2
Рождение чисел

В это время цивилизация Месопотамии активно развивается. В конце IV тысячелетия до н. э. небольшие деревушки преобразовались в цветущие города. В некоторых из них уже проживали десятки тысяч жителей! Технологии развивались так стремительно, как никогда ранее. Какими бы ни были архитекторы, ювелиры, гончары, ткачи, плотники или скульпторы, им приходилось постоянно проявлять чудеса изобретательности, чтобы справляться с задачами, встречавшимися на пути. Металлургия была еще не в полной мере развита, но уже находилась на пути к становлению.

Понемногу дорожная сеть распространилась на весь регион. Культурный и торговый обмен становился все более интенсивным. Иерархия усложнялась, и вид Homo sapiens познал все прелести управления. Эти перемены требовали соответствующей организации. Чтобы создать определенный порядок, чтобы изобрести письменность и войти в историю, нашему виду потребовалось много времени. В настоящей революции, которая произойдет в ближайшее время, математика сыграет роль авангарда.

Покинув северные территории, на которых появились первые оседлые поселения, отправимся ниже по течению реки Евфрат, в регион Шумера, расположенный в Нижней Месопотамии. Именно здесь, в южных степях, находился главный очаг цивилизации. Перемещаясь вдоль реки, мы попадаем в еще очень молодые города Киш, Ниппур и Шуруппак. Впереди их ждут величие и процветание.

А далее за горизонтом внезапно появляется город-муравейник Урук, поражавший весь Ближний Восток своим величием и могуществом. Построенный практически полностью из глиняных кирпичей, город раскинулся на сотню гектаров, и потерявшиеся туристы могут бродить там часами. В центре города были построены несколько монументальных храмов. В них возносили хвалу Ану, отцу всех богов, а также, в частности, Инанне, матери небес. В ее честь возведен храм Эанны, высота которого достигает восьмидесяти метров в длину и тридцати в ширину, что производит неизгладимое впечатление на посетителей.

Каждый год с приближением лета город охватывало всеобщее волнение. Совсем скоро овец должны были погнать в северные районы на пастбища, и возвращались они только в конце жаркого сезона. Следующие несколько месяцев пастухи гуртовали скот, обеспечивали его безопасность и затем приводили овец обратно к их владельцам. Во владении храма Эанны было несколько стад, некоторые из них насчитывали десятки тысяч голов. Во время передвижения стада сопровождали конвои, в отдельных случаях даже включавшие в себя солдат для защиты каравана от возможных опасностей.

Разумеется, владельцы не могли отпустить свой скот, не приняв соответствующих мер предосторожности. Что касается пастухов, здесь все понятно: вернуть они должны были столько же голов, сколько им доверили. Нельзя было допустить, чтобы часть животных отбилась от стада или чтобы пастух втихаря продал животных.

Тогда встал вопрос: как сравнить размер стада до и после выпаса?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, уже спустя несколько столетий придумали систему глиняных жетонов. Есть несколько типов жетонов, отличающихся по форме и нанесенному рисунку, для подсчета как одного, так и нескольких объектов или животных. Для подсчета овец использовались обычные диски с изображением креста на них. Перед выпасом скота в сосуд помещали жетоны, количество которых соответствовало поголовью в стаде. Для того чтобы проверить, одинаково ли количество вернувшихся и ушедших на выгул животных, было достаточно посчитать жетоны и овец. Чуть позже эти жетоны получили название calculi, от лат. «маленькие камушки», а позднее от этого слова образовалось производное calcul.

Этот способ практичен, но имеет свои недостатки. Кто отвечает за сохранность жетонов? Не только пастухов, но и владельцев скота можно заподозрить в недобросовестности: например, последние имеют возможность положить дополнительные жетоны в сосуд во время отсутствия пастуха, а затем потребовать компенсацию за утрату несуществующих голов и таким образом незаконно обогатиться за счет пастуха!

Наши предки искали ответ и нашли его. Жетоны начали складывать в полый шар из глины. Перед тем как его запечатать, каждый ставил свою подпись на лицевой стороне шара-футляра с тем, чтобы потом можно быль удостоверить его подлинность. После этого изменить количество содержащихся внутри жетонов не представлялось возможным, и пастухи могли быть спокойны.

