У богов за пазухой
Хорошо ли вы умеете подсчитывать шансы разных событий? Может быть, вы заядлый искатель осмысленного узора во всем на свете? А может, вам покоя не дают совпадения? В конечном счете все эти сложные штуки сводятся к информации – и к выяснению, кто ею обладает. Слово Йену Стюарту.
Как вы уже знаете, человеческий мозг замечательно умеет отслеживать разного рода осмысленные узоры и характерные закономерности. Эта способность служит одним из краеугольных камней науки. Заметив закономерность, мы пытаемся описать ее математически, а потом использовать эти выкладки для того, чтобы лучше понять окружающий нас мир. А если мы не можем вычленить никакого узора, мы не объясняем его отсутствие нашей невнимательностью. Мы предпочитаем выбрать излюбленную нами альтернативу и заключить, что имеем дело со случайностью.
Мы не видим никаких закономерностей при подбрасывании монетки, кидании костей, вращении рулеточного колеса. Поэтому мы называем их случайными процессами. До недавних пор мы не видели никаких закономерностей в погоде, вспышках эпидемий, в турбулентном потоке жидкости, поэтому все это мы тоже называли явлениями случайного характера. Оказывается, слово «случайный» здесь описывает разное: порой случайный характер действительно присущ явлению или процессу, а иногда дело попросту в том, что мы слишком невежественны и не понимаем тех или иных закономерностей.
Чуть больше века назад все это казалось довольно просто и определенно. Мол, некоторые природные явления подчиняются законам физики: орбиты планет, движение приливов и т. п. Другие им не подчиняются: скажем, узор градин на садовой дорожке. Первую брешь в стене между порядком и хаосом пробил Адольф Кетле, примерно в 1870 году открывший, что в случайных событиях есть свои статистические закономерности. Позже ученые начали по-настоящему описывать хаос (где поведение систем, кажущееся случайным, на самом деле подчинено строгим законам), что полностью разрушило большие куски этой стены. Каким бы в конечном счете ни оказалось действительное соотношение порядка и хаоса, уже сейчас ясно, что их нельзя воспринимать просто как некие противоположности.
Но нам, похоже, все-таки трудно удержаться от искушения обсуждать процессы, протекающие в реальном мире, либо как упорядоченные, либо как случайные. По-настоящему ли случайна погода – или же в ней есть какие-то закономерности? Действительно ли бросание костей дает череду случайных чисел – или же на самом деле этот процесс чем-то жестко обусловлен? Физики сделали случайность главной основой квантовой механики, науки об очень малом: никто, утверждают они, не в состоянии предсказать, в какой именно момент распадется радиоактивный атом. Но если это так, что же служит спусковым крючком такого события? Откуда атом «знает», когда ему распадаться? Чтобы попытаться ответить на эти вопросы, нужно разобраться, о каком виде случайности мы говорим. Что это – истинное, изначальное свойство реальности или же след наших представлений о ней, того, каким образом мы строим ее модели?
Начнем с самых простых идей. Систему можно назвать случайной, если то, что она сделает в ближайший момент, не зависит от того, что она сделала в прошлом. Если я буду подбрасывать «честную» монетку и у меня 6 раз подряд выпадет орел, на седьмом броске с равной вероятностью может выпасть орел или решка. И наоборот, система считается упорядоченной, если ее предыстория влияет на ее будущее предсказуемым образом. Мы в состоянии предсказать время ближайшего восхода с точностью до каких-то долей секунды, и каждое утро мы оказываемся правы. Стало быть, бросание монетки – процесс случайный, а движение Солнца – нет.
Четкое расписание восходов объясняется строгой геометрией земной орбиты. Статистический рисунок бросания «случайной» монетки более загадочен. Эксперименты показывают, что в долгосрочной перспективе орлы и решки выпадают с одинаковой суммарной частотой (при условии, что монетка «честная»). Если представить вероятность события как долю случаев, когда это событие происходит (при длинной серии опытов), тогда и для орла, и для решки вероятность выпадения составит 1/2. На самом деле у понятия вероятности не совсем такое определение, но здесь мы даем простое следствие из технического определения. Оно называется «законом больших чисел».
