ЭПИЛОГ

КАК БЫТЬ ПРАВЫМ

Между вторым и третьим курсом университета я во время летних каникул работал на одного исследователя из области здравоохранения. Этот исследователь (немного позже вы поймете, почему я не называю его имени) хотел нанять студента, изучающего математику, потому что ему нужно было узнать, сколько человек заболеет туберкулезом в 2050 году. Моя работа на лето состояла в том, чтобы выяснить это. Он дал мне большую папку с документами о туберкулезе, в которых были самые разные сведения: в какой степени туберкулез передается при различных обстоятельствах, типичное протекание инфекционной болезни и продолжительность максимально заразного периода, кривые выживания и степень соблюдения режима лечения, а также разбиение всех перечисленных выше данных по возрасту, расе, полу и ВИЧ-статусу больных. Большая папка. Много бумаг. И я взялся за работу, делая то, что делают студенты, изучающие математику: разработал модель для определения уровня заболеваемости туберкулезом, воспользовавшись теми данными, которые предоставил мне исследователь, для того чтобы определить, как будут меняться и взаимодействовать уровни заболеваемости этой инфекционной болезнью в разных группах населения со временем, десятилетие за десятилетием, пока не наступит 2050 год, конец периода моделирования.

И вот к какому выводу я пришел: я не имею ни малейшего представления о том, сколько людей будут больны туберкулезом в 2050 году. Во всех эмпирических исследованиях присутствовала неопределенность: по данным этих исследований, скорость распространения болезни составляла 20%, но, может быть, это 13%, а может, и 25%, хотя исследователи были вполне уверены, что это не 60% и не 0%. Каждая из этих небольших локальных неопределенностей распространялась на всю модель, а неопределенности в отношении разных параметров модели усиливали друг друга — и к 2050 году шум полностью заглушал сигнал. Я мог интерпретировать результаты моделирования как угодно. Может быть, в 2050 году вообще не будет такой болезни, как туберкулез, или, может быть, большая часть населения мира будет заражена этой болезнью. У меня не было принципиального способа выбрать правильный вариант.

Это было не то, что хотел услышать исследователь. Это было не то, за что он мне платил. Он платил мне за число — и весьма терпеливо повторил свою просьбу о том, чтобы я его предоставил. Мой работодатель сказал: я знаю о существовании неопределенности, ведь именно так проводятся медицинские исследования, я это понимаю, просто предоставьте мне свое наиболее вероятное предположение. Как бы я ни пытался убедить его в том, что любое предположение будет хуже полного отсутствия предположений, — это не имело значения. Исследователь настаивал. А ведь он был моим боссом, поэтому в конце концов я согласился. Не сомневаюсь, что впоследствии он рассказывал многим о том, что в 2050 году Х миллионов человек будут страдать туберкулезом. Готов побиться об заклад: если кто-то спросил бы этого исследователя, откуда он об этом знает, он сказал бы: «Я нанял специалиста в области математики».

КРИТИК, ДОСТОЙНЫЙ УВАЖЕНИЯ

Под влиянием этой истории может сложиться впечатление, что я рекомендую придерживаться трусливого способа не ошибаться, а именно — вообще ничего никогда не говорить, отвечая на все трудные вопросы пожиманием плеч и уклончивыми формулировками типа: «Видите ли, с одной стороны, неопределенность могла бы быть подобна этому, но, с другой стороны, она вполне могла бы представлять собой и нечто такое…»

Люди такого типа (кто придирается к мелочам, кто часто говорит «нет» или «может быть») не способны предпринимать реальные действия. Когда кто-то хочет осудить таких людей, он обычно приводит цитату из речи Теодора Рузвельта «Гражданство в республике», с которой он выступил в Сорбонне в 1910 году, вскоре после окончания своего президентского срока:

Нет, не критик, который все заранее рассчитывает; не человек, указывающий, где сильный споткнулся или где тот, кто делает дело, мог бы справиться с ним лучше, — уважения достоин тот, кто на самом деле находится на арене, у кого лицо покрыто потом, кровью и грязью; кто отважно борется; кто допускает ошибки, кто снова и снова терпит лишения, ибо не может быть попыток без ошибок и неудач, но кто действительно стремится что-то делать; кто проявляет великий энтузиазм, великую преданность; кто посвящает себя достойному делу; кто в лучшем случае познает триумф высоких достижений, а в худшем случае проиграет, но после великих дерзаний, а потому его место никогда не будет рядом с холодными и робкими душами, не знающими ни побед, ни поражений.

Я привел наиболее популярный и чаще всего цитируемый отрывок, но вся речь невероятно интересна и насыщенна; по своей продолжительности и содержательности она превосходит все выступления, с которыми мог бы обратиться к людям президент США в наши дни. В своей речи Рузвельт затрагивает и те проблемы, которые рассмотрены в нашей книге.

