Считать можно быстрее, если называть только четные числа 2, 4, 6, 8, 10, … и пропускать нечетные. Человечеству потребовалось долгое время на то, чтобы научиться считать парами. Другие связки чисел — тройки, четверки и так далее — пока не использовались. Это предположение подтверждается лингвистическими данными. Когда мы говорим о числах, которые без остатка делятся на два, мы называем их «четными», но у нас нет такого же наименования для чисел, которые без остатка делятся на три, и в то время как число, которое при делении на два дает остаток, равный единице, мы называем «нечетным», у нас нет особого наименования для чисел, которые при делении на три давали бы остаток, равный единице или двум.

Если счет двойками даже маленькие дети усваивают с быстротой молнии, то им с намного большим трудом дается счет числами, которые делятся на три, четыре и большие числа. Однако для того, чтобы усвоить малую таблицу умножения, они должны наизусть выучить «последовательность троек» 3, 6, 9, 12, 15, …, «последовательность» четверок 4, 8, 12, 16, 20, … и все другие последовательности вплоть до «последовательности девяток» 9, 18, 27, 36, 45, …. Только добравшись до «последовательности десяток» 10, 20, 30, 40, 50, …, мы испытываем чувство облегчения, ибо счет десятками так же прост, как и счет единицами.

При счете связками равной величины, когда, например, считают дюжинами или — в настоящее время эта мера счета практически вышла из употребления — копа́ми, связками по 60 единиц, при одинаковых затратах времени достигают больших величин, чем при счете единицами. Конечно, такой способ счета неприменим, когда речь идет о числах иных порядков.

Использование счета связками или пакетами чисел тем не менее научило людей древних высоких культур такому арифметическому действию, как умножение, а также геометрическому образу того, что, собственно, оно означает. Если, например, взять пакет из шести элементов, шестерку, и поставить в ряд шесть жирных точек, а потом расположить семь таких рядов, которые можно назвать строчками, друг над другом, то мы получим наглядное представление числа 42 в виде «прямоугольного числа», результата умножения 7 × 6. Глуп тот, кто будет считать точки этого прямоугольника ряд за рядом, пока не дойдет до числа 42. Такой счет совершенно не нужен, потому что умножение сразу дает искомый результат 7 × 6.

Используя умножение, люди стали получать числа, большие тех, которые получали простым счетом. Правда, это касалось не всех чисел, например, нет такого простого числа, которое можно было бы получить умножением двух меньших чисел. К этому вопросу мы вернемся позже. Однако, когда, например, Платон требует, чтобы в его идеальном городе жили 5040 граждан, ему не надо было пересчитывать их поодиночке. Достаточно было построить прямоугольник. В ряд надо поставить 60 граждан, а затем построить колонну из 84 таких рядов. Итого, умножив 60 на 84, получим 5040 человек.

Платон поступил бы не так умно, если бы построил всех граждан в две шеренги. Тогда ему пришлось бы считать до 2520. Таким образом, чем ближе прямоугольник по форме к квадрату, тем эффектнее замещает изящное умножение тупой счет.

Если точки, символизирующие какое-либо число, можно расположить в виде квадрата, то такое число называют квадратом какого-то другого числа. Первые квадраты выглядят так:

Последовательность квадратов 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, … растет быстро. Примечательно то, что последовательность разностей последующих и предыдущих квадратов, начиная с трех, состоит из последовательности нечетных чисел.

Если умножить не два, а три числа, то получается связка связок, например, при умножении 3 × 4 × 5. 4 × 5 есть прямоугольное число, составленное из четырех написанных друг над другом строчек, каждая из которых состоит из пяти точек. Число же 3 × 4 × 5 соответствует трем таким прямоугольникам, уложенным друг на друга. Такая фигура соответствует прямоугольному параллелепипеду, состоящему из 60 точек. Древние счетоводы наверняка были поражены тем фактом, что такое сравнительно большое число, как 60, можно получить всего из трех цифр. Самое большое число, которое можно получить, перемножив три однозначных числа, — это 9 × 9 × 9 = 729. В сравнении с 9 это число просто чудовищно велико.

