Книга: Большой роман о математике. История мира через призму математики
Назад: 5 Немного о методе
Дальше: 7 Ничего и даже меньше
6
Число π
14 марта 2015 г., я иду во Дворец открытий. Сегодня день торжества! В начале 1930-х годов французский физик, лауреат Нобелевской премии Жан-Батист Перрен замыслил проект создания научного центра, деятельность которого была бы направлена на привлечение общественного интереса к последним исследованиям во всех областях науки. Дворец открыт в 1937 г. в двух шагах от Елисейских полей и занял все западное крыло Большого дворца площадью в 25 000 кв. м. Выставки длились не более полугода и имели большой успех. Двадцать пять лет спустя выставки во Дворце открытий до сих пор привлекают сотни тысяч посетителей ежегодно.
Выйдя из метро, я иду по авеню Франклина-Рузвельта ко входу во Дворец. Подходя к зданию, замечаю цифры: 4, 2, 0, 1, 9, 8, 9. Странная последовательность цифр, написанных на земле, переходит на ступени лестницы, а затем внутрь здания. Необычное решение! В предыдущий раз, когда я был здесь, цифр еще не было. Они продолжаются: 1, 3, 0, 0, 1, 9. Я захожу в здание дворца. Они повсюду: 1, 7, 1, 2, 2, 6. Они пересекают центральную ротонду, продолжаются вверх по лестнице, 7, 6, 6, 9, 1, 4. Я поднимаюсь по ступеням четыре на четыре, прохожу ко входу в планетарий и поворачиваю налево, 5, 0, 2, 4, 4, 5. Цифры ведут меня прямо к отделу математики. Я вижу, как они поднимаются по стене: 5, 1, 8, 7, 0, 7. И вот их источник. Я стою в центре огромной круглой комнаты, красные и черные цифры становятся все больше, они кружатся, поднимаясь все выше. Наконец я нахожу начало серии: 3, 1, 4, 1, 5… Я в сердце одного из самых символичных мест Дворца открытий: в зале π.
Число π, без сомнения, является самой известной и волнующей константой в математике. Круглая форма зала напоминает о том, что значение числа π неразрывно связано с геометрической формой окружности: умножив диаметр окружности на число π, можно узнать ее периметр. Буква π (читается как «пи») – шестнадцатая буква греческого алфавита, соответствует букве «П» и стоит первой в слове «периметр». Число π не такое большое – немного более 3, но его точное значение бесконечно: 3,14159265358979…
В самом зале π, на его округлых стенах написаны первые 704 цифры после запятой. Но сегодня этот ряд продолжен до 1000 значений. Стоит отметить, что сегодня особенный день. 14 марта 2015 г. – день числа π!
Впервые День π стали отмечать 14 марта 1988 г. в Эксплораториуме – американском аналоге Дворца открытий, расположенном в самом центре Сан-Франциско. Четырнадцатый день третьего месяца (что в американском написании обозначается как 3/14) – эта дата идеально подходила для того, чтобы отмечать День π, ведь обычно это число сокращают до 3,14. С тех пор эта инициатива была воспринята, и многие энтузиасты по всему миру собираются каждый год, чтобы отметить день постоянной и воздать почести самой математике. Празднование этого события набрало такой оборот, что в 2009 г. День π был признан официальным праздником Палатой представителей США.
В нынешнем, 2015 г. поклонники отмечают этот праздник особенно восторженно. Сегодняшняя дата 3/14/15 по совпадению соответствует более точному написанию числа π. Этот день должен особенно запомниться. По случаю празднования весь математический корпус Дворца открытий находится в центре событий. Я здесь по этой же причине. Как и другие математики, предвкушаю богатый на открытия день.
Число π появилось благодаря геометрии, а затем распространилось и на другие направления математики. Это многоликое число. В арифметике, алгебре, математическом анализе, теории вероятности встречаемое повсеместно число π вряд ли обойдет стороной кого-то из математиков. В самом центре Дворца открытий, на ротонде, изображено множество ипостасей константы. Посетители могут попытаться сосчитать точки, размеченные на полу, пропорции чисел в таблице умножения. На земле дети надевают на диск деревянные дощечки. Другая группа занята изучением траектории преломления точки на план. И каждый раз получается одинаковый результат: 3,1415…
Чуть далее посетителям предлагается найти дату их рождения в десятичной части числа π. Молодой человек, родившийся 25 сентября 1994 г. делает попытку отыскать эту дату. Сочетание 22091994 находится на 12 785 022-м разряде после запятой. Математики полагают, что любые комбинации цифр рано или поздно встречаются в десятичной части числа π. Компьютерное моделирование в какой-то мере подтверждает это: до сих пор все искомые последовательности в итоге были найдены. Тем не менее неопровержимые доказательства того, что таких комбинаций нет, отсутствуют.
