4
Время теорем

На дворе начало мая. Около двенадцати часов дня, и Солнце находится в зените над парком Ла-Виллет на севере Парижа. Прямо передо мной расположился Городок науки и техники, на входе в который находится «Жеод». Этот необычный кинотеатр, построенный в середине 1980-х, выглядит как гигантский зеркальный шар диаметром тридцать шесть метров.

Кинотеатр привлекает многочисленных туристов с фотоаппаратами в руках, которые пришли посмотреть на необычную достопримечательность Парижа. Целые семьи прогуливаются здесь в эту среду. Влюбленные пары сидят в тени деревьев и гуляют, держась за руки. Тут и там бегущие по парку люди разрезают своим движением толпы людей, которые расступаются в разные стороны, и в спешке бросают взгляд на эту необычную зеркальную сферу. Вокруг дети с интересом рассматривают искаженное изображение окружающего их мира.

Меня же интересуют в первую очередь геометрические параметры данного сооружения. Я подхожу ближе, чтобы рассмотреть его. Поверхность сферы состоит их тысяч треугольных зеркал, связанных между собой. На первый взгляд может показаться, что все элементы идеально соединены друг с другом. Но уже спустя несколько минут многочисленные отклонения становятся заметными. Вокруг некоторых точек вблизи становится очевидным, что примыкающие к ним треугольники отличаются по форме от остальных. В то время как практически все треугольники сгруппированы по шесть вокруг одной точки, есть приблизительно дюжина точек, вокруг которых находится только пять треугольников.

Эти отклонения практически незаметны на первый взгляд. Большинство людей не обращают на них внимания, но вот для меня как математика в этом нет ничего удивительного. Я скажу даже более, я ожидал их найти! Архитектор не допустил ошибки – в мире существует множество других строений аналогичной конфигурации, где возле около дюжины точек группируются по пять элементов, в отличие от шести во всех остальных случаях. Эти точки являются результатом важных геометрических открытий, сделанных более чем две тысячи лет назад древнегреческими математиками.

Теэтет Афинский – древнегреческий математик, живший в IV в. до н. э., – разработал теорию правильных многогранников. В геометрии многогранник – это фигура, объем которой ограничен плоскими гранями. Так, куб и пирамида – это примеры многогранников. Шар и цилиндр, в отличие от многогранников, имеют округлую поверхность. «Жеод», состоящий из треугольников, также является гигантским многогранником, несмотря на то, что из-за большого количества элементов выглядит похожим на сферу.

Теэтет изучал также абсолютно симметричные многогранники, т. е. объемные фигуры с одинаковыми гранями. В результате его исследований был сделан неожиданный вывод: всего существует пять таких многогранников. Только пять! И не более.

По сей день в математике используются исторические названия многогранников в соответствии с количеством их граней – слова с греческим суффиксом «-эдр». Так, куб, состоящий из шести квадратных граней, называется в геометрии гексаэдром. Тетраэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр состоят из четырех, восьми, двенадцати и двадцати граней соответственно. Позже они получили название «платоновы тела».

Платоновы? Но почему не теэтетовы? История зачастую несправедлива, и первооткрыватели не всегда получают причитающиеся им по заслугам почести от современников. Платон прославился не тем, что он открыл данные многогранники, но тем, что стал ассоциировать их со стихиями: огонь – с тетраэдром, землю – с гексаэдром, воздух – с октаэдром, а воду – с икосаэдром. Что же касается додекаэдра, то его античный философ ассоциировал с материей, из которой состоит сама Вселенная. Эта теория впоследствии была заброшена наукой, но спустя столетия правильные многогранники по-прежнему носят название платоновых тел.

Чтобы быть до конца откровенным, следует отметить, что и Теэтет не был первым, кто открыл пять правильных многогранников. Были найдены их еще более ранние примеры. На территории современной Шотландии обнаружена коллекция миниатюрных камушков в форме платоновых тел, созданных за тысячу лет до того, как древнегреческий математик сделал свое открытие! Эти экспонаты сегодня хранятся в музее Эшмола в Оксфорде.