Вот что он говорит, например, об убывающей полезности денег:

Дело в том, что после достижения определенного уровня осязаемого материального успеха или вознаграждения вопрос дальнейшего повышения этого уровня неизменно теряет свою значимость по сравнению с другими вещами, которые можно сделать в жизни.

Есть в его речи и об ошибке «меры шведскости», когда считается, что чем больше хорошего, тем лучше, и чем больше плохого, тем хуже:

Полностью отказываться от прогресса по той причине, что люди, которые к нему стремятся, порой впадают в нелепые крайности, так же глупо, как впадать в те же нелепые крайности только в силу разумности некоторых мер, в защиту которых выступают эти сторонники крайностей.

Однако основная тема, к которой Рузвельт возвращается на протяжении всей речи, сводится к тому, что выживание цивилизации зависит от смелых, обладающих здравым смыслом, мужественных людей, — и лейтмотивом проходит мысль о торжестве сильных и бесстрашных над мягкими, размышляющими, бесполезными. Рузвельт произносил свою речь в Сорбонне — в храме французского академического сообщества, где всего десятью годами ранее на том же самом месте Давид Гильберт представил свой список из двадцати трех проблем. С балкона взирала на Рузвельта статуя Блеза Паскаля. Гильберт призывал своих слушателей перейти от геометрической интуиции и реального мира на новый виток абстракции. Рузвельт ставил противоположную цель: на словах он признает достижения французских ученых, но каждый раз дает понять, что книжное знание играет второстепенную роль в создании национального величия:

Я выступаю в великом университете, который представляет цвет высочайших интеллектуальных достижений; я отдаю дань уважения интеллекту и продуманному специализированному обучению великих умов. И все же я знаю, что все присутствующие согласятся со мной, если я прибавлю, что еще более важную роль играют обычные повседневные качества и добродетели.

В речи Рузвельта были и такие слова: «Кабинетный философ, утонченный и культурный человек, который на основании своих книг говорит, как следует управлять людьми в идеальных условиях, совершенно бесполезен в реальной государственной работе». Читая эти слова, я думаю о Кондорсе, который проводил все свое время в библиотеке и который сделал для французского государства больше, чем большинство деловых и энергичных его современников. И ровно на том месте, где Рузвельт иронизирует по поводу холодных и робких душ, сидящих где-то в сторонке и критикующих воинов, я вспоминаю Абрахама Вальда, который за всю свою жизнь, насколько мне известно, никогда не брался за оружие, но тем не менее сыграл серьезную роль в военных действиях американских вооруженных сил, давая вершителям судеб и дел советы, что и как им лучше делать. Вальд не был покрыт потом, грязью и кровью, но он был прав. Он был тем критиком, который достоин уважения.

ЭТО И ЕСТЬ ДЕЙСТВИЕ

Я противопоставляю Рузвельту Джона Эшбери, чье стихотворение Soonest Mended («Словами делу») — самое замечательное из всех известных мне описаний того, как неопределенность и откровение могут смешиваться в разуме человека, не уничтожая друг друга. Это стихотворение содержит более сложную и точную картину дела всей жизни, чем жесткий настоящий мужчина Рузвельта, страдающий и разбитый, но никогда не сомневающийся в избранном пути. Ответом на речь Рузвельта «Гражданство в республике» вполне могло бы стать печально-комичное представление Эшбери о гражданстве:

Как видишь, мы оба были правы, хотя из ничего
И вышло ничего; а воплощенья-аватары, в коих
Мы следовали правилам игры, живя, как все,
В каком-то смысле сделали из нас «хороших граждан»,
Мы зубы чистили и все такое, учились принимать
Благотворительную пайку испытаний, поскольку это
И есть действие — такая неуверенность, такая подготовка
Беспечная, посев семян, не легших в борозду,
Готовность все забыть, всегда вернуться,
Чтоб стать на мертвый якорь для отплытья в тот день давным-давно.

Это и есть действие — такая неуверенность! Я часто повторяю это предложение как мантру. Безусловно, Теодор Рузвельт не стал бы называть неуверенность действием. Он скорее назвал бы это малодушной нерешительной позицией. Группа Housemartins («Городские ласточки») — поп-группа с марксистскими взглядами, самая замечательная из всех, кто когда-либо брал в руки гитару, — встала на сторону Рузвельта в своей песне Sitting on a Fence («Ни вашим, ни нашим»), представляющей собой уничижительный портрет нерешительного человека, придерживающегося умеренных политических взглядов:

Ни вашим, ни нашим — таков человек, который колеблется от опроса к опросу.
Ни вашим, ни нашим — таков человек, который видит обе стороны обеих сторон…
Но настоящая проблема такого человека в том,
Что он говорит, что не может, когда может…

Однако Рузвельт и «Городские ласточки» неправы, а Эшбери прав. В его понимании неуверенность — это качество сильного человека, а не слабака; как сказано в стихотворении, это «род неустойчивого равновесья, возвышенного до эстетического идеала».