Но этот метод, в свою очередь, оказался неудобным для владельцев. С точки зрения учета зачастую требовалось узнать количество голов в стаде. И как же это можно сделать? Помнить наизусть количество овец? Это не настолько очевидно, если вспомнить, что язык чисел еще не изобрели. Иметь второй незапечатанный сосуд с таким же количеством жетонов? Не очень практично.

В конце концов решение было найдено. С помощью заостренной палочки на поверхность сосуда наносились изображения жетонов, находящихся внутри. Таким образом, стало возможным определять количество жетонов, не нарушая целостность шара.

Этот способ с тех пор использовался повсеместно ввиду очевидных преимуществ. Его стали применять не только при подсчете овец, но и при заключении других соглашений. Специальные жетоны делали для зерновых культур, таких как ячмень или пшеница, шерсти и текстиля, металла, ювелирных изделий, драгоценных камней, нефти или керамики. Даже налоговые поступления стали рассчитывать в жетонах. Так, в конце четвертого тысячелетия в Уруке надлежащая форма заключения любого договора предполагала запечатывание в герметичном глиняном сосуде фишек соответствующего типа и количества.

Так обстояли дела до момента, пока не появилась новая блестящая идея, настолько идеальная в своей простоте, что удивительно, что она не пришла никому в голову раньше. Если количество голов скота написано на внешней стороне сосуда, то зачем вообще складывать в него жетоны? Зачем в принципе нужен такой сосуд? Ведь можно просто обозначить количество голов на куске глины, например на плоской раскатанной плитке.

Так зародилась письменность.

Я возвращаюсь в Лувр. Коллекции кафедры восточных древностей подтверждают достоверность исторических фактов. Первое, на что я обращаю внимание, – размер запечатанных сосудов. Эти небольшие глиняные сферы, которые шумеры изготавливали, накручивая на большой палец, были не больше мячика для тенниса. Размер же самих жетонов не превышал одного сантиметра.

Чуть дальше появляются первые таблички и занимают уже целые витрины. Постепенно письменность развивается и принимает форму клинописи – в качестве символов используются черточки. После исчезновения первых цивилизаций Месопотамии в начале нашей эры большая часть этого наследия была скрыта под руинами заброшенных городов, пока его наконец не нашли европейские археолога в XVII в. Расшифрованы эти записи только XIX в.

Таблички также были невелики, некоторые из них – размером с визитную карточку, но при этом полностью покрыты наслаивающимися записями, выполненными мелким шрифтом. Безусловно, писцы из Месопотамии старались максимально полно использовать глиняные таблички для письма. Подписи, расположенные рядом с экспонатами, помогли мне разобраться со смыслом написанного на табличках: там были записи о животноводстве, ювелирных изделиях и крупах.

Рядом со мной несколько туристов делали фото… на собственные таблички – планшеты. Ирония судьбы в том, что на разных этапах исторического развития записи делались на самых разнообразных носителях: глине, бумаге, мраморе, воске, папирусе или пергаменте, – и в итоге оказались на электронных планшетах, по форме напоминающих своих «предшественников». Современные планшеты и их исторические аналоги неимоверно схожи. Кто знает, может быть, через пять тысяч лет наши планшеты окажутся на этих же музейных стендах рядом с сегодняшними экспонатами.

Времена изменились, и с начала третьего тысячелетия до н. э. наступил новый исторический этап: числа стали существовать автономно от описываемого ими объекта. Раньше, когда использовались запечатанные сосуды и первые таблички, символы относились к конкретным описываемым предметам. Так, овца и свинья, являясь разными животными, имели различные символы для своего обозначения. И каждый объект аналогично этому имел собственный символ для описания, как если бы для него был свой специальный жетон.

Но в один прекрасный момент все изменилось. У чисел появились обозначения. Иными словами, чтобы описать восемь овец, теперь можно было не использовать восемь символов, обозначающих овцу, а вместо этого изобразить символ для обозначения числа восемь и рядом с ним символ овцы. И если требовалось описать восемь свиней, достаточно было заменить символ овцы на символ свиньи. Число восемь отныне приобрело собственное значение.