Так не заслуживал ли Теэтет звания первооткрывателя больше, чем Платон? Или все же нет? Не совсем так, ведь даже если принять во внимание, что эти геометрические фигуры открыли еще до Теэтета, он был первым, кто заявил о том, что их всего пять. Бесполезно сегодня пытаться определить, кто же все-таки был первым. Это утверждение, хоть и кажется убедительным, оставляет место сомнениям. Эх! В этом весь вопрос.

Данный исторический этап известен тем, что в это время древнегреческие математики начали заниматься новым направлением в науке. С этих пор для них стало недостаточным просто ответить на вопросы. Математики стремились найти исчерпывающие ответы. Они хотели быть уверенными в том, что ничто не ускользнуло от их внимания, и для этого стремились достичь совершенства в искусстве математики.

Вернемся к «Жеоду». Подтверждение открытия Теэтета налицо: невозможно создать правильный многогранник, состоящий из сотен граней. Как же быть архитектору, который хочет возвести строение, максимально приближенное по своему виду к идеальной сфере? С технической точки зрения крайне затруднительно создать такое сооружение монолитным. Таким образом, не остается ничего другого, кроме как собрать его из маленьких элементов. Но как получить такую структуру?

Можно сделать это несколькими способами. Например, можно взять одно из платоновых тел и немного его доработать. Возьмем, скажем, икосаэдр. Состоящий из восьми треугольных граней, он наиболее приближен по форме к шару из пяти платоновых тел. Далее необходимо разбить каждую из его граней на несколько более мелких. Форма полученного многогранника может быть далее изменена таким образом, как если бы в него надули воздух. Форма полученного многогранника становится ближе к форме шара.

Вот как будет выглядеть икосаэдр, если каждую из его граней разделить на четыре треугольника.

Такой многогранник называется в геометрии… жеод (gÉode). Поэтому, этимология названия этой фигуры связана с названием Земли, иначе говоря, сферы. В этом нет ничего сложного. Именно по такому принципу был построен «Жеод» в парке Ла-Виллет! Грани в данном случае разделены на большее количество треугольников, а точнее, каждая грань – на 400 треугольников, что в сумме дает 8000 маленьких элементов!

Фактически «Жеод» состоит из чуть меньшего количества граней, а именно 6433, т. к. его основание, расположенное на земле, частично усечено, вследствие чего часть граней отсутствует. Тем не менее его форма позволяет объяснить наличие двенадцати отличающихся точек. Эти элементы являются не чем иным, как двенадцатью вершинами икосаэдра, являвшегося основой для данного многогранника. Иными словами, в этих местах соединялись грани-треугольники первоначального икосаэдра. Эти вершины, которые изначально явно выделялись, после последовательного разделения граней на все большее и большее количество маленьких треугольников стали практически незаметными. Но их присутствие остается неизменным, и внимательный прохожий всегда обратит свое внимание на двенадцать отклонений.

Теэтет, разумеется, не мог предположить, что его исследования позволят со временем построить такие грандиозные сооружения, как «Жеод». И это потрясающее свойство математики, заключающееся в том, что она способна бесконечно развиваться, подметили еще древнегреческие ученые. Они начали постепенно формулировать конкретные вопросы с тем, чтобы создать абсолютно новые и вдохновляющие математические модели. Даже несмотря на то, что эти модели часто казались неприменимыми в то время, когда их разрабатывали, зачастую они становились актуальными спустя уже много лет после смерти своих первооткрывателей.

По сей день примеры платоновых тел можно найти в совершенно разных областях. Так они применяются в качестве формы игральных костей в некоторых играх. Правильная форма обеспечивает равную вероятность выпадения значений, иными словами, каждая грань может выпасть с одинаковыми шансами. Все мы видели шестигранные кубики игральных костей, но более искушенные игроки знают, что в играх используются и остальные четыре типа правильных многогранников, обеспечивающих различную степень вероятности.