Ко мне подошла девочка лет двенадцати. Она взволнована необычными инструментами, которые нас окружают, и бросает на меня взгляд.
– Ты знаешь, что такое число π? Ты уже слышала о нем?
– О да! – восклицает она. Это – 3,14. Ну не совсем… Примерно 3,14… Я видела его в школе. Это для того, чтобы определять длину окружности. Мы еще учили стишок.
– Стишок?
И она прочитала мне стихотворение для запоминания:
Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Ну и дальше надо знать,
Если мы вас спросим, —
Это будет пять, три, пять,
Восемь, девять, восемь.
Я невольно улыбнулся и вспомнил, как мы в школе тоже запоминали знаки после запятой в числе π таким вот оригинальным способом. В разных языках есть свои аналоги такого стихотворения. Например, во французском языке есть стихотворения, количество букв в каждом из слов которого соответствует цифре в числе π. Есть даже одна из версий перевода стихотворения Эдгара По «Ворон», в котором, таким образом, зашифрованы 740 знаков после запятой!
– Браво! – восклицаю я. Мне кажется, что я не смог бы запомнить эту считалочку. А скажи-ка, девочка, тебе известно, кто такой Архимед?
Я вижу, что поставил ее в тупик своим вопросом. Девочка пожала плечами. Начнем путешествие в прошлое. Перенесемся на Сицилию на 2300 лет назад, в античный город Сиракузы. Именно здесь жил Архимед.
Цикады поют под палящим солнцем. Улицы наполнены ароматами со всего Средиземноморья. На рынке торгуют оливками, виноградом и рыбой. К северу от города на горизонте возвышается силуэт горы Этны. На западе плодородные равнины обеспечивают процветание колонии, в то время как на востоке порт открывает выход к морю. Сиракузы приобрели известность и влияние благодаря своему центральному положению на перекрестке морских путей. Основанные за пять веков до этого греческими завоевателями из Коринфа, Сиракузы являются одним из самых процветающих городов во всем Средиземноморье.
Именно здесь в 287 г. до н. э. родился поистине гениальный человек, считающийся основоположником нового направления в математике. Архимед известен как великий изобретатель, находивший новые и революционные решения математических задач. Современники обязаны ему открытием принципа рычага и винта. Именно он, по легенде, выкрикнул: «Эврика!» – когда принимал ванну и открыл новый физический принцип, который теперь носит его имя: на погруженное в жидкость тело действует выталкивающая сила, равная весу жидкости в объеме тела. Таким образом, предметы, масса которых меньше воды, всплывают, в то время как более тяжелые тонут. Также Архимед прославился тем, что, когда Сиракузы были осаждены римским флотом, применил систему зеркал, чтобы сконцентрировать солнечные лучи и сжечь приближающиеся вражеские корабли.
Архимед был первым из математиков, кто начал использовать в своих рассуждениях число π. Окружности изучались и до него, но без такой систематичности. Вспомните «Математику в девяти книгах» – в этой работе рассматривались поля, диаметр которых равнялся 10 бю, а длина окружности определялась как 30 бю. Исходя из этого, величина π равна примерно 3. В папирусе Ахмеса квадратура круга была определена в размере 3,16, что также приблизительно равняется величине π.
Архимед понимал, что это крайне сложно, а может, и невозможно – рассчитать точную величину π. Значит, он также будет довольствоваться приближенным значением этой константы, но его подход будет отличаться в двух моментах. Во-первых, в то время как его предшественники пытались найти точное значение, сицилийский ученый прекрасно понимал, что π имеет только приблизительное. И, во-вторых, он будет разрабатывать метод, позволяющий находить все более и более точное значение π.
Путем вычислений Архимед рассчитал, что приблизительное значение π находится между 3,1408 и 3,1428. Таким образом, Архимед определил значение числа π с точностью до 0,03 %.
Метод Архимеда
Чтобы рассчитать размер π, Архимед использовал наиболее приближенные по форме правильные многоугольники. Возьмем, например, окружность диаметром в 1 единицу, периметр которой равен π единиц, а затем впишем ее в квадрат.
Сторона такого квадрата равна 1 (как и диаметр круга), таким образом, его периметр равен 4. Так как периметр окружности очевидно меньше периметра квадрата, можно наверняка утверждать, что π меньше 4.Впишем в окружность правильный шестиугольник так, как это показано ниже.
