком старой школы — он не признавал никаких абстрактных идей, считая, что на первом месте должны стоять безупречные вычисления. Когда он узнал, что в его области, в так называемой теории инвариантов, Гильберт вывел результаты, полученные им самим в ходе трудоемких и даже мучительных вычислений, одним росчерком абстрактного пера, не прибегая ни к каким расчетам, он с горечью воскликнул: «Это не математика, это теология!» Напротив, Эмми Нётер восприняла новое мышление Гильберта как руководство к действию и решительно встала на его сторону. Гильберт и его друг и наставник Феликс Клейн попытались пригласить Эмми в свой университет и предоставить ей место исследователя. Эмми действительно приняла приглашение и приехала в Гёттинген. Консервативно настроенные профессора, однако, встретили ее в штыки — презрением и отторжением. Из-за этого отношения Эмми едва не отказалась от университетской карьеры. В течение года она могла читать лекции только от имени Гильберта. Когда некоторые профессора стали активно протестовать против присутствия Эмми Нётер в университете — им нечего было предъявить ей, они просто не хотели нарушения мужской монополии на науку, — Гильберт возмутился: «Господа, наш факультет — это не купальня!»

Один из глубочайших математических мыслителей ХХ в. Герман Вейль писал в некрологе памяти своего учителя о том, как Гильберт сделал из него математика (здесь приводится перевод с английского; в 1933 г. Вейль, движимый отвращением к Гитлеру, навсегда покинул Германию): «До сих пор звучит у меня в ушах сладкий голос соблазнителя; Гильберт был соблазнителем, и всех, кто встречался с ним, неудержимо влекло к математике. Тем, кому нужны примеры, могу рассказать мою собственную историю. Восемнадцатилетним юношей я приехал из деревни в Гёттинген. Этот университет я выбрал только потому, что директор моей школы приходился двоюродным братом Гильберту и снабдил меня рекомендательным письмом. Совершенно бездумно, я наивно и дерзко записался на курс, который читал Гильберт, — понятие числа и квадратура круга. Большая часть того, что я там услышал, оказалась недоступной моему пониманию. Но я чувствовал, что передо мной в этих лекциях открывается дверь в новый, неведомый мир. Недолго побыв у ног Гильберта, я воодушевился и принял решение прочесть и проштудировать все, что написал этот человек. По окончании первого курса я поехал домой с “Отчётом о числах” под мышкой, и на летних каникулах углубился в чтение — не имея никакого предварительного представления ни о теории чисел, ни о теории Галуа. То были самые счастливые месяцы моей жизни, воспоминания о них настолько утешительны, что их не смогли поколебать ни сомнения, ни разочарования, неизбежно происходящие в нашей жизни».