Немного дальше от «Жеода» я замечаю детей, играющих в футбол на лужайке в парке Ла-Виллет. Они, конечно же, не задумываются над этим, но и данная игра не появилась бы без открытия Теэтета. Обратили ли они внимание на геометрическую закономерность на их мяче? Большинство футбольных мячей состоят из двадцати шестиугольников и двенадцати пятиугольников. На классических мячах шестиугольники покрашены в белый цвет, а пятиугольники – в черный. И даже если на мяч нанесены какие-либо рисунки, присмотревшись, по швам на нем можно рассмотреть неизменные двадцать шестиугольников и двенадцать пятиугольников.

Усеченный икосаэдр! Так правильно называется форма футбольного мяча. И к его форме предъявляются те же требования, что и к «Жеоду»: форма должна быть наиболее приближена к шарообразной. Разница лишь в том, что создатели этой модели использовали иной способ. Вместо того, чтобы разделять грани, они просто-напросто обрезали вершины. Представьте себе икосаэдр, сделанный из пластилина, и мысленно отрежьте его вершины. После того, как отрезанные вершины будут удалены, на месте двадцати треугольников будут шестиугольники, а на месте удаленных вершин – пятиугольники.

А вот эта маленькая девочка с носовым платком в руках, которая встречается мне на пути на выходе их парка Ла-Виллет? Кажется, она не совсем здорова. Не стала ли она одной из жертв худшего из проявлений микроикосаэдров? Ряд микроорганизмов, таких как вирусы, от природы имеют форму икосаэдров или додекаэдров. Такую форму, например, имеют риновирусы, вызывающие многочисленные виды простуды.

Эти микроскопические существа приобрели такую форму по тем же причинам, которые вызвали преобразования в архитектуре и при создании мячей: с целью симметрии и экономии. Благодаря форме икосаэдра мячи состоят не более чем из двух различных типов граней. Аналогичным образом оболочка вируса состоит из нескольких типов молекул (четыре – для риновирусов), которые соответствуют друг другу, всегда повторяя то же строение. Генетический код, необходимый для создания такой оболочки, гораздо более краток и эффективен, чем при несимметричной форме вируса.

И снова Теэтет очень удивился бы, узнав, какие проявления могут быть у открытых им правильных многогранников.

Ну что ж, покидая парк Ла-Виллет, погрузимся в глубь веков. Почему математики Античности, такие как Теэтет, начали интересоваться теоретическими вопросами общего плана? Для того чтобы найти ответ, нам придется вернуться на несколько тысячелетий назад на восточное побережье Средиземного моря.

По мере того как цивилизации древнего Вавилона и Египта постепенно угасали, Античная Греция начиная с VI в. до н. э. находилась на пике культурного и научного развития. Философия, поэзия, скульптура, архитектура, театр, медицина и даже история – все эти дисциплины начинают расцветать в этот период. Даже сегодня удивительные достижения той эпохи потрясают своим величием и таинством. И в этом интеллектуальном подъеме одно из важнейших мест занимает математика.

Когда мы говорим об Античной Греции, первым приходит на ум город Афины и его главное здание – Акрополь. Я сразу же представляю процессию, шагающую по дворцу из мрамора с горы Панделикон, оливковые ветви и граждан в белых тогах, провозглашающих первую в истории демократию. Эти образы далеко не полностью выражают все богатство и разнообразие древнегреческого общества.

В VIII–VII вв. до н. э. древними греками были основаны многочисленные колонии по всему средиземноморскому побережью. Население древнегреческих колоний иногда перемешивалось с коренными жителями, частично перенимавшими их обычаи и образ жизни. Но не все древние греки жили одинаково. Их питание, виды досуга, вероисповедание, политическая система значительно различались в зависимости от региона.

Появление математики в Древней Греции не стало ограниченным явлением, а, наоборот, сформировало обширную географическую и культурную зону. Связь с более ранними цивилизациями, наследие которых было перенято, а также пересечение различных проявлений изучения математики стало катализатором революционных достижений в этой науке. Многие ученые совершали своеобразное паломничество в Египет или на Ближний Восток как неотъемлемую часть своего обучения. Так, многие математики Древнего Вавилона и Египта благодаря этим путешествиям перенимали часть опыта древнегреческих ученых.