То, что в долгосрочной перспективе общее число выпавших орлов и решек оказывается равным, можно назвать чисто статистическим свойством большого количества бросков (см. «Закон средних»). Более глубокий вопрос, с куда более озадачивающим ответом, таков: откуда монетка «знает», что в долгосрочной перспективе она должна выдать столько же орлов, сколько и решек? Ответ таков: если вы как следует вдумаетесь, то поймете, что монетка вовсе не представляет собой случайную систему.
Представим монетку как тонкий круглый диск. Если диск запускается вертикально с известной линейной скоростью и известной быстротой вращения, можно точно вычислить, сколько полуоборотов он совершит, прежде чем упадет на пол и остановится. Если при этом он отскочит от пола, расчет окажется труднее, но все равно в принципе он осуществим. Подбрасываемая монета – система из классической механики. Она подчиняется тем же законам движения и тяготения, благодаря которым так предсказуемы орбиты планет. Почему же монетка непредсказуема?
Предсказуема. В принципе. На практике вы не знаете ни линейную скорость, ни быстроту вращения, а исход броска очень зависит от обоих параметров. Как только вы подбросили монетку, ее судьба уже предопределена (если не учитывать ветер, пробегающую мимо кошку и другие привходящие обстоятельства). Но поскольку вам не известна ни линейная скорость, ни быстрота вращения, вы понятия не имеете, каков будет неизбежный исход броска, даже если вы умеете молниеносно проделывать вычисления в уме.
То же самое и с игральной костью. Ее можно представить себе как подпрыгивающий куб, чье поведение тоже подчинено законам классической механики и описывается определенными уравнениями. Если с достаточной точностью отследить начальное движение кубика и достаточно быстро сделать нужные расчеты, можно совершенно точно предсказать результат. Что-то подобное удалось проделать для рулетки. Точность прогноза здесь меньше (предсказывается, на какой половине колеса остановится шарик), но она достаточно высока, чтобы выиграть, да и результаты предсказаний не должны быть идеальными, чтобы разорить казино.
Следовательно, Альберт Эйнштейн выбрал неверную метафору, когда подверг сомнению случайный характер квантовой механики, отказываясь верить, будто Бог играет в кости. Ему следовало бы в это поверить. А затем он мог бы задаться вопросом, как ведут себя эти игральные кубики, где они расположены и каков реальный источник квантовой «случайности».
У проблемы есть и более глубинный слой. Предсказать исход броска игральной кости трудно не только из-за того, что мы толком не знаем начальных условий броска. Мешает еще и своеобразная природа процесса – хаотическая.
Хаос на самом деле не носит случайного характера. Но точность любых измерений, какие мы можем сделать, имеет пределы, а значит, для нас хаос непредсказуем. В случайной системе прошлое не оказывает влияния на будущее. В хаотической системе прошлое все-таки влияет на будущее, только вот расчеты, которые позволили бы нам оценить величину этого эффекта, чрезвычайно чувствительны по отношению к малейшим ошибкам наблюдения. Каждая изначальная ошибка, пусть даже очень небольшая, затем так стремительно разрастается, что совершенно разрушает прогноз.
С броском монетки что-то похожее: достаточно серьезная ошибка при измерении начальной линейной скорости и начальной быстроты вращения лишит нас возможности заранее узнать результат броска. Но монетка не является «истинно хаотической», поскольку, пока она вращается в воздухе, ошибка растет относительно медленно. В по-настоящему хаотической системе ошибка растет очень быстро – по экспоненте. Острые углы игральной кости, вступающие в дело, когда идеальный математический куб отскакивает от плоской поверхности стола, дают именно такого рода экспоненциальное расхождение. Поэтому игральная кость кажется «случайной» по двум причинам: из-за человеческого незнания начальных условий, как с монеткой, и из-за хаотической, хотя и детерминированной динамики (т. е. в данном случае предопределенной, четко подчиняющейся физическим законам, которые позволяют точно предсказать конкретные результаты).
