Среднее движение Солнца от узла определяется геометрическим средним, пропорциональным между средним движением самого Солнца и тем его средним движением, с которым Солнце быстрее всею отходит от узла в квадратурах.

Пусть T есть место Земли, Nn – линия узлов Луны в какое-либо данное время, КТМ – перпендикуляр к ней, ТА–прямая, вращающаяся вокруг центра с такою угловою скоростью, с какою Солнце и узел расходятся друг от друга, так что угол между неподвижною прямою Nη и вращающеюся ТА всегда равен расстоянию между местом Солнца и узла. Если какую-либо прямую ТК подразделить на части TS и SK, относящиеся одна к другой, как среднее часовое движение Солнца к среднему часовому движению узла в квадратурах, и взять прямую ТН так, чтобы было

то эта прямая будет пропорциональна среднему движению Солнца от узла.

Опишем круг NKnM центром T и радиусом ТК, и на осях ТН и TN при том же центре опишем эллипс NHnL; тогда, если провести прямую Тbа, площадь сектора NТa представит сумму движений узла и Солнца за то время, в продолжение которого Солнце отходит от узла на дугу Na. Пусть аА есть весьма малая дуга, описываемая в продолжение заданного весьма малого промежутка времени прямою Тbа при ее равномерном вращении по вышеуказанному закону, тогда площадь сектора ТАа будет пропорциональна сумме скоростей, с которыми переносятся Солнце и узел. Скорость Солнца почти равномерна, так что ее малые неравенства едва ли могут произвести какое-либо изменение в среднем движении узлов. Вторая же часть этой суммы, именно скорость узла по среднему своему значению, увеличивается при удалении от сизигий пропорционально квадрату синуса расстояния узла от Солнца (по след. предл. XXXI), и так как эта средняя скорость наибольшая в квадратурах К, то она находится в том же отношении к скорости Солнца, как SK к ST, или как (ТК² – ТН²): ТН², или как КН × МН: ТН³. Эллипс NBH подразделяет площадь сектора АТа, представляющую сумму этих двух скоростей, на две части АВbа и ТВb, пропорциональные самим скоростям.

В самом деле, продолжим ВТ до пересечения с кругом в точке β и опустим из точки В перпендикуляр BG на большую ось и продолжаем его в обе стороны до пересечения с кругом в точках F и f. Площадь АВbа относится к площади сектора ТВb, как АВ × Вβ к ВТ² (ибо произведение АВ × Вβ = ТА² – ТВ², так как точка T есть середина прямой Аβ); это отношение там, где площадь АВbа – наибольшая, т. е. в К, будет равна отношению КН × × НM: НТ².

Но и наибольшая средняя скорость узла находилась в таком же отношении к скорости Солнца, значит, в квадратурах сектор АТа разделяется на части, пропорциональные скоростям. Но так как

и

то отношение площадки АВbа там, где она наибольшая, к остающейся площади сектора ТВb равно AB × Bβ:BG². Но отношение этих площадок, как указано выше, равно AB × Bβ: ВТ², поэтому площадка АВbа в месте А относится к ее величине в квадратурах, как BG²: ВТ², т. е. она пропорциональна квадрату синуса расстояния Солнца от узла. Поэтому сумма всех площадок АВbа, т. е. площадь ABN, будет пропорциональна движению узла в то время, в которое Солнце отошло от узла на дугу NA. Остающаяся площадь, т. е. площадь эллиптического сектора NTB, будет пропорциональна среднему движению Солнца за то же время. Так как среднее годовое движение узла есть то его среднее движение, которое происходит за время полного оборота Солнца, то среднее движение узла от Солнца относится к среднему движению самого Солнца, как площадь круга к площади эллипса, т. е. как ТК: ТН, т. е. к средней пропорциональной между ТК и TS, или, что то же, как ТН: TS.

Сила Солнца ML, возмущающая движение Луны, когда Луна в квадратурах (по предл. XXV), относится к силе тяжести на Земле, как 1 к 638 092,6. Сила же ТМ – LM –2РК вдвое больше, когда Луна в сизигиях.

Эти силы, если опуститься к поверхности Земли, уменьшаются в таком же отношении, как и расстояние до центра, т. е. в отношении 60 ½ к 1, так что первая сила на поверхности Земли относится к силе тяжести, как 1 к 38 604 600. Этою силою море понижается в местах, отстоящих на 90° от Солнца. Второю силою, которая вдвое больше, море поднимается под Солнцем и в области ему противоположной. Сумма этих двух сил относится к силе тяжести, как 1 к 12 868 200. Так как каждая из этих сил производит то же самое движение, понижает ли она воду в областях, отстоящих на 90° от Солнца, или же ее повышает в областях под Солнцем и в областях, ему противоположных, то эта сумма и представит полную силу, возмущающую море. Производимое ею действие будет то же самое, как если бы эта сила целиком прилагалась лишь в областях под Солнцем и в областях, ему противоположных, повышая море, в областях же, отстоящих на 90°, не действовала бы совсем.

Такова сила Солнца, возмущающая море в таком месте, где Солнце находится в зените, и в среднем своем расстоянии от Земли. При других положениях Солнца сила, заставляющая море подниматься, прямо пропорциональна синусу верзусу удвоенной высоты Солнца над горизонтом места и обратно пропорциональна кубу расстояния Солнца до Земли.

Следствие. Так как центробежная сила частиц Земли, происходящая от суточного вращения Земли, составляющая 1/289 силы тяжести, производит то, что высота воды под экватором превосходит ее высоту при полюсах на 85 472 парижских фута, как показано в предложении XIX, то сила Солнца, о которой идет речь, относящаяся к силе тяжести, как 1 к 12 868 200, т. е. к сказанной центробежной силе, как 1 к 44 527, произведет, что высота воды в областях под Солнцем и в областях противоположных будет превосходить высоту ее в областях, от них отстоящих на 90°, на 1 фут и 11⅓ дюйма парижского, ибо эта величина относится к 85 472, как 1 к 44 527.

Если бы Луна была телом жидким, наподобие нашего моря, то сила Земли, заставляющая подниматься ближайшие и отдаленнейшие его части, находилась бы к силе Луны, поднимающей наши моря в местах под Луною и противоположных ей, в отношении, равном произведению отношений ускорительной силы тяготения Луны к Земле к ускорительной силе тяготения Земли к Луне и отношения диаметра Луны к диаметру Земли, т. е. как

А так как наше море повышается силою Луны на 8,6 фута, то жидкость Луны должна бы под действием силы Земли подниматься на 93 фута. Вследствие этой причины фигура Луны стала бы представлять сфероид, которого больший диаметр по продолжении проходил бы через центр Земли и превышал бы перпендикулярные диаметры на 186 футов.

Итак, Луна принимает такую форму и должна бы ею обладать с самого начала.

Quod erat demonstrandum, что и требовалось доказать.

Следствие. Вследствие этого происходит, что с Земли наблюдается всегда одна и та же сторона Луны; в другом положении тело Луны не могло бы и находиться в покое, а постоянно возвращалось бы к этому положению, совершая колебания. Но эти колебания, вследствие малости действующих сил, происходили бы весьма медленно, так что та сторона, которая должна бы быть постоянно обращена к Земле, могла бы быть обращена и к другому фокусу лунной орбиты (по причине, указанной в предл. XVII) без того, чтобы немедленно быть оттянутой и повернутой к Земле.

Конец математических начал