На юго-восточном побережье территории современной Турции, в городке Милет, в конце VII в. до н. э. родился один из первых великих математиков Древней Греции – Фалес. Несмотря на то, что упоминания о нем встречаются в многочисленных источниках, сегодня сложно с точностью что-то сказать о его жизни и работе. Как это часто случалось с учеными того периода, различные легенды возникли вокруг имени известного математика уже после его смерти и распространялись его ревностными учениками, так что подчас крайне сложно отделить правду от вымысла. У ученых античности не было серьезных внутренних противоречий, связанных с толкованием жизни своих кумиров. Так, нередко искажались реальные обстоятельства жизни великих наставников в случаях, когда действительность не соответствовала желаемому.

Современники среди прочего говорили о Фалесе, например, что он был необычайно рассеян. Фалес стал первым за долгое время ученым, о котором ходили слухи как о легкомысленном человеке. Согласно одной из легенд, гуляя ночью, он провалился в колодец, когда засмотрелся на звезды. Другая история повествует о том, что ученый погиб в возрасте восьмидесяти лет из-за того, что, увлеченный процессом, он совсем ничего не ел и не пил во время спортивного соревнования, на которое пришел посмотреть.

О некоторых смелых открытиях Фалеса сложили целые легенды. Так, он был первым, кто точно предсказал время солнечного затмения, которое произошло при битве между мидянами и лидийцами на реке Галис в восточной части современной территории Турции. Когда среди ясного дня наступила кромешная тьма, враждующие стороны посчитали это посланием бога и сразу же объявили перемирие. Для современных астрономов не представляет труда предсказать время затмения в будущем или определить, когда оно было в прошлом. Так, с предельной точностью можно сказать, что затмение, о котором шла речь выше, произошло 28 мая 584 г. до н. э. Так, битва при Галисе – самое раннее историческое событие, дата которого доподлинно известна!

Во время своего путешествия в Египет Фалес решил одну из сложнейших поставленных перед ним задач. Рассказывают, что фараон Амасис лично бросил ему вызов, предложив определить высоту пирамиды. До тех пор ни один из египетских ученых не смог этого сделать. Фалес не допустил поражения и использовал очень изобретательный способ. Ученый из Милета воткнул палку в землю под прямым углом и дождался момента, когда длина тени, отбрасываемой палкой, стала равна высоте палки. В этот же момент он измерил длину тени, отбрасываемой верхушкой пирамиды – это и была высота пирамиды. Ответ на загадку была найден!

История зачастую иронична, и ее правдоподобность можно подвергнуть сомнению. Так, вопреки этой истории, высмеивающей несообразительность древнеегипетских ученых, в папирусе Ахмеса говорится о том, что в Древнем Египте прекрасно знали, как рассчитать высоту пирамиды, более чем за тысячу лет до Фалеса! И где же правда? На самом ли деле Фалес измерил высоту пирамиды? Стал ли он первым, кто применил метод определения ее высоты, используя данные о тени? Или же ему было достаточно измерить оливковое дерево во дворе своего дома в Милете? Последователей Фалеса подозревают в приукрашивании истории после его смерти. Стоит учитывать, что нам известно достаточно мало об этом.

Как бы там ни было, геометрия Фалеса вполне реальна, и, независимо, высоту пирамиды или оливкового дерева он измерил, метод использования тени не становится от этого менее гениальным. Этот способ – один из примеров того, что мы сегодня называем теоремой Фалеса. Ряд других математических достижений присваивают Фалесу: диаметр делит круг пополам (рис. 1), углы основания равнобедренного треугольника равны (рис. 2), вертикальные углы двух пересекающихся прямых равны (рис. 3), треугольник, вписанный в окружность, одна их сторон которого является диаметром окружности, – прямоугольный (рис. 4). Последнее утверждение также часто называют теоремой Фалеса.