Все, что я до сих пор говорил, опиралось на ту или иную математическую модель, которую мы выбрали для описания процесса. Но зависит ли (не) случайный характер той или иной физической системы от модели, которую мы используем?
Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним первый большой успех применения случайных моделей в физике. Речь идет о статистической механике. Эта теория лежит в основе термодинамики (по сути, физики газов), чье появление в известной степени мотивировалось необходимостью создавать более эффективные паровые двигатели. Какой максимальной эффективности может достичь паровая машина? Термодинамика ставит тут очень четкие и специфические ограничения.
На заре термодинамики главное внимание обращали на «крупномасштабные» переменные – объем, давление, температуру, количество теплоты. Все эти переменные связаны между собой «газовыми законами». К примеру, закон Бойля – Мариотта гласит, что произведение давления газа на его объем постоянно при данной температуре. Закон совершенно детерминистичен: зная объем, можно вычислить давление, и наоборот.
Однако вскоре стало очевидно, что физика газов на атомарном уровне, лежащая в основе газовых законов, носит, в сущности, случайный характер: молекулы газа беспорядочным образом отскакивают друг от друга. Людвиг Больцман первым стал изучать, как это отскакивание молекул (представляемых в рамках его модели как крошечные твердые сферы) соотносится с газовыми законами (и со многим другим). Согласно его теории, классические переменные – давление, объем и температура – представлены как статистические средние, что заставляет предположить присущий системе случайный характер. Обоснованно ли такое предположение?
Бросание монетки и игральной кости в основе своей детерминированы. То же самое касается и системы, состоящей из огромного количества маленьких круглых сфер. В этом космическом бильярде каждый шар подчиняется законам механики. Если известны исходное положение и скорость каждой сферы, последующее движение будет полностью предопределено. Но Больцман и не пытался следить за точным маршрутом каждой сферы. Он сделал допущение, что позиции и скорости сфер носят «статистический» характер, без какой-то склонности к движению в том или ином определенном направлении. Так, давление – это мера усредненной силы, которая возникает, когда шарики отскакивают от внутренней поверхности стенок сосуда, где они находятся, если предположить, что каждая сфера с одинаковой вероятностью двигается в любом направлении.
Статистическая механика описывает движение большого количества сфер статистическими величинами – такими как «среднее». Иными словами, она использует случайную модель на микроуровне, чтобы объяснить детерминированную модель на макроуровне. Корректен ли такой подход?
Да, хотя Больцман этого тогда и не знал. По сути, он сделал два допущения: движение сфер хаотично и хаос этот особого рода – порождающий «среднее состояние», которому можно дать четкое определение. Из этих идей впоследствии вырос целый раздел математики – эргодическая теория. В ходе развития математики гипотеза Больцмана превратилась в широко известную теорему.
Таким образом, произошел удивительный сдвиг точки зрения. Детерминированная модель (газовые законы) усовершенствовали до случайной (с крошечными сферами), а затем эту случайность математически обосновали как следствие детерминированной динамики.
И все-таки носит ли поведение газов случайный характер? Всё зависит опять-таки от точки зрения. Одни аспекты их поведения лучше описываются статистически, другие – детерминировано. Общего ответа нет, все зависит от контекста. И эта ситуация вовсе не является такой уж необычной. При решении некоторых задач (например, при расчетах характеристик воздушных потоков вокруг космического челнока) жидкость или газ можно рассматривать как единое целое, как некий континуум, подчиняющийся определенным законам. В других ситуациях, например при изучении броуновского движения (беспорядочного перемещения частиц взвеси, вызванного столкновениями с атомами), следует принимать в расчет атомарную природу жидкости или газа, и здесь годится больцмановская модель в каком-то из ее современных вариантов.