И математика — один из элементов этого «неустойчивого равновесия». О математике часто думают как о царстве определенности и абсолютной истины. В каком-то смысле так и есть. Мы имеем дело с необходимыми и непреложными фактами вроде такого: 2 + 3 = 5 — и все такое прочее.

Однако математика — еще и инструмент, с помощью которого мы можем рассуждать о неопределенности, приручая, если вообще не одомашнивая, ее. Такая ситуация сложилась со времен Паскаля, начавшего с того, что помог азартным игрокам понять причуды случая, а закончившего определением шансов в ставках на самую грандиозную неопределенность из всех возможных. Математика предоставляет нам возможность демонстрировать принципиальную неуверенность. Не просто всплескивать руками и говорить «ах», а занимать твердую позицию: «Я в этом не уверен, вот почему я в этом не уверен, и вот примерно в какой степени я в этом не уверен». Или того больше: «Я в этом не уверен, и вы тоже не должны быть уверены».

ЧЕЛОВЕК, КОТОРЫЙ КОЛЕБЛЕТСЯ ОТ ОПРОСА К ОПРОСУ

В наше время настоящим рыцарем принципиальной неопределенности является Нейт Сильвер, игрок в онлайновый покер, который стал знатоком бейсбольной статистики, а затем превратился в политического аналитика, публикации которого в колонке New York Times на тему президентских выборов 2012 года привлекли к методам теории вероятностей большее внимание общественности, чем когда бы то ни было. Я считаю Нейта Сильвера своего рода Куртом Кобейном теории вероятностей. Они оба посвятили свою жизнь тем культурным практикам, которые раньше были распространены только в пределах небольших замкнутых групп истинных последователей (для Сильвера это было количественное прогнозирование в области спорта и политики, для Кобейна — панк-рок). Они оба доказали: если заниматься какой-то темой публично, подавая ее в доходчивой форме, но не ставя под угрозу исходный материал, то любой сюжет может стать чрезвычайно популярным.

Что сделало Сильвера столь компетентным? В значительной мере это обусловлено тем, что он был готов говорить о неопределенности, готов обращаться с неопределенностью не как с признаком слабости, а как с реалией этого мира, тем, что можно изучить посредством строгого научного метода и с пользой применить на практике. Если сейчас сентябрь 2012 года и вы задаете группе политических аналитиков вопрос «Кто будет избран на пост президента в ноябре?», многие из них ответят «Обама», немного меньше скажут «Ромни». Но дело в том, что и те и другие неправы, а правильный ответ — это ответ, который был готов дать Сильвер, почти единственный среди многочисленных представителей СМ. : «Победить может любой из них, но вероятность того, что победит Обама, гораздо выше».

Традиционные политические обозреватели восприняли этот ответ с тем же пренебрежением, с каким когда-то ко мне отнесся мой туберкулезный босс. Им нужен был ответ. Они не понимали, что Сильвер дает им этот ответ.

Джош Джордан из National Review написал: «Тридцатого сентября, вызвав множество споров, Сильвер дал Обаме шанс на победу 85% и предсказал распределение голосов в коллегии выборщиков 320–218. Сегодня разрыв немного сократился, но Сильвер по-прежнему определяет шансы Обамы на победу в 67%, а перевес голосов коллегии выборщиков — в 288–250, что заставило многих задуматься, заметил ли он ту динамику в пользу Ромни за прошедшие три недели, которую увидели все остальные».

Заметил ли он динамику в пользу Ромни? Разумеется, заметил. В конце сентября Сильвер оценивал шансы Ромни на победу в 15%, а 22 октября — в 33%, почти в два раза больше. Однако Джордан не заметил, что Сильвер это заметил, поскольку Сильвер по-прежнему совершенно правильно полагал, что у Обамы больше шансов на победу, чем у Ромни. Для традиционных политических обозревателей, таких как Джордан, это означало, что его ответ не изменился.

Или возьмем слова Дилана Байерса из Politico: «Таким образом, если случится так, что 6 ноября победит Митт Ромни, трудно вообразить, как люди смогут и дальше доверять прогнозам человека, который никогда не оценивал шансы этого кандидата на победу более чем в 41% (еще 2 июня), а за неделю до выборов дает ему один шанс из четырех, хотя согласно опросам он почти не отстает от действующего президента… Какую бы достоверность Сильвер ни присваивал своим прогнозам, зачастую создается впечатление, что он перестраховывается».