Это один из наиболее важных и невероятных этапов истории. Если бы меня попросили назвать дату появления математики, то я без колебаний назвал бы именно эту. Вот тот самый момент, когда числа начинают существовать самостоятельно от исчисляемых ими предметов, отрываясь тем самым от реальных объектов и переходя в разряд умозрительного. Все, что было раньше – рубила, узоры, жетоны, – это только предпосылки, предшествовавшие неизбежному зарождению чисел.

С этих пор числа перешли в разряд абстракции, и со временем сформировалось единообразие в математике, науке, в наивысшей степени абстрактной. Математики не изучают физические объекты, состоящие из соответствующих веществ и атомов. Они рассматривают только идеи. Тем не менее эти идеи имеют огромное значение для лучшего понимания мира!

Закономерно, что появление чисел также способствовало зарождению письменности в целом. Потому что, если основная часть идей могла передаваться устно, для описания числовых характеристик требовалось вносить определенные записи.

Разъединены ли сегодня понятия содержания чисел и их графического выражения? Если я попрошу вас подумать об овце, как вы ее себе представите? Вы, без сомнения, представите блеющее животное на четырех лапах с шерстью на спине. Вам не придет в голову представить четыре буквы, из которых состоит слово «овца». Однако если я попрошу вас представить себе число сто двадцать восемь, что вы представите? Вероятно, в вашем воображении появятся цифры 1, 2 и 8? Мысленное представление больших цифр, кажется, неразрывно связано с их написанием.

Это совершенно беспрецедентный случай. В отличие от всех остальных вещей, для которых письменное обозначение вторично, а первичны устные названия, для чисел написание было первичным, а устные эквиваленты появились уже позднее. Только задумайтесь, как вы произносите «сто двадцать восемь»? Вы скажете: «128: 100 + 20 + 8». После определенного значения невозможно говорить о числах, не задумываясь об их написании.

В наше время встречаются коренные племена, в которых используется очень ограниченное количество слов для числовых обозначений. Так, жители племени пирахан (Pirahã), охотники-собиратели, живущие на берегах Рио-Мэси (rio Maici) в Амазонии, умеют считать только до двух. Для всего, что больше двух, они используют слово, означающее «несколько» или «много». Также в Амазонии живет племя мандуруку (Munduruku), в котором используется пять слов, обозначающих числа, что соответствует количеству пальцев на одной руке.

В современном обществе числа заполонили повседневную жизнь. Они стали настолько распространены, что мы часто забываем, до какой степени сама идея их создания гениальна и что нашим предкам потребовались века, чтобы достичь этого уровня.

На протяжении веков изобретено множество способов написания чисел. Самый простой – это обозначать число количеством символов, равным этому числу. Например, параллельными черточками. Этот метод мы до сих пор часто используем, в частности, чтобы вести счет в игре.

Наиболее ранний пример такого метода исчисления, возникшего еще до появления письменности, кости Ишанго, найден в 1950-е гг. в месте проживания шумеров, на берегу озера Эдуард на территории современной Республики Конго. Данные предметы изготовлены приблизительно двадцать тысяч лет назад! Эти экспонаты длиной в 10 и 14 сантиметров покрыты более или менее равноудаленными насечками. С какой целью они сделаны? Возможно, это была первая система исчисления. Некоторые считают, что это календарь, в то время как другие усматривают более развитые математические формы. Сейчас уже сложно сказать точно. Обе кости в настоящее время экспонированы в Музее естественных наук в г. Брюсселе (Бельгия).

В таком методе подсчета одна черта обозначает одну единицу, что вызывает сложности при описании крупных чисел. Чтобы решить эту проблему, необходимо было ввести обозначения для нескольких элементов.

Они появились уже в Месопотамии. Например, специальный жетон использовался для обозначения десяти овец. Когда произошел переход к письменности, данный принцип сохранился. Так, встречаются символы, обозначающие числа 10, 60, 600, 3600 и 36 000.

В обозначении символов уже в этот период отмечается определенная логика. Так, символы для 60 и 3600 с окружностями внутри обозначают числа в 10 раз больше.

С появлением клинописи символы начинают постепенно видоизменяться.

В расположенном неподалеку Египте с третьего тысячелетия до н. э. также начали развиваться собственные численные обозначения.