Вернемся к нашему новому термину: что же такое теорема? Этимология этого слова состоит из греческих слов thÉa (созерцание) и horáô (смотреть, видеть). Таким образом, теорема – это что-то вроде наблюдения с математической точки зрения, то есть замеченное явление, за которым наблюдали и выводили из наблюдейний определенные закономерности математики. Теоремы могли передаваться как устно, так и письменно. Данный термин мог бы применяться и к бабушкиным рецептам и приметам, которые передавались из поколения в поколение и не подвергались сомнению. Одна ласточка весны не делает, лавровый лист лечит ревматизм, и один из углов треугольника, стороны которого относятся как 3–4–5, прямоугольный. Эти знания мы не подвергаем сомнению и можем использовать снова и снова.

Если рассматривать термин «теорема» так, как это описано выше, то жители Древней Месопотамии, Египта и Китая также имели свои теоремы. Однако начиная с Фалеса, древние греки начали использовать это слово в математическом значении: предполагалось, что теорема должна носить максимально обобщенный характер и подтверждаться доказательством.

Вернемся к одному из свойств, открытие которого приписывают Фалесу: диаметр делит круг пополам. Это утверждение могло бы показаться достаточно неоднозначным для ученого уровня Фалеса, ведь это очевидно. Как могло получиться так, что только в VI в. до н. э. люди пришли к такому очевидному выводу? Нет сомнений, что ученые Древнего Египта и Вавилона уже давно сделали это наблюдение.

Однако надо четко понимать, что имя ученого из Милета осталось в истории не только благодаря сделанному наблюдению, но прежде всего из-за сформулированного им доказательства. Фалес сформулировал эту теорему в общем виде – для любого круга! Чтобы сделать тот же вывод, ученые из древних Вавилона, Египта и Китая обращались к конкретным примерам. Нарисовав круг радиусом 3 и диаметр внутри него, они отмечали, что диаметр делит указанный круг пополам. Если одного примера не было достаточным для подтверждения данного факта, приводился второй, третий, четвертый примеры, если требовалось. Примеры приводились до того момента, пока не становилось очевидным, что это верно для любого подобного случая. Но никогда ранее не приводилось и не формулировалось обобщенное доказательство.

Фалес был в этом первооткрывателем. Он говорил о любом круге, независимо от его параметров. Он мог быть как гигантского размера, так и совсем крошечным, начерченный на горизонтальной, вертикальной или наклонной поверхности – совершенно не важно, какой конкретно круг. Всегда диаметр будет делить его на две равные половины.

Так, Фалес был первым, кто окончательно придал геометрическим фигурам статус абстрактных математических объектов. Этот этап в развитии по значению сопоставим с моментом, когда за две тысячи лет до этого в Месопотамии числа стали рассматриваться отдельно от исчисляемых объектов. Круг с этих пор перестает быть очертанием, сделанным на земле, глиняной табличке или папирусе, и перерастает в идею, абстрактную категорию, идеальную форму, реальные изображения которой отныне становятся не более чем условной иллюстрацией. С этих пор математические истины формулируются обобщенно, независимо от наличия конкретных примеров. Такие задачи древние греки теперь стали называть теоремами.

У Фалеса были многочисленные последователи в Милете. Двое наиболее известных из них – Анаксимен и Анаксимандр. У последнего, в свою очередь, тоже были ученики, самый известный из которых, Пифагор, прославился благодаря открытой им теореме.

Пифагор родился в начале VI в. до н. э. на острове Самос, расположенном на территории современной Турции, в нескольких километрах от Милета. В юности он учился и путешествовал по античному миру и в конце концов обосновался в городе Кротон на юго-востоке современной территории Италии. Именно здесь он основал свою школу в 532 г. до н. э.

Учениками Пифагора были не только математики и ученые, но и философы, теологи и политические деятели. Стоит отметить, что если бы мы посмотрели на основанное Пифагором сообщество с точки зрения сегодняшнего дня, то оно могло бы показаться опасной и мрачной сектой. Повседневная жизнь пифагорейцев была жестко регламентирована. Каждому, кто хотел попасть в эту школу, предстояло выдержать пятилетний обет молчания. В этом сообществе отсутствовала частная собственность: все блага были общими. В среде пифагорейцев использовались различные символы для инициации, такие, как, например, тетрактис или пентаграмма в форме пятиконечной звезды. Кроме того, пифагорейцы считали себя избранными и не признавали иной власти. По этой причине Пифагор в возрасте 85 лет погиб во время массовых беспорядков.