У тех, кто хоть немного думает о математике, такие тексты вызывают желание заколоться вилкой. Потому то, что предлагает Сильвер, — это не перестраховка, а честность. Когда прогноз погоды говорит, что с вероятностью 40% будет дождь, вы перестаете доверять таким прогнозам? Нет, поскольку вы понимаете, что погода по сути своей изменчива и было бы ошибкой делать какие бы то ни было однозначные выводы, будет завтра дождь или нет.

Разумеется, Обама все же одержал победу, причем со значительным перевесом, что поставило критиков Сильвера в крайне глупое положение.

Ирония в том, что, если критики хотели поймать Сильвера на ошибочном прогнозе, они упустили отличную возможность. Что мешало задать Сильверу такой вопрос: «По какому количеству штатов ваши прогнозы окажутся ошибочными?» Насколько мне известно, никто никогда не ставил Сильверу такой вопрос, но не так уж трудно определить, как бы он на него ответил. Двадцать шестого октября Сильвер оценил шансы Обамы на победу в штате Нью-Гемпшир в 69%. Если вы в тот момент потребовали бы от него ответа на вопрос, кто победит в выборах, он назвал бы Обаму. Таким образом, вы могли бы сказать, что Сильвер оценивает вероятность ошибки по поводу результатов выборов в Нью-Гемпшире в 0,31. Другими словами, ожидаемая доля неправильных ответов, которые он дал бы на вопросы в отношении Нью-Гемпшира, составила бы 0,31. Не забывайте: ожидаемая ценность — это не та ценность, которую вы ожидаете, а скорее вероятностный компромисс между возможными результатами. В данном случае Сильвер либо даст ноль неправильных ответов по поводу Нью-Гемпшира (результат, вероятность которого составляет 0,69), либо один неправильный ответ (результат, вероятность которого 0,31), что дает математическое ожидание в размере:

(0,69) × 0 + (0,31) × 1 = 0,31,

этот результат получен по методу, представленному в .

Сильвер был в большей степени уверен в своих ответах по поводу штата Северная Каролина, в котором он оценил шансы Обамы на победу в 19%. Однако это означает, что, по его оценкам, прогноз в отношении Ромни окажется ошибочным с вероятностью 19%; другими словами, он оценивает долю неправильных ответов в 0,19.

Вот список штатов, которые Сильвер считал потенциально конкурентными 26 октября:

ШТАТ	ВЕ­РО­ЯТ­НОСТЬ ПО­БЕ­ДЫ ОБА­МЫ	ОЖИ­ДА­Е­МАЯ ДО­ЛЯ НЕ­ПРА­ВИЛЬ­НЫХ ОТ­ВЕ­ТОВ
Орегон	99%	0,01
Нью-Мексико	97%	0,03
Миннесота	97%	0,03
Мичиган	98%	0,02
Пенсильвания	94%	0,06
Висконсин	86%	0,14
Невада	78%	0,22
Огайо	75%	0,25
Нью-Гемпшир	69%	0,31
Айова	68%	0,32
Колорадо	57%	0,43
Виргиния	54%	0,46
Флорида	35%	0,35
Северная Каролина	19%	0,19
Миссури	2%	0,02
Аризона	3%	0,03
Монтана	2%	0,02

Поскольку математическое ожидание аддитивно, самое лучшее предположение Сильвера в отношении количества конкурентных штатов, которые он выбрал неправильно, представляет собой сумму значений по каждому из этих штатов, то есть 2,83. Другими словами, если бы Сильверу задали соответствующий вопрос, он, по всей вероятности, ответил бы на него так: «В среднем я неправильно оценю ситуацию в трех штатах».

На самом деле он правильно оценил ситуацию во всех пятидесяти штатах.

*   *   *

Даже самому авторитетному политическому обозревателю было бы трудно критиковать Сильвера за то, что его прогнозы оказались более точными, чем он обещал. Когда вы рассуждаете правильно, как делал Сильвер, вы обнаруживаете, что всегда считаете себя правым, но вы не считаете, что вы всегда бываете правым. Философ Уиллард Ван Орман Куайн сказал об этом так: «Верить во что-то — значит верить в то, что это истинно; следовательно, разумный человек считает каждое свое убеждение истинным. И все же опыт научил его исходить из предположения, что некоторые его убеждения, он не знает какие, окажутся ошибочными. В общем, разумный человек верит в то, что все его убеждения истинны и что некоторые из них ошибочны».

С формальной точки зрения, это очень напоминает кажущуюся противоречивость американского общественного мнения, о которой шла речь в . Американцы считают, что каждая правительственная программа заслуживает дальнейшего финансирования, но это не означает, что они считают все правительственные программы заслуживающими дальнейшего финансирования.

