Таинственные числа

Число, вынесенное в подзаголовок, несколько больше четырех с четвертью миллиардов. Даже находясь под впечатлением числовых монстров Кнута, мы понимаем, что это довольно значительное число. Особенно сильно оно впечатляет, если представить его в виде денежных купюр. В мире не так уж много людей, чье личное состояние превосходит четыре миллиарда евро. Напротив, министры финансов ежедневно оперируют подобными суммами. При этом они чаще говорят о «приблизительно 4,3 миллиарда», щедро, с избытком, округляя эту величину на какие-то жалкие пять миллионов. Правда, чиновники Министерства финансов являются, не в пример своим начальникам, куда более педантичными. В 1920-х гг.

4,3 миллиарда марок, наоборот, считались смехотворно малой суммой. В ноябре 1923 г. в Германии на 10 миллиардов марок можно было купить разве что почтовую марку. Купюрами достоинством в миллионы марок в ту холодную осень буквально растапливали печки. 297 марок в конце приведенной выше суммы не стоил, наверное, даже во́лос. 16 ноября 1923 г. за сумму, в тысячу раз большую, чем 4,2 миллиарда марок, то есть за 4,2 триллиона марок, можно было купить целый доллар.

Представим себе расстояние 4 294 967 297 метров. Это очень большое расстояние, оно в сто раз превышает окружность Земли по экватору. Служащие авиакомпаний, часто летающие на самолетах деловые люди, да и многие простые смертные давно преодолели это расстояние. Луна находится от Земли на расстоянии, составляющем менее одной десятой этого отрезка.

Напротив, размер атома измеряют в ангстремах, единицах, составляющих одну стомиллионную долю сантиметра. Если взять 4 294 967 297 атомов размером 1 ангстрем и расположить их в ряд, то мы получим цепь длиной менее полуметра.

4 294 967 297 секунд. Звучит устрашающе. Но тем не менее назвать этот период времени чрезвычайно долгим нельзя. Всего это составит 136 лет и немного больше 37 дней, то есть время смены четырех поколений.

Отрезок времени 4 294 967 297 лет по длительности превышает предыдущий период более чем в тридцать миллионов раз. Это действительно период времени гигантской продолжительности. Четыре миллиарда лет назад только что затвердела кора Земли и возник Мировой океан. Вся наша Вселенная существует всего в три раза дольше.

4 294 967 297 тонн представляются невероятным, просто исполинским весом, и это в самом деле так, но в сравнении с массой Земли, превосходящей данную массу более чем в триллион раз, названный вес можно считать пренебрежимо малым.

Представим себе гордого обладателя 4 294 967 297 атомов золота и прикинем, сколько у него этого благородного металла. Окажется, что лишь смехотворных 0,000 000 000 0014 грамма. Такое количество невозможно взвесить на лабораторных весах, настолько оно мало.

Таким образом, число 4 294 967 297 можно считать большим или маленьким в зависимости от того, в каких единицах это число измеряют.

Но что, если мы не станем связывать это число ни с какими единицами, если отвлечемся от экономики, космического пространства, времени, материи, если мы посмотрим на число 4 294 967 297 просто как на число, и ни на что больше? Не откроем ли мы в нем что-нибудь особенное? Если отвлечься от приближенного значения 4,3 миллиарда, то мы сразу убедимся в том, что это число нечетное, то есть оно не делится на два. Тот, кто еще немного помнит школьный курс математики, знает, как установить, делится ли какое-либо число на три. Число делится на три, если сумма его цифр делится на три. Сумма цифр числа 4 294 967 297 равна

59 не делится на три, а это значит, что число 4 294 967 297 не делится на три. Поскольку число это не имеет в разряде единиц ни нуля, ни пятерки, оно также не делится на пять.

Может быть, 4 294 967 297 является простым числом?

Числа, отличные от единицы, которые нельзя представить в виде произведения, то есть не являющиеся истинно прямоугольными числами, называют простыми. В отличие от простых так называемые «составные» числа являются числами истинно прямоугольными. Это означает, что такие числа можно представить в виде произведения двух чисел, из которых оба больше единицы. Геометрическая иллюстрация: можно изобразить прямоугольную решетку, число точек которой в точности равно составному числу. Действительно, если умножить число точек в строке на число точек в столбце, то получится все составное число целиком. Поскольку Пифагор и его ученики — заметим, кстати, что среди них были и женщины — имели пристрастие изображать числа в виде рисунков из точек, постольку понятие простого числа, вероятно, возникло в то же время, когда была изобретена математика, то есть в VI в. до н. э.

Эдмунд Главка любил называть простые числа «неприступными числами», уподобляя их химическим элементам.

Понятие химического элемента возникло, когда после многовековых попыток алхимиков получить золото из неблагородных веществ начала свой победный путь научная химия. Первым великим противником алхимии был ирландский естествоиспытатель Роберт Бойль. В 1661 г. он опубликовал книгу под заглавием «Химик-скептик», в которой разделался с шарлатанами своего времени и высмеял потуги алхимиков изготовить золото из подручных материалов. После проведения множества опытов Бойль обнаружил, из чего состоит «вещество творения» — по образному выражению физика Хайнца Хабера. Бойль утверждал, что природа создала несколько элементарных веществ. Их существование фундаментально, и их невозможно создать искусственно.

