В этом разделе мы выводим закон Хаббла, предположив изотропию и однородность Вселенной.

Рассмотрим точки 1, 2 и 3 где-то во Вселенной, образующие треугольник, как показано на рис. 2.1. Длины сторон треугольника являются r21, r31 и r32. Длина r31 зависит не только от длины двух других сторон, но и от угла между ними. Изменяя угол, мы можем получить любое значение r31 в диапазоне от |r21 – r32 | до r21 + r32.

Из-за космологического расширения точки удаляются друг от друга. Рассмотрим движение частиц в двух других точках, наблюдаемых из определенной точки: скажем, из точки 1. Каждая из точек 2 и 3 может смещаться только в радиальном направлении от точки 1, в противном случае Вселенная была бы анизотропной. В изотропной Вселенной попросту нет никаких выделенных направлений, за исключением радиального. Скорости удаления всех частиц на расстоянии r от наблюдателя должны быть одинаковыми независимо от их направления, в противном случае Вселенная тоже была бы анизотропной. Таким образом, условие изотропии фиксирует скорость расширения в видегде f (r) – некоторая пока неизвестная функция.

Скорость точки 2 по отношению к наблюдателю в точке 1 равнаТочка 3 движется со скоростьюотносительно точки 2. Сложив эти скорости, мы получаем, что точка 3 движется со скоростьюотносительно точки 1. Это дает нам условие:

Так как векторымогут иметь разные направления, это возможно, только если

f (r21) = f (r31) = f (r32) = const. (2.3)

Таким образом, функция f (r) сводится к постоянной, которую мы называем постоянной Хаббла H. Следовательно, в однородной и изотропной Вселенной в любой момент времени единственно возможным законом расширения является закон Хаббла (2.1).

Обратите внимание, что при выводе закона Хаббла мы игнорировали релятивистские эффекты, связанные с конечностью скорости света. В релятивистском случае мы больше не можем просто складывать скорости, формулы становятся более сложными.

Выведем их. Согласно СТО, если тело движется со скоростью v относительно неподвижного наблюдателя, а второе тело движется в том же направлении со скоростью w относительно первого, то скорость второго тела относительно неподвижного наблюдателя равна:

Используя обратные гиперболические функции, это уравнение можно переписать в виде:

Гиперболический арктангенс может быть сведен к натуральным логарифмам как

Если бы постоянная Хаббла H была действительно постоянной, то мы должны были бы использовать функцию c×arth (v/c) вместо v в законе Хаббла (2.1) и получить (здесь буквы th обозначают гиперболический тангенс):

Тем не менее для скоростей намного меньше скорости света закон Хаббла в виде (2.1) хорошо работает.

Обратите внимание, что скорость v разбегания галактик и других космических объектов не может достичь скорости света с, и это никак не противоречит СТО. Расстояние r = c/H, таким образом, не является границей наблюдаемой части Вселенной, как многие ошибочно полагают. В разделе 3.4 мы обсудим космологический горизонт, который является настоящей границей видимой части Вселенной, но существование этой границы вызвано совершенно другой причиной.

Как бы то ни было, зависимость постоянной Хаббла от времени приводит к тому, что ученые используют закон Хаббла в простой форме (2.1) только для объектов, расположенных не слишком далеко, т. е. при v << c. Более отдаленные объекты характеризуются их красными смещениями z. Их свет был излучен давно, когда значение постоянной Хаббла отличалось от нынешнего параметра. Еще одна причина связана с неоднозначностью определения расстояния до удаленных объектов.