Сильвер обошел общепринятые нормы освещения политических событий и рассказал людям более правдивую историю. Вместо того чтобы говорить, кто одержит победу в выборах или у кого есть «динамика», он сообщил, как оценивает шансы кандидатов на победу. Вместо того чтобы говорить, сколько голосов, поданных членами коллегии выборщиков, получит Обама, он предложил вероятностное распределение: скажем, у Обамы вероятность получения 270 голосов выборщиков, которые были необходимы ему для переизбрания, составляла 67%, вероятность получения 300 голосов — 44%, 330 голосов — 21% и так далее. Сильвер предложил общественности неопределенный результат, но эта неопределенность носила строго научный характер — и общественность приняла это к сведению. Я даже не думал, что это возможно.

Это и есть действие — такая неуверенность!

ПРОБЛЕМА ИЗБЫТОЧНОЙ ТОЧНОСТИ

Единственное критическое замечание в адрес Сильвера, которое я в какой-то мере поддерживаю, состоит в том, что утверждения типа «На данный момент шансы Обамы на победу составляют 73,1%» вводят людей в заблуждение. Десятичное число предполагает такой уровень точности оценок, которого на самом деле нет: вряд ли стоит говорить о том, что произойдет нечто значительное, если модель Сильвера даст значение 73,1% в один день и 73,0% на следующий день. Эта критика направлена в адрес подачи информации Сильвером, а не его реальной программы, но она имела большой вес у политических обозревателей, которые считали, что читателям навязывают одобрение того или иного кандидата посредством впечатляюще точных прогнозов.

Существует такая вещь, как избыточная точность. Модели, которые используются для подсчета результатов SAT, позволяют рассчитать средний балл SAT с точностью до нескольких десятичных знаков — если мы решили бы это сделать. Но мы не станем так поступать: ученики и без того волнуются, поэтому не нужно умножать их беспокойство по поводу того, что кто-то из одноклассников опережает их на сотую долю процента.

Преклонение перед абсолютной точностью сказывается и на выборах, причем не только в период лихорадочного отслеживания результатов опросов, но и после их проведения. Если вы помните, в 2000 году выборы в штате Флорида завершились с разницей в несколько сотен голосов между Джорджем Бушем-младшим и Альбертом Гором, что составляло сотую долю процента от общего количества голосов. Согласно нашему законодательству и обычаю было крайне важно определить, кто из кандидатов может претендовать на превосходство в несколько сотен голосов. Однако если нам нужно обсудить тему: кого жители Флориды хотели бы видеть своим президентом, — эти подсчеты не имеют никакого смысла. Возникающая из-за испорченных, потерянных и неправильно подсчитанных избирательных бюллетеней неточность гораздо больше той микроскопической разницы между окончательными результатами голосования. Мы не знаем, кто получит больше голосов во Флориде. Разница между судьями и математиками состоит в том, что судьям приходится постоянно корчить из себя людей знающих, тогда как математики могут говорить правду.

Журналист Чарльз Сейфе включил в свою книгу Proofiness («Доказательность») очень забавный и немного удручающий рассказ об аналогичном случае упорной борьбы между демократом Элом Франкеном и республиканцем Нормом Коулманом за право представлять штат Миннесота в сенате США. Было бы замечательно заявить о том, что Франкен занял пост сенатора благодаря тому, что беспристрастная методика анализа показала, что на 312 больше избирателей Миннесоты хотят видеть его в верхней палате. Однако на самом деле это число представляет собой результат длительной юридической тяжбы по поводу того, можно ли считать поданным бюллетень с отметкой возле фамилии Франкена и надписью «Люди-ящеры». Когда дело доходит до такого, вопрос, кто «на самом деле» получил больше голосов, не имеет смысла. Сигнал потерялся в шуме. Я склонен стать на сторону Сейфе, который утверждает, что выборы с настолько близкими шансами кандидатов на победу можно проводить посредством подбрасывания монеты. Кто-то не примет идею о случайном выборе наших лидеров. Однако в этом и есть самое важное преимущество подбрасывания монеты! Выборы с почти равными шансами на победу и без того зависят от воли случая. Плохая погода в большом городе, взломанная машина для голосования в далеком городке, некорректное оформление избирательного бюллетеня, из-за которого пожилые евреи голосуют за Пэта Бьюкенена, — любое из этих случайных событий может иметь значение, если голоса избирателей разделены примерно 50 на 50. Выбор посредством подбрасывания монеты позволяет не делать вид, будто люди высказались в поддержку кандидата, победившего в упорной борьбе при почти равных шансах. Иногда все, что говорят люди, — это «Я не знаю».