Эти первородные вещества Бойль назвал элементами. По его мнению, была обречена на провал любая попытка получить золото из свинца или ртути. Золото — элемент и, таким образом, не может быть расщеплено или создано заново.

Другие вещества, например вода или киноварь, являются не элементами, а химическими соединениями. Если приложить к воде электрическое напряжение, то она расщепится на водород и кислород. Если нагреть киноварь в пламени, то она распадется на ртуть и серу.

То, что относится в природе к веществам, относится в математике к числам. Все числа тоже состоят из первородных «строительных камней». Однако в математике надо различать, можно ли создавать новые числа с помощью простейшего арифметического действия — сложения, или с помощью несколько более сложного действия — умножения.

Возникновение чисел в результате сложения представляется весьма простым. Начинают с первого числа — единицы. Поочередно прибавляя к ней по единице, можно получить все числа — 1, 2, 3, 4… Таким образом, есть только один «элемент», из которого получаются все числа, и этот элемент — единица.

Возникновение чисел в результате умножения — процесс несколько более запутанный и сложный, но зато и более интересный. Мы снова будем исходить из единицы как из первого числа. Однако, умножая единицу саму на себя сколь угодно большое число раз, мы не получим ничего, кроме единицы.

Первым настоящим «элементом» чисел — с точки зрения умножения — является число 2. Из него возникает целый ряд чисел: 2 × 2 = 2² = 4, 2 × 2 × 2 = 2³ = 8, 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁴ = 16 и т. д. Но получить таким образом все числа невозможно. Наименьшее число, отсутствующее в этом списке, — это 3. Поэтому за еще один «элемент» числового царства была принята и тройка — наряду с двойкой. Такие «элементы», как 2 и 3, в математике называют простыми числами (на латыни они называются также первичными). Действительно, начиная с простых чисел, из них путем умножения получают все остальные числа.

С помощью чисел 2 и 3 в результате умножения получают числа 2 × 2 = 4, 2 × 3 = 6, 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 = 9, 2 × 2 × 3 = 12 и т. д. Как мы видим, так снова получаются не все числа. В этом списке отсутствуют 5 и 7. Они тоже являются простыми.

Величайшее озарение снизошло на двух греческих ученых — Евклида из Александрии и Эратосфена из Кирены. Оба принадлежали к поколению, родившемуся после Александра Македонского, и оба работали в Александрийской библиотеке.

Евклид выяснил, что из бесконечного списка простых чисел можно получить все числа как произведения простых чисел из списка. Если же произведения составлять из конечного списка простых чисел, то получить все числа путем вычисления таких произведений не удастся никогда. Евклид обосновывал свое утверждение так: он вычисляет произведение всех простых чисел из списка и добавляет к результату единицу. Выполнив эту операцию, он получает число, которое невозможно разделить ни на одно простое число из списка. Следовательно, это число не является результатом произведения простых чисел первоначально заданного конечного списка.

Растолкуем рассуждения Евклида на конкретном примере: допустим, некто утверждает, что все простые числа исчерпываются списком из 2, 3, 5, 7, 11 и 13. Других простых чисел якобы не существует. Тогда, возражает Евклид, число 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1, равное 30 031, можно было бы представить как произведение простых чисел из этого конечного списка. Но очевидно, что это неверно. Число 30 031 не делится ни на одно простое число из нашего списка, при любом делителе мы получим остаток, равный единице. Поскольку же число 30 031 не может быть записано как произведение простых чисел из списка 2, 3, 5, 7, 11, 13, постольку простых чисел должно быть больше, чем их есть в списке. Помимо того, заметим, что в список не входят простые числа 59 и 509, а именно их перемножение дает в результате 30 031, то есть 59 × 509 = 30 031.

Эратосфену удалось создать таблицу простых чисел в промежутке между 2 и 100. Вот этот список:

При взгляде на него возникает впечатление, что в последовательности простых чисел нет никакой закономерности. В их последовательности мы не наблюдаем никакой регулярности. Эратосфен также понимал, как можно усовершенствовать и расширить систематизацию простых чисел, для чего вычислил все простые числа в промежутке между 1 и 1000. Однако аргумент Евклида гласит, что никакой конечный список не может содержать все без исключения простые числа. То есть ни один конечный список простых чисел не является исчерпывающим.

Спорадическое появление простых чисел в ряду следующих друг за другом натуральных чисел вызывает удивление: между следующими друг за другом простыми числами 19 609 и 19 661 мы видим довольно большой промежуток. Напротив, разность между числами 19 697 и 19 699 равна всего лишь двум. Представляется, что не существует простого закона, определяющего порядок следования простых чисел.

В частности, мы пока не знаем, является ли простым число 4 294 967 297…