Сортировка и спорт
Итак, в поисках компромисса между поиском и сортировкой можно прийти к выводу, что более эффективным будет оставить все в беспорядке. Возможная экономия времени не единственная причина, по которой мы сортируем вещи: иногда наведение порядка является самоцелью. И нигде это не проявляется так наглядно, как на спортивной арене.
В 1883 году преподавателю математики из Оксфорда Чарльзу Лютвиджу Доджсону довелось испытать необычные чувства, которые он описал следующим образом:
Однажды в качестве зрителя я случайно оказался на турнире по теннису, где – из-за переживаний одного из игроков – обратил внимание на процесс вручения призов.
Этот игрок, хоть и проиграл в самом начале турнира (потеряв, таким образом, все шансы на призовое место), тем не менее испытывал горькое чувство обиды, видя, как приз за второе место уходит к теннисисту, который, как он считал, был намного слабей его самого.
Обычные зрители могли бы списать сетования спортсмена на горечь поражения, но слух Доджсона уловил еще и нечто иное. И жалобы теннисиста подтолкнули его к началу глубоких исследований природы спортивных соревнований.
Стоит отметить, что Доджсон был не просто математиком из Оксфорда. По его воспоминаниям, он был чуть ли не единственным математиком. На сегодня этот человек более известен под творческим псевдонимом Льюис Кэрролл, его перу принадлежат «Приключения Алисы в Стране чудес» и многие другие любимые произведения литературы ХIХ века. Объединив математический талант с литературным, Доджсон создал одно из своих менее известных произведений «Соревнования по теннису: верные правила присуждения призов с обоснованием ошибочности ныне действующих правил».
Жалоба Доджсона была направлена организаторам очередного турнира на выбывание, по правилам которого игроки должны были попарно играть друг с другом и выбывать из соревнований после первого же проигрыша. Доджсон решительно утверждал, что в реальности вторым по мастерству игроком может быть любой из игроков, выбывших даже на предварительном этапе, не обязательно тот, кто проиграл чемпиону. Как ни странно, даже на современных Олимпийских играх специально проводится дополнительный матч за бронзовую медаль. И даже такой подход вынуждает нас, по всей видимости, признать, что формат турнира на выбывание не дает нам достаточно информации, чтобы выявить заслуженного претендента на третье место. По сути, такой подход не дает нам достаточно оснований для определения второго или третьего места; в реальности – ничего, кроме определения победителя. Как выразился Доджсон: «Существующий способ распределения призовых мест, за исключением приза за первое место, полностью лишен смысла». Из его слов становится очевидно, что серебряная медаль – это фикция.
«В качестве математического обоснования можно сказать следующее, – продолжил он. – Вероятность того, что второй по мастерству игрок получит приз, который он заслуживает, может оцениваться только как 16 к 31. В то время как вероятность того, что четыре лучших игрока получат соответствующие призы, настолько мала, что может расцениваться как 12 к 1 против того, что это случится!»
Но, несмотря на всю силу своего пера, Доджсон не оказал значительного влияния на мир большого тенниса. Его предложение использовать неудобный принцип тройного выбывания, при котором проигрыш игрока, которого вы победили, мог бы также выбить из турнира и вас, так и не прижилось. Но, если решение Доджсона было громоздким, его критика существующих проблем тем не менее попала в цель. (Хотя, к сожалению, серебряные медали и по сей день все так же выдаются в турнирах на выбывание.)
Но логику Доджсона можно понять и на более глубоком уровне. Мы, люди, сортируем не только наши данные, не только наше окружение. Мы сортируем сами себя.
Чемпионаты мира, Олимпийские игры, турниры Национальной ассоциации студенческого спорта, Национальной футбольной, хоккейной, баскетбольной лиги, Главной лиги бейсбола – все эти соревнования неявно реализуют принципы сортировки. Сезонные соревнования, турниры, игры на выбывание и т. д. есть не что иное, как алгоритмы, способствующие определению места в общей «табели о рангах».
Один из наиболее известных алгоритмов в спорте – циклический алгоритм, при котором каждая из n команд в конечном итоге играет с каждой из остальных (n − 1) команд. Это один из самых распространенных форматов, но и один из самых трудоемких. Ситуация, при которой каждая команда сражается с каждой из остальных, схожа с тем, как если бы у вас на вечеринке все гости решили обменяться объятиями: появляется страшная формула O(n2), или квадратичное время.
Турнир на выбывание, популярный в таких видах спорта, как бадминтон, сквош и ракетбол, расставляет игроков с использованием линейного рейтинга. При этом каждый игрок имеет право бросить прямой вызов игроку, находящемуся непосредственно над ним в этом рейтинге. А в случае победы – поменяться с ним местами. Турнир на выбывание, будучи типичным примером пузырьковой сортировки в спорте, также характеризуется квадратичной зависимостью, требуя O(n2) количества игр для формирования стабильного рейтинга.
Тем не менее, возможно, наиболее распространенным форматом состязаний среди многих других является соревнование с использованием турнирной сетки – как, например, в известном баскетбольном турнире March Madness, проводимом Национальной ассоциацией студенческого спорта. Этот турнир прогрессирует от одной тридцатой финала и одной шестнадцатой финала к одной восьмой, затем – элитная восьмерка, финальная четверка и, наконец, финал. Каждый последующий раунд сокращает список участников наполовину, что выглядит привычно, не так ли? Эти турниры – эффективный пример использования сортировки с объединением, когда дело начинается с несортированных пар команд, которые затем сопоставляются и сравниваются.