Вы можете подумать, что я действительно испытываю пристрастие к десятичным знакам. У стереотипа, будто математики всегда во всем уверены, есть неразрывно связанный с ним брат-близнец — это стереотип, будто мы всегда стремимся к максимальной точности, упорно пытаясь вычислять все до как можно большего количества десятичных знаков. Но это не так. Мы стремимся вычислять все до необходимого количества десятичных знаков. В Китае есть молодой человек по имени Лу Чао, который выучил и воспроизвел 67 890 цифр числа π. Это впечатляющее достижение в области запоминания. Но любопытно ли это? Нет, потому что сами по себе цифры числа π не представляют никакого интереса. Насколько нам известно, они ничем не лучше случайных цифр. А вот само число π, вне всякого сомнения, представляет большой интерес. Однако число π — это не его цифры; оно просто определяется цифрами, точно так же как Эйфелеву башню определяют координаты 48,8586 градуса северной широты и 2,2942 градуса восточной долготы. Можете прибавить сколько угодно десятичных знаков к этим числам — они все равно не скажут вам, что делает Эйфелеву башню Эйфелевой башней.

Проблема избыточной точности касается не только цифр. Бенджамин Франклин весьма язвительно писал о члене своей филадельфийской группы Томасе Годфри:

За пределами своей специальности он мало что знал; он не был приятным собеседником в обществе, так как, подобно большинству великих математиков, с которыми я встречался в своей жизни, он требовал во всех случаях чрезвычайной точности выражений и всегда цеплялся к пустякам, что расстраивало всякую беседу .

Это немного задевает за живое, потому что отчасти это несправедливо. Математики могут быть весьма щепетильными в отношении логических деталей. Мы относимся к числу людей, которые считают забавным на вопрос «Что вы хотите, суп или салат?» ответить «Да».

ЭТО НЕЛОГИЧНО

Тем не менее даже математики, за исключением тех случаев, когда они острят, не пытаются быть исключительно логическими существами. Это было бы просто опасно! Рассмотрим пример. Стоит вам начать рассматривать два противоречащих друг другу факта, то с точки зрения логики — если вы мыслите сугубо дедуктивно — вы обязаны считать, что каждое утверждение является ложным. Вот как это выглядит. Допустим, я считаю, что Париж — столица Франции и что Париж — не столица Франции. На первый взгляд это не имеет никакого отношения к тому, что команда «Портленд Трэйл Блэй­зерс» была чемпионом НБА в 1982 году. Но теперь посмотрите на такой фокус. Верно ли, что Париж — столица Франции и что «Портленд» выиграла чемпионат НБА? Нет, потому что я знаю, что Париж не является столицей Франции.

Если не соответствует истине то, что Париж — столица Франции и что «Портленд» стала чемпионом, тогда либо Париж не является столицей Франции, либо «Портленд» не стала чемпионом НБА. Однако я знаю, что Париж — столица Франции, что исключает первую возможность. Следовательно, «Портленд» не выиграла чемпионат НБА 1982 года.

Нетрудно убедиться, что аналогичная аргументация, только поставленная с ног на голову, доказывает истинность каждого утверждения.

Может показаться странным, но с точки зрения логической дедукции это неопровержимо; прибавьте крошечное противоречие в любой фрагмент формальной системы — и вся система рухнет. Философы, связанные с математикой, называют такую уязвимость формальной логики ex falso quodlibet, или, исключительно в своем кругу, принципом взрыва. (Помните, как я вам рассказывал, что многие математики любят использовать агрессивную терминологию?)

Принцип ex falso quodlibet — это именно то, что использовал капитан Джеймс Т. Кирк, чтобы вывести из строя андроидов-диктаторов. «Поставьте их в парадоксальную ситуацию — и их модули построения логического вывода дают сбой и выходят из строя», — говорит Кирк. «Но это нелогично», — печально отвечают андроиды, прежде чем отключаются их сигнальные лампочки.

Однако хитрость Кирка не работает с людьми. Мы рассуждаем иначе, даже те из нас, кто зарабатывает математикой на жизнь. Мы терпимы к противоречиям — до определенной степени. Фрэнсис Скотт Фицджеральд сказал: «…Подлинная культура духа проверяется способностью одновременно удерживать в сознании две прямо противоположные идеи и при этом не терять другой способности — действовать» .

Математики используют эту способность как основной инструмент мышления. Это важно в случае доказательства от противного, когда необходимо удерживать в уме предположение, которое вы считаете ложным, и рассуждать так, будто оно истинное: допустим, квадратный корень из 2 есть рациональное число, хотя я пытаюсь доказать, что это не так… Всего лишь своего рода систематические осознанные сновидения. И мы можем так делать, не устраивая себе короткого замыкания.

На самом деле существует весьма распространенный совет (я знаю, что слышал его от своего руководителя докторской диссертации, а он от своего и так далее): когда вы упорно пытаетесь доказать теорему, вам следует доказывать ее днем и опровергать ночью. (Периодичность такого переключения не играет роли; говорят, что тополог Руперт Генри Бинг делил каждый месяц на две части: две недели он пытался доказать гипотезу Пуанкаре, а следующие две недели пытался найти контрпример .)