Правильный шестиугольник состоит из шести равных правильных треугольников со стороной 0,5 единицы (половина диаметра окружности). Периметр шестиугольника будет равен 6 × 0,5 = 3. Таким образом, делаем вывод, что π больше 3!Теперь, зная, что 3 < π < 4, остается только увеличивать количество сторон. Если увеличить количество сторон шестиугольника в два раза, получится фигура с 12 сторонами, периметр которой будет ближе к периметру окружности. Следуя нескольким несложным логическим рассуждениям (основанным на теореме Пифагора), мы приходим к выводу, что периметр двенадцатиугольника равен приблизительно 3,11.
Чтобы получить результат с точностью до 0,001, Архимед повторил эту операцию еще три раза. Увеличив количество сторон сначала до 24, затем до 48, а далее до 96!
Вы не видите здесь многоугольника? Это нормально, поскольку он практически сливается с окружностью. Так, Архимед рассчитал, что π больше, чем 3,1408. И, повторив аналогичный процесс с описанными многоугольниками, он вычислил, что π меньше чем 3,1428.Сильная сторона рассуждений Архимеда заключается не только в найденном результате, но и в потенциале для его дальнейшего уточнения. Теоретически, если задаться такой целью, можно бесконечно увеличивать количество сторон многоугольников для дальнейшего уточнения значения числа π.
В 212 г. до н. э. римские войска в конце концов прорвались в Сиракузы. Военачальник Марк Клавдий Марцелл, руководивший осадой города, приказал пощадить Архимеда, которому к тому моменту было уже 75 лет. После того как город был взят, древнегреческий ученый продолжал заниматься своими исследованиями. Когда древнеримский легионер приказал ему остановиться, Архимед не послушался и пытался спасти свои чертежи, сделанные на земле – он бросился на солдата со словами: «Не трогай мои окружности!» Воин растерялся и пронзил математика своим мечом.
Узнав о случившимся, генерал Марцелл приказал поставить на могиле Архимеда памятник в виде сферы, вписанной в цилиндр – символично повторяющий один из предметов исследования ученого. В последующие 700 лет в Римской империи не будет более великого математика, чем Архимед.
Развитие математики приостановилось вплоть до конца эпохи Античности. Римская империя распространилась к этому моменту на все побережье Средиземного моря, и древнегреческая идентичность растворилась в этой новой культуре. Дух математиков Древней Греции, возможно, сохранился еще на несколько веков только в одном городе: Александрии.
Александр Македонский захватил Египет в конце 332 г. до н. э. Пройдет всего несколько месяцев, прежде чем он провозгласит себя фараоном в Мемфисе и решит заложить фундамент нового города на побережье Средиземного моря. Александру, однако, не суждено будет увидеть город, названный в его честь. Когда он умрет через восемь лет в Вавилоне, его царство разделят генералы, и Египет перейдет к Птолемею I, который сделает Александрию столицей. Во время его правления Александрия станет одним из самых процветающих городов Средиземноморья.
Птолемей продолжил дело, начатое Александром. На оконечности острова Фарос, который обращен к городу, он начал строительство монументального маяка. Спустя совсем немного времени древнегреческие авторы признали Александрийский маяк уникальным памятником и назвали его седьмым – и последним – «чудом света».
Давайте остановимся на минуту и насладимся потрясающим видом, который предстает перед глазами путешественника, набравшегося сил, чтобы подняться по сотне ступеней вверх по винтовой лестнице. Посмотрим на север. Средиземное море простирается до горизонта. Здесь можно увидеть торговые суда, находящиеся более чем в пятидесяти километрах. Вот одно из них, загруженное товаром, входит в гавань. Быть может, оно прибыло из Афин, Сиракуз или даже Массалии, оживленного южного города, населенного галлами, который впоследствии станет называться Марсель. Если вы посмотрите на юг, то разглядите дельту Нила. В пяти километрах отсюда проходит через дельту реки Мареотидское озеро с соленой водой. Расположенный на большом участке земли между озером и морем, город Александрия, новый, с современным устройством, очень активно развивался. В нем повсюду можно было встретить новые идеи.
Остров Фарос получил свою известность не только из-за расположенного на нем маяка, но и храма Исиды. Чтобы попасть туда, александрийцы должны были пройти по гептастадиону, дамбе 1300 метров в длину, разделявшую гавань пополам. С маяка можно было увидеть фигурки прохожих, которые ходили по дамбе. Двигаясь в сторону материка, вы попадали в царский квартал. Там находились дворец Птолемея, театр и храм Посейдона. Чуть дальше на западе привлекало особое внимание роскошное здание. Это Мусейон. Туда-то мы и держим сейчас путь.