О Пифагоре сложили множество легенд, некоторые из них поистине невероятны. Если проанализировать их, то становится понятным, что у его учеников было очень яркое воображение. Так, остались свидетельства о том, что Пифагор был сыном Аполлона. Значение имени Пифагор расшифровывается как «возвещенный Пифией»: Пифия Дельфийская была прорицательницей храма Аполлона, она предсказала родителям Пифагора, что их сын станет наипрекраснейшим и наимудрейшим из живущих. Так, от рождения ему предначертано великое будущее. Считается, что Пифагор помнил все свои предыдущие жизни. Например, он был героем на полях сражений в Троянской войне, и звали его Эуфорб. В молодости Пифагор участвовал в Олимпийских играх и одерживал победу во всех соревнованиях по кулачному бою (прообраз современного бокса). Ученый впервые вывел музыкальные гаммы. Он мог ходить по воздуху, умер и воскрес, обладал божественными способностями и мог исцелять людей. Ему повиновались животные, и он мог обращать любой материал в золото.

В то время как основная часть этих историй – полнейшая чушь, даже в самые правдоподобные сложно проверить. Правда ли, что Пифагор был первым, кто ввел понятие «математика»? Факты настолько противоречивы, что рядом ученых само существование Пифагора ставится под сомнение. Ими выдвинута гипотеза, что Пифагор был вымышленным персонажем и использовался пифагорейцами как тотемная фигура для поклонения.

В отсутствие более точных сведений о математике перейдем непосредственно к тому, что прославило философа в веках и изучается учениками уже спустя более чем 2500 лет: теореме Пифагора! О чем же эта знаменитая теорема? Сама ее формулировка может показаться удивительной, т. к. в этой теореме ученый объединил две математические категории, которые ранее рассматривались только самостоятельно: прямоугольные треугольники и квадратные числа.

Возьмем наш любимый прямоугольный треугольник с параметрами 3–4–5. Квадратные числа с такими сторонами будут равны соответственно 9, 16 и 25.

Можно заметить удивительную закономерность: 9 + 16 = 25. Сумма квадратов 3 и 4 равна квадрату 5. Можно предположить, что это просто совпадение, но если мы попробуем проверить данную закономерность на других прямоугольных треугольниках, то каждый раз будет получаться то же самое. Возьмем, например, треугольник со сторонами 65–72–97, который мы можем найти уже в вавилонских таблицах. Соответственно, квадратные значения будут равны: 4225, 5184 и 9409. Сумма 4225 и 5184 равна 9409. Когда приводятся примеры с такими большими числами, сложно поверить в чистое совпадение.

Вы можете проверить, взяв значения сторон любого прямоугольного треугольника – маленького или большого, широкого или узкого, – это правило будет работать всегда! В прямоугольном треугольнике сумма квадратов сторон, образующих прямой угол (катетов), равна квадрату третьей стороны (гипотенузы). И это правило применимо и в обратную сторону: если в треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы – это прямоугольный треугольник. Это и есть теорема Пифагора!

Вполне вероятно, что на самом деле первооткрывателем этой теоремы был не Пифагор и даже не его ученики. Даже если в Вавилоне и не сформулировали данную теорему в том виде, в котором это будет показано далее, есть основания полагать, что уже тогда, за тысячу лет до этого, стали известны соответствующие тройки чисел. Иначе как шумеры смогли бы перечислить все эти значения сторон прямоугольных треугольников в Плинтонской табличке? В Древнем Египте и Китае также с большой долей вероятности знали о закономерности, подтвержденной впоследствии в теореме. Это следует из комментариев к «Математике в девяти книгах», добавленных в более поздних редакциях.

Некоторые считают, что Пифагор был первым, кто продемонстрировал доказательство этой теоремы. Тем не менее однозначного подтверждения этому факту нет, и первым источником, в котором приводится доказательство, является труд Евклида «Начала», датируемый тремя веками спустя.