Зачем работать, ставя перед собой противоположные цели? Существует две веские причины. Прежде всего, вы все-таки можете оказаться неправы; если утверждение, которое вы считаете истинным, на самом деле ложное, все ваши усилия доказать его истинность окажутся тщетными. Опровержение по ночам — это своего рода страховка против огромных потерь.

Но существует и более глубокая причина. Если утверждение истинно и вы пытаетесь опровергнуть его, это вам не удастся. Нас приучили считать, будто неудача — это плохо, но на самом деле так бывает не всегда. Вы пытаетесь опровергнуть утверждение одним способом — и упираетесь в стену. Вы пытаетесь сделать это другим способом — и упираетесь еще в одну стену. При каждой попытке опровержения вы упираетесь в очередную стену, и, если вам повезет, эти стены начнут выстраиваться в определенную структуру, которая и предстанет как доказательство теоремы. Ведь если вы действительно поняли, что мешает вам опровергнуть теорему, велика вероятность, что благодаря способу, недоступному для вас прежде, вы поймете, почему теорема истинна. Именно это произошло с Бойяи, который проигнорировал совет отца и попытался, подобно многим математикам до него, доказать, что постулат о параллельности вытекает из других аксиом Евклида. Как и остальные, Бойяи потерпел неудачу. Но в отличие от остальных он смог понять очертания своей неудачи. То, что блокировало все его попытки доказать, будто не существует геометрии без постулата о параллельности, это и было существование той самой геометрии! С каждой очередной неудачной попыткой Бойяи узнавал все больше о свойствах того, что он считал несуществующим, все глубже постигал суть происходящего, пока наконец не понял, что это такое.

Принцип «доказывать днем и опровергать ночью» применим не только к математике. На мой взгляд, держать под напряжением все свои убеждения, социальные, политические, научные и философские, — это хорошая привычка. Верьте в то, во что вы верите, днем, но по ночам ищите доводы против самых ценных для вас предположений. Не обманывайте себя! Насколько это возможно, размышляйте так, будто вы верите в то, во что не верите. А если вам не удастся разубедить себя в существующих убеждениях, вы узнаете намного больше о том, почему вы верите в то, во что верите. Вы немного приблизитесь к доказательству.

Кстати, это полезное ментальное упражнение — совсем не то, о чем писал Фрэнсис Скотт Фицджеральд в эссе 1936 года The Crack-Up («Крушение»), когда вспоминал о собственной надломленности и чувстве безысходности: «Мне приходилось уравновешивать в себе сознание безнадежности моих усилий и необходимости продолжать борьбу». Более лаконично об этом сказал Сэмюэл Беккет: «Продолжать… не в состоянии. Но должен. Так что буду ­продолжать» . Данная Фитцджеральдом характеристика «подлинного интеллекта» подразумевает, что у него самого другой интеллект. Как видел это он сам, именно натиск противоречий по сути привел к тому, что его жизнь закончилась, подобно теории множеств Фреге или компьютеру, отключившемуся под воздействием парадоксов Кирка. (Группа «Городские ласточки» в песне «Ни вашим, ни нашим» в какой-то мере подытоживает сказанное в «Крушении»: «Я лгал себе с самого начала и добился только того, что разваливаюсь на части».) Оказавшись в одиночестве и потеряв контроль над собой, с головой погрузившись в книги и самосозерцание, Фицджеральд стал одним из тех печальных молодых писателей, которые вызывали отвращение у Теодора Рузвельта.

Дэвид Фостер Уоллес также интересовался парадоксами. В свойственном ему математическом стиле он сформулировал несколько смягченную версию парадокса Рассела в своем первом романе The Broom of the System («Метла системы»). Не будет преувеличением сказать, что Уоллес писал свои романы под влиянием собственной борьбы с противоречиями. Он любил все техническое и аналитическое, но в то же время понимал, что простые религиозные заповеди и работа над собой — это более эффективное оружие против наркотиков, отчаяния и губительного солипсизма. Уоллес знал, что работа писателя должна состоять в том, чтобы проникать в головы других людей, но его основной темой стали серьезные трудности, связанные с его собственной головой. Твердо решив записать и нейтрализовать влияние собственных предубеждений и предрассудков, он осознавал, что такая решимость сама по себе относится к числу тех же предубеждений и подвержена тем же предрассудкам. ­Безусловно, это материал курса философии, но, как известно многим студентам, изучающим математику, старые задачи, которые вы учитесь решать на первом курсе, относятся к числу самых глубоких задач, которые вы когда-либо встречали. Уоллес боролся с парадоксами точно так же, как это делают математики. Вы верите в две вещи, которые кажутся противоречащими друг другу. И вы приступаете к работе — шаг за шагом, очищая кисть, отделяя то, что вы знаете, от того, во что верите, удерживая в своем разуме две противоборствующие вещи рядом друг с другом и рассматривая каждую из них в негативном свете другой, — до тех пор пока не станет очевидной истина или то, что к ней ближе всего.