А поскольку мы знаем, что сортировка с объединением характеризуется линейно-логарифмической зависимостью от времени – O(n log n), то, с учетом того факта, что соревнуются 64 команды, мы можем ожидать, что для проведения турнира потребуется всего около 6 раундов (192 игры), а не бесконечных 63 раунда (2016 игр), которые понадобились бы, чтобы сформировать турнир.
«Шесть раундов March Madness» – звучит прекрасно. Но погодите секунду: 192 игры? Ведь этот турнир Национальной ассоциации студенческого спорта длится всего 63 игры.
В реальности турнир March Madness не может служить полноценным примером сортировки слиянием, поскольку в его рамках не производится полное упорядочение всех 64 команд. Ведь для того, чтобы по-настоящему ранжировать все команды, организаторы должны были бы вспомнить о линейно-логарифмической зависимости и назначить ряд дополнительных игр, чтобы определить серебряного призера, затем еще – для определения бронзового призера и т. д. Но этого не происходит на турнире. Вместо этого, точно копируя подход теннисного турнира, на который жаловался Доджсон, March Madness использует формат поочередного выбывания, где проигравшая команда, выбывая из соревнований, выбывает и из дальнейшей сортировки. Преимущество такого подхода заключается в том, что он использует линейную зависимость от времени, поскольку каждая игра исключает ровно одну команду. Поэтому, чтобы осталась одна команда, на турнире должно быть сыграно только (n − 1) игр. Минусом является тот факт, что вы никогда не поймете, какое место занимает ваша команда в общей турнирной таблице, если только не займете первое место.
Как ни странно, в формате поочередного выбывания вообще нет необходимости организовывать какую-либо соревновательную структуру, поскольку любые 63 игры всегда смогут выявить единственного и непобедимого чемпиона. Вспомните, например, игру «Царь горы»: одна из команд вызывает на бой одного за другим своих соперников до тех пор, пока их самих кто-нибудь не свергнет. И совершенно не важно, в какой момент произойдет смена царя горы и кто именно будет побежден. Новый царь горы займет место на троне, и игра вновь продолжится до победного конца. Этот вариант имеет недостаток: в любом случае вам понадобится проведение 63 отдельных раундов, поскольку игры не могут идти параллельно. Кроме того, может оказаться так, что одна команда должна будет играть все 63 игры подряд, что достаточно утомительно.
Хотя Майкл Трик и родился позже Доджсона почти на целый век, возможно, никто в XXI веке не продвинулся столь же далеко в своих математических исследованиях в спорте. Мы уже встречались с Майклом в этой книге, но спустя десятилетия с момента незадачливого применения им правила 37 % к своей личной жизни многое изменилось: он стал не только мужем и профессором в области операционных исследований, но и одним из основных организаторов матчей для Главной лиги бейсбола, а также таких конференций Национальной ассоциации студенческого спорта, как Big Ten и АСС. Майкл широко использует в работе принципы информатики.
Как отмечает Трик, спортивные лиги не ставят перед собой задачу как можно быстрее и оперативнее сформировать рейтинги. Как раз наоборот, спортивные календари явно составляются так, чтобы держать зрителей в напряжении на протяжении всего сезона. Но это уже вряд ли имеет отношение к теории сортировки.
Например, Главная лига бейсбола часто устраивает такие турнирные гонки, чтобы определить, кто же победит в дивизионе. И если не заниматься расстановкой команд внутри дивизиона, то некоторые из этих гонок могли бы закончиться намного раньше окончания сезона. Поэтому организаторы соревнований устраивают так, чтобы в течение последних пяти недель до окончания сезона каждая команда играла со своими соседями по турнирной таблице дополнительные матчи. При этом не так важно расположение команд в турнирной таблице. Команды просто вынуждены играть со своими ближайшими оппонентами только ради этих дополнительных шести матчей в течение пяти недель. Это позволяет внести интригу в турнир и поддерживать больший интерес зрителей на протяжении всего сезона, потому что неопределенность притормаживает выявление победителя.
Более того, спортивные соревнования не ставят перед собой цель минимизировать количество игр. И это важно помнить всегда, потому что в противном случае некоторые аспекты планирования спортивных игр могут показаться весьма загадочными для программистов. Как говорил Трик, комментируя возможность проведения 2430 игр в рамках регулярного сезона соревнований по бейсболу, «мы знаем, что (n log n) – правильное количество сравнений для проведения полной сортировки. Это вам любой скажет. Тогда почему же они все-таки ориентируются на n2, ведь такая формула требует провести даже больше сравнений для выявления победителя?». Другими словами, зачем использовать цикличный алгоритм O(n2) полностью, а затем еще организовывать дополнительные игры, если полную сортировку можно выполнить гораздо раньше, выявить менее чем за n игр ни разу не проигравшего чемпиона и увенчать его лавровым венком? Ответ прост: в реальности минимизация количества игр не в интересах лиги. Это в информатике ненужные сравнения всегда плохи, поскольку это пустая трата времени и усилий. А вот в спорте это далеко не так. В конце концов (и со многих точек зрения), именно в самих играх заключены смысл и суть соревнований.