Птолемей основал этот огромный музей, предназначенный для сохранения наследия греческой культуры, чтобы сделать Александрию культурным центром, способным соперничать с Афинами. Он вкладывал в него большие ресурсы. Ученые, которые прибывали в Мусейон, получали все необходимое. Им предоставляли жилье, питание и оплачивали их труд для того, чтобы они могли заниматься исследованиями. Правитель также пополнял легендарную Александрийскую библиотеку. Быть может, Мусейон прославился даже не столько именами великих ученых, которые работали там, сколько колоссального объема библиотекой.
Для того чтобы воплотить свою идею в жизнь, Птолемей ввел обязательное правило: со всех судов, заходящих в гавань Александрии, собирали все имеющиеся книги, которые затем копировали, после чего копии возвращали на корабль, оригиналы же оставались в библиотеке. Позже Птолемей II, сын и преемник Птолемея I, послал обращение ко всем царям мира с просьбой прислать ему копии самых известных работ в их государстве. Когда библиотека Александрии открывалась, в ней было уже почти 400 тысяч книг! Впоследствии их количество выросло до 700 тысяч.
План Птолемея реализовывался на протяжении более семи веков, ученые преуспевали в Александрии, где интеллектуальная среда процветала, в отличие от остальной части Средиземноморья.
Среди самых известных ученых Мусейона можно выделить Эратосфена Киренского, который, как говорилось ранее, первым точно измерил окружность Земли. Также именно здесь Евклид создал основную часть «Начал». Диофант написал здесь знаменитую книгу об уравнениях, которые впоследствии получили его имя. Во II в. н. э. именно в Александрии Клавдий Птолемей (который не имеет ничего общего с Птолемеем I) написал «Альмагест» – книгу, содержащую многочисленные сведения из области астрономии и математики, уникальные для своего времени. «Альмагест», несмотря на ошибку Птолемея (он считал, что Солнце вращается вокруг Земли), содержит сведения, считавшиеся верными до эпохи Коперника (XVI в. н. э.).
В Александрии не сосчитать было ученых, делающих новые открытия. Целая экосистема переписчиков, переводчиков, комментаторов книг формировалась вокруг Мусейона. Город был переполнен разного рода специалистами.
Увы, в IV в. н. э. наступили неспокойные времена. 16 июня 391 г. император Феодосий I, желая ускорить принятие в империи христианства, опубликовал указ, запрещающий все языческие культы. Мусейон, хоть и не являлся храмом, был закрыт вследствие недальновидного решения императора.
В то время в Александрии жила представительница интеллектуальной среды по имени Гипатия. Ее отец, Теон, был директором Мусейона, когда он был закрыт. Еще какое-то время после закрытия некоторые ученые города продолжали свою работу. Сократ Схоластик позже напишет, что бесчисленные толпы людей стекались, чтобы услышать о Гипатии, превосходившей знаниями всех людей своего времени. Гипатия была математиком и философом – первой женщиной-ученым в нашей истории.
Первой? Не совсем. Другие женщины до Гипатии занимались математикой, но их работы и биографии не сохранились. Женщины были допущены, в частности, в школу Пифагора. Остались свидетельства о нескольких из них: Теано, Отохаридас, Абротелея. Нам известны их имена, но помимо этого мы вряд ли что-либо узнаем о них.
Ни одного текста, написанного Гипатией, не сохранилось, но в некоторых источниках упоминаются ее работы. Она главным образом интересовалась вопросами арифметики, геометрии и астрономии. Ее исследования основывались на работах Диофанта и Птолемея, написанных несколькими столетиями ранее. Гипатии также приписывают целый ряд изобретений, в частности ареометр для измерения плотности жидкости с помощью закона Архимеда, а также новую модель астролябии, упрощающей астрономические измерения.
К сожалению, Гипатия прожила очень недолго. В 415 г. н. э. она навлекла на себя гнев христиан города, которые погнались за ней и в итоге убили. Ее тело было разрублено на части и сожжено. После закрытия Мусейона и смерти Гипатии научное пламя Александрии быстро угасло. Коллекции библиотеки вряд ли пощадили. Пожары, грабежи, наводнения и землетрясения сотрясали город, и, хотя мы не знаем, когда точно, библиотека Александрии исчезла. В VII в. от нее уже ничего не осталось.
Так закончилась целая эпоха. Тем не менее история не стоит на месте, и законы математики, открытые древними греками, переродившись, дошли до нас.
Назад: 5 Немного о методе
Дальше: 7 Ничего и даже меньше