Что касается Беккета, у него было более глубокое и более благожелательное представление о двойственности, которая неизменно присутствует в его работах, принимая всевозможные эмоциональные оттенки в разных произведениях. «Продолжать… не в состоянии. Но должен. Так что буду продолжать» — это безрадостная мысль; однако Беккет обращается также к доказательству иррациональности квадратного корня из 2 Пифагора, превращая его в шутливый диалог между двумя подвыпившими героями:

— Но если ты предашь меня, то тебе уготована судьба Гиппаса.

— Того самого, я полагаю, которого называли Акусматиком? — высказал предположение Вайли. — Но какое именно наказание постигло его, я не помню.

— Утоплен в глубокой луже, — объявил Нири, — за то, что разгласил теорему о несоизмеримости стороны и диагонали.

— Да сгинут все болтуны! — вскричал Вайли.

Не совсем ясно, насколько хорошо знал Беккет высшую математику, но в своей поздней повести Worstward Ho («Худшему навстречу») он описывает ценность неудачи в математическом творчестве более сжато и намного точнее, чем любой профессор:

Пробовал. Не сумел. Не имеет значения. Снова попробуй. Снова не сумей. Не сумей лучше.

И КОГДА МНЕ ЭТО ПРИГОДИТСЯ?

Математики, с которыми мы встретились в этой книге, не просто люди, которые резко отзываются о необоснованной определенности, и не просто критики, заслуживающие уважения. Они что-то открывали и что-то создавали. Гальтон открыл регрессию к среднему значению; Кондорсе построил парадигму принятия решений в социальной сфере; Бойяи создал совершенно новую геометрию, «странный новый мир»; Шеннон и Хэмминг создали свою геометрию — пространство, в котором обитают цифровые сигналы вместо окружностей и треугольников; Вальд установил броню на самолетах в правильных местах.

Каждый математик создает что-то новое, порой большое, порой малое. Все математические труды — это продукты творчества. И сущности, которые мы можем сотворить с помощью математики, не подвержены никаким физическим ограничениям: они могут быть конечными и бесконечными; они могут быть воплощены в наблюдаемой Вселенной или нет. Сторонние зрители порой считают, что математики — это путешественники в психоделическом мире опасного умственного огня, взирающие на картины, которые свели бы обычного человека с ума. Говорят, и сами математики порой теряют разум.

Но, как мы с вами видели, все не так. Мы не безумцы; мы не пришельцы, мы не шаманы и не мистики.

Что действительно правда — это чувство математического осмысления (когда вдруг с абсолютной уверенностью, докопавшись до самой сути, понимаешь, что происходит). Особое ощущение, которое трудно обрести в других областях науки и жизни. У вас появляется осознание, что вы добрались до самого сердца Вселенной и держите руку на ее пульсе. Подобное состояние трудно описать людям, которые его никогда не испытывали.

Мы не можем сказать, что нам нравится в тех необузданных сущностях, которые мы создаем. Эти сущности требуют определения, а получив его, они не более психоделичны, чем деревья и рыбы, — они есть то, что они есть. Заниматься математикой — значит одновременно ощущать в себе этот огонь и быть ограниченным здравым смыслом. Здесь нет никакого противоречия. Логика формирует узкий канал, по которому протекает многократно усиленная интуиция.

Уроки математики просты, и в них нет чисел — в мире есть структура. Мы можем надеяться на то, что поймем хотя бы что-то в этом мире, а не будем просто смотреть в изумлении на ту картину, которую рисуют наши органы чувств; наша интуиция сильнее, когда она опирается на прочную формальную основу. И еще один урок: математическая определенность — это одно, а более гибкие убеждения, которыми мы руководствуемся в повседневной жизни, — это другое, и мы должны по возможности регулировать разницу между тем и другим.

Каждый раз, когда вы видите, что больше хорошего — это не всегда лучше; когда вспоминаете, что невероятное часто случается при наличии достаточного количества шансов, и сопротивляетесь соблазнам, которые сулит вам балтиморский брокер; когда принимаете решение не просто на основании самого вероятного будущего, а целой совокупности возможных вариантов будущего; когда вы отбрасываете мысль о том, что убеждения группы должны подчиняться тем же правилам, что и убеждения отдельных людей; или когда вы просто находите комфортную когнитивную зону, в которой можете позволить своей интуиции бурно развиваться, опираясь на сеть путей, проложенных для нее формальной логикой, — во всех этих случаях без всяких формул, уравнений и графиков вы занимаетесь математикой, которая есть продолжение здравого смысла, но только другими средствами. Когда вам это пригодится? Вы уже используете математику с самого момента рождения и, по всей вероятности, никогда не прекратите этого делать. Используйте ее во благо.

Отправить

Антон

Перезвоните мне пожалуйста 8 (953) 367-35-45 Антон.