Как только люди перешли к оседлому образу жизни, они очень быстро выучились основам геометрии. Людям хотелось знать, насколько велики участки земли, которые они обрабатывали: земледелец видит перед собой участок земли; для того чтобы его измерить, он сравнивает его длину и ширину с некой мерой длины, например с маховой саженью, которая представляет собой расстояние между кончиками пальцев обеих рук при их разведении в стороны. Если его прямоугольная грядка имеет в ширину одну сажень, а в длину — семь, то земледелец понимает, что он так же богат, как и его сосед, у которого есть квадратная грядка четыре на четыре сажени. Периметр обеих грядок составляет 16 саженей, и оба крестьянина думают, что их грядки одинаковы. Поначалу древний земледелец не понимает, что его сосед при этом снимает со своей грядки вдвое больший урожай. По прошествии некоторого времени человек начинает понимать, что дело не в периметре, а в площади грядок, и находит разрешение загадки: на его узкой прямоугольной грядке умещается семь квадратов со стороной в одну сажень, а на грядке соседа можно уложить аж шестнадцать таких квадратов, то есть результат умножения четырех на четыре.

То, что было важно для крестьян с их грядками и полями, было еще важнее для властителей и царей, желавших знать, насколько были велики принадлежавшие им земли. В походах царей сопровождали землемеры (по-гречески геометры), которые после выигранных битв измеряли площадь покоренных стран.

Всего за несколько лет Александр Македонский завоевал множество земель и создал крупнейшую по тем временам мировую империю площадью 6,2 миллиона квадратных километров. Эта империя простиралась от Македонии до Индии и от Каспийского моря до верхнего течения Нила. При императоре Траяне Римская империя имела бо́льшую площадь, составлявшую 8,3 миллиона квадратных километров, и это тоже было достижение Античности. Для сравнения можно сказать, что Европейский союз, хотя он простирается от Скандинавии до Средиземного моря и от Атлантики до Черного моря, имеет меньшую площадь — всего каких-то 5 миллионов квадратных километров. Не важно, насколько большими владениями обладали прежние властители, — всех их интересовал вопрос о том, какая доля всего мира находится под их господством.

Спустя одно поколение после Александра Македонского Эратосфену, смотрителю Александрийской библиотеки, удалось измерить величину земного шара. В полдень 21 июня каждого года, когда Солнце находится в своей высшей точке на небосводе, Александрийский обелиск отбрасывает на землю самую короткую тень. Эратосфен точно измерил длину тени и на основании полученных данных установил, что по отношению к столпу солнечные лучи падают на землю под углом 7 градусов и 12 минут, или, выражаясь современным языком, 7,2 градуса. Помимо того, Эратосфен вспомнил, что в тот же день, 21 июня, в Сиене, в 800 километрах к югу от Александрии, Солнце находится в зените. Солнечные лучи в Сиене падают на Землю отвесно, и Солнце отражается в воде глубокого сиенского колодца. Эратосфен заключил, что тень от Александрийского обелиска возникает в результате кривизны земной поверхности. То, что Земля — шар, было известно каждому образованному греку еще со времен Аристотеля. Длина дуги большой окружности, соответствующей 7,2 градуса, равна 800 километрам. Полный угол, то есть 360 градусов, можно получить, если умножить 7,2 градуса на число 50. Именно таким способом Эратосфен узнал длину большой окружности. Умножив 800 километров на 50, он получил число 40 тысяч километров, соответствующее длине окружности Земли.

При всей своей простоте расчет все же представляется несколько эфемерным.

Первый вопрос: откуда мог Эратосфен знать, что солнечные лучи в Александрии и Сиене идут параллельно друг другу? Они не могут быть строго параллельными, потому что Солнце находится не на бесконечном расстоянии от Земли. Но даже во времена Эратосфена ученые были убеждены в том, что это расстояние огромно — настолько огромно, что его лучи можно было без колебаний считать параллельными.

