Приложение 1
Вывод формулы E = mc2
Допустим, вы находитесь в лаборатории, где частица медленно движется слева направо со скоростью v гораздо ниже с (то есть v << c). Частица подчиняется законам Ньютона, и если она имеет массу m, то, согласно Ньютону, у нее будет импульс P = mv, направленный вправо. Частица испускает в противоположных направлениях два фотона (один влево, другой вправо), каждый из которых обладает энергией E = hν0.Частица теряет энергию в количестве ΔE = 2hν0, равную той энергии, которую «с точки зрения частицы» уносят два фотона. Эйнштейн показал, что импульс фотона равен его энергии, деленной на скорость света c. С точки зрения частицы фотоны уносят равное количество импульса, но в противоположных направлениях. Поэтому общий импульс двух фотонов «с точки зрения частицы» равен нулю. Частица «считает», что находится в покое (по первому постулату Эйнштейна), и испускает два одинаковых фотона в противоположных направлениях. По соображениям симметрии, если находящаяся в покое частица испускает два равночастотных фотона в противоположных направлениях, то она и остается в покое. Мировая линия частицы остается прямой – скорость ее не меняется (см. рис. 18.4).
Фотон, летящий вправо, в итоге врежется в правую стену лаборатории. Он ударит в стену, и стена немного отскочит вправо. Так действует давление излучения: стена поглощает импульс фотона и под влиянием этого импульса начинает немного сдвигаться вправо. Наблюдатель, сидящий на правой стене, увидит, что в правую стену врезался прилетевший слева фотон и частота этого фотона выше, чем была в момент излучения (сдвинута в синюю часть спектра), поскольку частица движется в сторону правой стены. Это проявление эффекта Доплера. Для сравнения: наблюдатель, сидящий на левой стене, увидит, что летящий влево фотон смещен в красную часть спектра и частота его ниже, чем в момент излучения, поскольку частица удаляется от этого наблюдателя. Более высокочастотный (синий) фотон обладает большим импульсом, чем более низкочастотный (красный). Поэтому толчок в правую стену (с отскоком вправо) будет сильнее, чем толчок в левую стену (с отскоком влево). Два толчка не уравновешиваются, и в целом лаборатория получает импульс вправо. Давайте вычислим, каков этот суммарный толчок.
Время между прохождением гребней волны излученных фотонов (воспринимаемых как волны света), измеренное частицей, равно Δt0. Время между испусканием двух гребней волны, Δt0, равно единице, деленной на частоту света 0 с точки зрения частицы. Допустим, частота света – 100 циклов в секунду; например, время между прохождениями соседних гребней волны составляет 1/100 секунды. Тогда Δt0 = 1/v0. Пусть v – скорость частицы относительно лаборатории. Часы на частице будут тикать (в системе координат покоя в лаборатории) с частотой √1 – (v2/c2) по сравнению с часами в лаборатории, об этом мы уже говорили. Но при этих расчетах предполагается, что v << c, поэтому мы игнорируем все члены порядка (v2/c2), уделяя внимание лишь членам порядка (v/c). (Например, если v/c = 10–4, что соответствует 30 км/c, скорости вращения Земли вокруг Солнца, то v2/c2 = 10–8; этот второй член настолько мал, что им можно пренебречь по сравнению с первым.) Поскольку мы работаем в пределе v << c, частота тиканья часов на частице, в принципе, не отличается от частоты тиканья лабораторных часов. Таким образом, интервал времени между ударами часов на частице (Δt0) и в лаборатории (Δt´), в принципе, одинаковы, поскольку частица движется так медленно.
Наблюдатель, находящийся в состоянии покоя относительно лаборатории, видит, что между прохождениями первого и второго гребней волны, испущенной частицей, проходит время Δt0 = Δt´ = 1/ 0. (См. рис. 18.4, где интервал времени показан в виде вертикальной прерывистой линии.) В момент, когда частица испустит вправо следующий гребень волны, он отстанет от первого гребня на расстояние d = (с – v)Δt´.Оно равно расстоянию, преодолеваемому лучом света за время Δt´ (то есть сΔt´) минус расстояние, пройденное частицей (равное vΔt´). Оба гребня летят вправо со скоростью света с (согласно второму постулату Эйнштейна); следовательно, они летят параллельно, и расстояние между ними остается постоянным d = (с – v) Δt´.Длина световой волны λП, регистрируемая наблюдателем, сидящим на правой стене лаборатории, равна этому расстоянию между гребнями волны, то есть λП = (с – v) Δt´.Пространственно-временная схема на рис. 18.4 иллюстрирует этот мысленный эксперимент. Расстояние λП между гребнями волны измеряется в некоторый момент лабораторного времени (по горизонтали на данной пространственно-временной схеме).