Вообще, когда речь идет о тройном произведении какого-то числа, то есть о результате его умножения на само себя, то говорят о кубе этого числа. Геометрический образ такого числа действительно куб. Первые числа из ряда кубов выглядят так:

Как мы видим, в последовательности кубов числа возрастают намного быстрее, чем в последовательности квадратов тех же чисел, а именно: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, …. Двухсотый куб, то есть 200 × 200 × 200, равен 8 миллионам. Это больше чем число 7 777 777, которого надеялся достичь Роман Опалка после десятилетий тяжкого труда.

На первый взгляд число 200 × 200 × 200 кажется не слишком большим: любой человек может без особого напряжения сил представить себе 200 точек, нанесенных в один ряд. Едва ли вид двухсот таких строчек, уложенных одна на другую, сильно поразит наше воображение. И что гигантского в кубе, составленном из двухсот таких квадратов? Но вспомним: Роман Опалка поставил перед собой задачу, образно говоря, потрогать каждую точку такого куба, проставив ее номер на холсте. Однако за сорок шесть лет изматывающего монотонного труда ему не удалось потрогать все точки куба. Опалка умер, остановившись посреди него.

Мы понимаем, как могут одурачить нас кубы чисел, когда, например, слышим, что Солнце почти в сто десять раз больше Земли. Это «в сто десять раз» хорошо укладывается у нас в голове, если мы имеем в виду радиусы Солнца и Земли. Радиус Солнца составляет приблизительно 700 тысяч километров, а радиус Земли — 6400 километров. Действительно, 110 × 6400 = 704 000. Однако, если сравнить объемы:

то оказывается, что объем Солнца превосходит объем Земли более чем в 1,3 миллиона раз. Более того, в сравнении надо ориентироваться на сравнение объемов, а не радиусов.

Рис. 5. На графике изображенный справа дом по высоте в два раза больше дома, изображенного слева. Однако объем правого дома в восемь раз больше объема левого

Никто не станет утверждать, будто в обыденной жизни его все эти заблуждения с кубиками никогда не коснутся. Простой пример убеждает в обратном: вы читаете в новостях, что за последние десять лет число частных домов в вашем регионе удвоилось. В редакции газеты решили для наглядности сопроводить сообщение графиком. На горизонтальной оси отмечены временные пункты, соответствующие времени десять лет назад и сегодняшнему дню. Над пунктом десятилетней давности отложен вертикальный отрезок, соответствующий тогдашнему числу частных домов, а над пунктом, соответствующим нашему времени, отложен вертикальный отрезок, верхний конец которого удален от горизонтальной оси в два раза дальше, чем конец предыдущего. Эта точка соответствует числу построенных к настоящему времени частных домов. Пока все вроде правильно. Обе точки соединены прямой линией, что уже представляется несколько рискованным, ибо никто не знает, действительно ли число частных домов все это время росло равномерно. Но такой график кажется главному редактору слишком абстрактным. «Мы должны сделать его более понятным, — воодушевляет он художника, — и нарисуем на графике два дома! Один маленький, он будет слева под точкой, соответствующей тому, что было десять лет назад, а справа нарисуем большой дом, и он должен быть в два раза выше первого». Сказано — сделано. Такой график наверняка привлечет жадное внимание читателей, которые будут удивлены темпами роста строительства частных домов. Дело в том, что почти никто из читателей не обратит внимание на направление прямой линии или на сопроводительные числа, но зато почти все сразу увидят оба дома. И будут обмануты, ибо больший, увеличенный как раздутый пузырь дом действительно выше первого вдвое, но площадь его фасада больше уже в четыре раза, а уж объем больше в восемь раз…

Mundus vult decipi — мир любит обманываться.