Второй вопрос: действительно ли Сиена находится точно на юге от Александрии? Ответ отрицательный. Сиена находится на несколько градусов восточнее Александрии. Следовательно, Эратосфен на деле получил несколько большую величину, чем 40 тысяч километров, но ошибка составила не больше 1–2 процентов.

Третий вопрос: каким образом Эратосфен мог вычислить длину окружности Земли в километрах? Естественно, Эратосфен этого сделать не мог, так как ему была неизвестна такая единица длины, как километр. В своих расчетах Эратосфен пользовался стадиями. Действительно, надо честно признать, никто в современном мире не знает точно, в каком соотношении находятся современный километр и античный стадий. Но зато мы доподлинно знаем, что Эратосфен умножил на 50 расстояние от Александрии до Сиены, а это самое главное в его расчетах.

Глядя на современную карту, любой человек может быстро удостовериться в том, что Сиена, на месте которой находится современный Асуан, находится не точно на северном тропике. В полдень 21 июня Солнце там не находится в зените. Но и здесь ошибка так мала, что она не могла повлиять на принципиальную верность расчетов Эратосфена, и ею в данном случае тоже можно пренебречь.

Рис. 2. Принцип измерения размеров Земли, использованный Эратосфеном: 21 июня каждого года, в полдень, Солнце освещает воду сиенского колодца. Если солнечный луч продолжить в глубь Земли, то он пройдет через ее центр. Луч света в Александрии, расположенной севернее Сиены, если его продолжить кверху, в направлении неба, упирается не в зенит, так как вертикально стоящий столп отбрасывает на землю тень под углом 7,2 градуса. Эти 7,2 градуса соответствуют длине дуги, соединяющей Александрию с Сиеной. Длина этой дуги равна 800 километрам. Это расстояние составляет ровно одну пятидесятую часть окружности Земли

Если известна длина экватора, охватывающего земной шар, то с помощью выведенной Архимедом формулы можно вычислить площадь поверхности Земли. К тому времени эта формула была уже известна. Архимед не только был современником Эратосфена; они были знакомы лично. Результат вычисления: площадь поверхности Земли равна приблизительно 510 миллионам квадратных километров. Не более одного процента из них приходится на современный Европейский союз, но и империя Александра Македонского, и Римская империя не дотягивали даже до двух процентов!

Разумеется, этот результат неприятно удивил владык и царей и после Эратосфена нашлись другие геометры, попытавшиеся заново измерить величину Земли. Уже тогда процветал феномен, хорошо известный и нам, современным людям: как только представляется политическая возможность, множество приспособленцев и лизоблюдов из числа интеллектуалов и специалистов начинают смотреть в рот властителям, стараясь по губам читать их сокровенные желания. Словно по мановению волшебной палочки, Земля внезапно уменьшилась в размерах. Ко времени императора Траяна окружность Земли по экватору составляла уже всего 27 тысяч километров — согласно расчетам авторитетных геометров того времени. Таким образом, площадь поверхности Земли, которая по расчетам Эратосфена составляла 510 миллионов квадратных километров, съежилась до 230 миллионов квадратных километров. Мировые империи стали больше соответствовать такому названию.

Еще Христофор Колумб мог исходить из допущения о том, что окружность Земли по экватору составляет всего 27 тысяч километров. Следовательно, континент Европы и Азии, согласно таким данным, составлял большую часть суши Северного полушария. Расстояние от Лиссабона до китайского города Гуаньчжоу, согласно сообщениям путешественника XIII в. Марко Поло, составляло около 11 тысяч километров. При таком допущении Колумб мог рискнуть и попытаться западным морским путем через Атлантику достичь Китая или Индии. Советники португальского короля отговаривали от финансирования этого предприятия — они доверяли старым расчетам Эратосфена. Испанский королевский двор после долгих и мучительных переговоров поддержал Колумба, и 3 августа 1492 г. он смог выйти в море. До конца своей жизни Колумб был убежден в том, что 12 октября 1492 г. он открыл «другую сторону» Индии.

Фальсифицированные измерения, таким образом, сделали возможным открытие Америки.