С этих пор повсеместно была принята десятичная система исчисления: свой собственный символ использовался для обозначения каждого числа, в 10 раз большего предыдущего символа.

Начала формироваться новая система исчисления посредством прибавления. В данной системе порядок символов влияет на их значение. И в этом первыми тоже были жители Месопотамии.

Начиная со второго тысячелетия до н. э. Вавилон занимал центральное положение на Ближнем Востоке. Клинопись по-прежнему оставалась популярной, но с этих пор начали использовать только два символа: чем-то похожий на гвоздь для обозначения 1 и наклоненный уголок – для обозначения 10.

Используя эти два символа, можно было написать любое число до 59. Так, для обозначения 32 необходимо было написать три уголка и два гвоздика.

А затем, начиная с 60, использовали символы для обозначения чисел, кратных 60. По аналогии с тем, как в современной системе исчисления числа записываются справа налево: сначала единицы, затем десятки, сотни и т. д., в вавилонской системе исчисления записывались сначала единицы, затем 60, 3600 (т. е. 60, умноженное на 60) и так каждый следующий порядок в 60 раз больше предыдущего.

Например, число 145 обозначалось как два числа 60, дающие в сумме 120, а также 25 единиц. Вавилоняне записывали это число так:

Благодаря этой системе ученые Вавилона достигли необычайных успехов в математике, научились не только складывать, вычитать, умножать и делить, но и выделять квадратный корень, возводить в степень и рассчитывать обратную величину. Они разработали очень точные арифметические таблицы, уравнения и способы их решения.

Однако совсем скоро эти знания предали забвению. С закатом цивилизации Вавилона существенная часть достижений в области математики была утрачена. Конец позиционной нумерации. Конец уравнениям. Пройдут века, прежде чем эти вопросы снова станут актуальными. Только в XIX в. клинописные таблицы расшифруют, и станет известно, что жители Месопотамии были первооткрывателями многих важнейших математических принципов современности.

После Вавилона позиционную систему исчисления также использовали майя, с тем лишь отличием, что в качестве кратного числа они брали 20. Затем подобную систему изобрели в Индии с кратным числом 10. Последнюю систему развили арабские ученые, а затем ее переняли в Европе в конце Средних веков. Ниже перечислены цифры, получившие в дальнейшем название «арабские», распространившиеся по всему миру.

С появлением цифр человечество получило инструмент, который превзошел все возможные ожидания и позволил не только записывать и анализировать числа, но и в целом познавать окружающий мир.

Люди начали настолько сильно восхищаться числами, что иногда это заходило слишком далеко. Появление чисел породило нумерологию, согласно которой числа наделены особенными магическими свойствами. Ученые-нумерологи полагают, что в числах содержатся ответы на вопросы о существовании бога и законах мироздания.

В VI в. до н. э. Пифагор сформулировал фундаментальный подход: «Мир управляется числом». Согласно его философии, числа порождают геометрические фигуры, которые, в свою очередь, лежат в основе четырех стихий: огня, воды, земли и воздуха, участвующих в создании всего окружающего нас мира. Пифагор также разделил все числа на нечетные и четные; первые он ассоциировал с мужским началом, а вторые – с женским. Число 10, изображаемое в форме треугольника и называемое «тетрактис», стало символом гармонии и космического совершенства. Пифагорейцы также были первыми, кто сформулировал принцип нумерологии, согласно которому соответствующие числа в буквах имени человека оказывают влияние на его характер.

Параллельно с этим шли дискуссии о том, что представляет собой число. Ряд авторов полагали, что единица не является числом, т. к. число – это по определению совокупность единиц, следовательно, числа начинаются только с 2. И, таким образом, единицу считали одновременно и четной, и нечетной, поскольку из единиц состоят все остальные числа.

Позже появились число ноль, отрицательные числа и даже мнимые числа, породившие множество дискуссий. Каждый раз, когда появлялись новые идеи, это способствовало возникновению дебатов и заставляло математиков совершенствовать свои концепции.

Коротко говоря, числа не переставая ставили вопросы перед человечеством, и потребуется много времени, прежде чем удастся приручить этих необычных существ, созданных человеческим разумом.