Рекурсия
Сейчас умный человек положил бы яд уже в собственный бокал, потому что он знает, что только полный глупец станет тянуться к тому бокалу, что стоит перед ним. Но ведь я не так глупа, чтобы выбирать вино, стоящее перед вами. Но вы также знаете (и явно на это рассчитываете), что я не так глупа, чтобы выбрать вино, стоящее передо мной.
Фильм «Принцесса-невеста»
Самый, пожалуй, влиятельный экономист XX века Джон Мейнард Кейнс однажды сказал, что «успешное инвестирование опережает предчувствие других». Чтобы продать пакет акций, скажем, за $60, покупатель должен верить, что потом он сможет продать его за $70 тому, кто считает, что он может продать его уже за $80 тому, кто уверен, что он может продать этот пакет уже за $90 тому, кто в свою очередь убежден, что он может продать его за $100 еще кому-то. Другими словами, стоимость акций – это не то, что люди думают по поводу стоимости, но то, что люди думают, что думают другие по поводу того, сколько это стоит. На самом деле даже не стоит так далеко углубляться. Как заметил Кейнс, делая важное различие между красотой и популярностью:
Профессиональные инвестиции можно сравнить с теми соревнованиями на страницах газет, когда участники должны выбрать шесть самых хорошеньких лиц из сотни фотографий, а приз присуждается тому участнику, чей выбор наиболее близко соответствует усредненным предпочтениям конкурентов в целом. Таким образом, чтобы победить, каждый участник должен выбирать не те лица, которые лично он считает симпатичными, но те, которые, наиболее вероятно, понравятся другим конкурентам, каждый из которых смотрит на проблему выбора с той же самой точки зрения. Это не тот случай, когда выбираются те, которые, на чей-то взгляд, на самом деле являются самыми симпатичными, и даже не те, которые, по общему среднему мнению, искренне считаются симпатичными. Мы достигли третьего уровня, когда наши размышления направлены на то, чтобы предвидеть, что общее усредненное мнение может думать по поводу того, каким может быть это среднее мнение. На мой взгляд, есть и такие, кто практикует четвертый, пятый и даже более высокие уровни.
Информатика иллюстрирует фундаментальные ограничения такого рода рассуждений с помощью так называемой задачи об остановке. Как в 1936 году доказал Алан Тьюринг, никакая компьютерная программа никогда не сможет с уверенностью сказать вам, сможет ли другая программа в конечном итоге закончить свои вычисления – если только специально не моделировать работу этой программы, чтобы, таким образом, попытаться потенциально дойти до самого конца. (Соответственно, у программистов никогда не было автоматизированных инструментов, которые могли бы сказать им, будет ли их программное обеспечение блокироваться.) Это один из основополагающих результатов для всех разделов информатики, на котором базируются многие последующие доказательства. Проще говоря, в любое время система – будь то машина или разум – моделирует работу чего-либо с той степенью сложности, которая ей соответствует, максимально полно используя свои ресурсы. Ученые-компьютерщики используют специальный термин «рекурсия» для обозначения этого потенциально бесконечного путешествия в зеркальную комнату, где разум моделирует разум, который моделирует разум.
«В покере вы никогда не играете себе на руку, – говорит Джеймс Бонд в фильме "Казино Рояль", – вы играете против человека, сидящего напротив вас». На самом деле то, что вы разыгрываете, является примером теоретически бесконечной рекурсии. Существует ваша собственная комбинация карт и комбинация, которую, как вы считаете, имеет ваш противник; затем рассматривается комбинация, которую, по вашему мнению, представляет у вас ваш оппонент, и комбинация, которую, как вы считаете, представляет себе ваш оппонент, размышляя о той комбинации, что он имеет… и т. д. «Я даже не знаю, реальный ли это термин теории игр, – говорит топовый игрок в покер Дэн Смит, – но игроки в покер называют это "выравнивание". Первый уровень – я знаю. Второй уровень – вы знаете, что я знаю. Третий уровень – я знаю, что вы знаете, что я знаю. Порой складываются ситуации, когда вы просто заходите туда, где вы начинаете думать: «Хм, это действительно неподходящий момент, чтобы блефовать; но, если он знает, что это неподходящий момент, чтобы блефовать, то он не будет поднимать ставки, и тогда это как раз самый подходящий момент, чтобы блефовать. Такое случается»».
Один из самых запоминающихся блефов в игре высокого уровня произошел тогда, когда Том Дван на турнире по техасскому холдему разыгрывал $479 500, имея самую худшую из возможных комбинаций – 2: 7, в то время как его оппонент Сэмми Джордж, образно выражаясь, буквально держал выигрыш в руках.
Рекурсии в покере – опасная игра. Вы, конечно, не хотите отстать ни на шаг от вашего оппонента, но – что также крайне важно – не стоит и слишком сильно опережать его. «Существует правило, гласящее, что вы должны играть только на один уровень выше вашего оппонента, – объясняет профессиональный игрок в покер Ванесса Руссо. – Если вы слишком опережаете ваших оппонентов, то вы начинаете думать, что они имеют информацию, которой на самом деле у них нет, и в этом случае они уже никак не смогут получить ту информацию, которую – как вам хотелось бы – они могли бы извлечь из ваших действий». Иногда профессионалы покера могут намеренно втравливать своего противника в развернутую рекурсию, в то время как сами играют по академическим правилам без всякой психологической подоплеки. В этом случае говорят о заманивании оппонентов в войну выравнивания против самих себя.
(Вовлечение противника в бесплодные рекурсии может оказаться эффективной стратегией также и в других играх. Один из самых ярких, странных и захватывающих эпизодов в истории шахматного противостояния человека и машины произошел в 2008 году во время сражения американского гроссмейстера Хикару Накамура с ведущей шахматной компьютерной программой Rybka. В игре, где каждая из сторон получала всего три минуты на все ходы или ей автоматически присуждался проигрыш, преимущество, разумеется, отдавалось компьютеру, способному оценить миллионы комбинаций в секунду и сделать ход без использования мышц. Но Накамура мгновенно создал на доске затор, делая повторяющиеся, бессмысленные ходы настолько быстро, насколько позволяло нажатие кнопки на часах. В то время как компьютер впустую тратил драгоценные мгновения на бесплодные поиски победного варианта, которого даже и не существовало, и упорно пытался предвидеть все возможные будущие ходы противника, Накамура играл в шахматы фактически спустя рукава. Когда компьютер уже почти исчерпал свое время и начал переставлять фигуры так, чтобы хотя бы не проиграть по часам, Накамура наконец открыл свою позицию и разгромил соперника.)
Как же профессиональные игроки выходят из ситуации, зная опасность рекурсии? Они используют теорию игр. «Порой вы можете придумать причины, объясняющие, почему вы играете именно так, но зачастую ваши худшие игры становятся таковыми по причинам, которые на самом деле не стоит и упоминать, – объясняет Дэн Смит. – Я прикладываю немало усилий, чтобы воспользоваться базовым уровнем теории в большинстве ситуаций… Я всегда начинаю со знания или попытки узнать, что такое Нэш».
Так что же такое Нэш?