Следовательно, временной интервал между прибытием двух гребней волны к правой стене равен ΔtП = λП/c = (с – v) Δt´/c, а наблюдаемая частота фотона, летящего вправо, составит νП = 1/ΔtП = c/[(с – v) Δt´] = ν0c/(с – v). Теперь при v << c величина c/(с – v) примерно равна 1 + (v/c), здесь в v/c остаются лишь члены первого порядка.(Например, если v/c = 0,00001, c/(с – v) = 1/0,99999 = 1,00001 с высокой точностью – можете проверить на калькуляторе.) Следовательно, наблюдатель, сидящий у правой стены лаборатории, видит, что летящий к нему фотон врезается в стену, имея частоту νП = ν0[1 + (v/c)].Он наблюдает более высокую частоту, чем была у фотона в момент излучения, и эта частота больше исходной в [1 + (v/c)] раз в силу доплеровского эффекта, где v – скорость частицы. Это стандартная формула доплеровского эффекта для света, смещенного в синюю часть спектра; этот свет попадает в правую стену лаборатории и был излучен частицей, которая на низкой скорости v летит к стене.
Попадая в правую стену, летевший вправо фотон сообщает ей направленный вправо импульс hνП/c = hν0[1 + (v/c)]/c.
Также частица излучает фотон, летящий влево. В итоге он врежется в левую стену. Наблюдатель, сидящий у левой стены лаборатории, видит, что этот фотон, летящий к нему, имеет частоту νЛ = ν0[1 – (v/c)].Знак скорости в формуле меняется на обратный, поскольку наблюдатель у левой стены видит, как частица удаляется от него со скоростью v.Частота волны с его точки зрения ниже, чем в момент излучения, это объясняется доплеровским эффектом. Следовательно, суммарный направленный вправо импульс, который лаборатория получит от двух фотонов, равен импульсу, который был передан летящим вправо фотоном hν0[1 + (v/c)]/с минус импульс, сообщенный фотоном, летящим влево, hν0[1 – (v/c)]/с. Имеем формулу 2hν0(v/c2) для общего импульса вправо, который два фотона сообщают лаборатории. Лаборатория приобретает такой общий импульс, поскольку более высокочастотный (голубой) фотон, летящий вправо, ударяет стену сильнее, и этот удар не компенсируется более слабым толчком, который сообщает летящий влево более низкочастотный (красный) фотон. Итак, 2hν0 = ΔE – это всего лишь энергия, испускаемая частицей в виде двух фотонов. Направленный вправо импульс, полученный лабораторией, равен ΔE v/c2.Множитель v/c2 получается из множителя v/c, обусловленного доплеровским смещением, и множителя 1/c в силу соотношения импульса и энергии, которую несут фотоны.
По закону сохранения импульса величина импульса, приобретенного лабораторией, должна быть равна величине импульса, потерянного частицей. Импульс частицы равен mv (поскольку v << c, формула Ньютона для импульса в данном случае точна). Скорость частицы не изменяется, и поэтому потерять часть импульса mv частица может лишь одним способом – потеряв часть массы. Уменьшение ее импульса составляет vΔm, где Δm – масса, утраченная частицей.
Приравняв ΔE v/c2 = vΔm, находим, что ΔE/c2 = Δm. Невысокая скорость v нашей частицы сокращается! Поскольку v << c, ответ не зависит от v. Умножив обе части формулы на c2, получим ΔE= Δmc2. Частица теряет массу. Количество утраченной массы Δm, умноженное на c2, дает количество энергии, унесенной фотонами ΔE. Убираем знаки «дельта» (Δ) с обеих сторон тождества и получаем E= mc2. Энергия, отдаваемая двумя фотонами, равна произведению массы, которую утрачивает частица, на скорость света в квадрате c2. Теряя массу, частица испускает некоторое количество энергии, определяемое по формуле E = mc2. Во множестве книг объясняется важность этой формулы и рассказывается, как она устроена, но там не пишут, как выводится эта формула. Теперь мы вам об этом рассказали.