Итак, в нашем распоряжении две различные модели, между которыми есть математическая связь. Никакая из них не описывает реальность полностью и исчерпывающе, но каждая все-таки дает неплохое ее описание. Бессмысленно было бы утверждать, что реальность сама по себе «случайна» или «не случайна»: случайность – математическая характеристика, отражающая то, как мы описываем систему, а не характеристика системы как таковой.
Значит, в мире нет ничего по-настоящему случайного? Пока мы не разберемся в основах квантового мира, сказать наверняка нельзя. Согласно наиболее распространенным интерпретациям, квантовая механика строится на допущении, что где-то очень глубоко, на субатомном уровне, Вселенная носит по-настоящему случайный характер, и ее нельзя дальше членить на какие-то детерминированные процессы. Тут совсем не как с моделью термодинамической случайности, где участвуют твердые сферы и где статистические свойства объясняются нашим (неизбежным) неведением точного положения и состояния всех этих шариков. Здесь нельзя по принципу аналогии построить какую-то «модель системы в миниатюре» с немногочисленными параметрами, которые, если мы их только узнаем, позволят нам разгадать тайну. Просто не существует никаких «скрытых переменных», чье детерминированное, но хаотическое поведение управляло бы броском квантовой игральной кости. Квантовый мир случаен – и точка. Или?..
В пользу предположения о случайном характере квантового мира явно говорит один математический довод. Еще в 1964 году Джон Белл придумал, как проверить, случайны ли процессы в квантовой механике или же она управляется скрытыми переменными, то есть, по сути, квантовыми свойствами, которые мы пока просто не научились наблюдать. В основу работы Белла легла идея о двух квантовых частицах (таких как электроны), которые после взаимодействия разводятся на огромное расстояние.
Проделайте определенные измерения параметров этих разделенных частиц, и вы сможете определить, что же управляет их свойствами – случайность или скрытые параметры. Ответ на этот вопрос очень важен: он позволит выяснить, способны ли квантовые системы, которые уже взаимодействовали в прошлом, затем влиять на свойства друг друга, даже находясь на противоположных концах Вселенной.
По мнению большинства физиков, эксперименты, базирующиеся на работе Белла, подтвердили, что в квантовых системах правит случайность и загадочное «действие на расстоянии». Многим ученым, судя по всему, так страстно хочется объявить о фундаментальной роли случайности в квантовой теории, что они стараются уклониться от любых попыток дальнейшего обсуждения вопроса. А жаль. Ведь работа Белла, при всей своей блистательности, не столь убедительна, как им представляется.
Здесь кроется целый ряд сложных проблем, но главное вот в чем. Математические теоремы строятся на допущениях. Свои основные допущения Белл перечисляет открыто, но доказательство его теоремы подразумевает и кое-какие неявные допущения, которые далеко не все готовы признать. Кроме того, в экспериментах, основанных на работе Белла, нашлись «дырки». По большей части эти «дырки» носят технический характер (в частности, они связаны с эффективностью детектирования и погрешностями эксперимента), но здесь есть и философские аспекты. Так, условия эксперимента предполагают, что человеческие существа, выполняющие опыт, свободны в выборе его параметров. Между тем возможно (хоть и, как нам кажется, маловероятно), что некая внешняя сила координирует и контролирует все составляющие эксперимента, в том числе и самих экспериментаторов.
Итак, несмотря на все колоссальное давление преобладающего в науке мнения, дверь для детерминистического объяснения квантовой неопределенности по-прежнему открыта. Дьявол, как всегда, кроется в деталях. Может оказаться трудно или даже вообще невозможно проверить такую теорию, но мы попросту не в состоянии знать это заранее. Возможно, она не особенно изменит квантовую механику (подобно тому, как модель с твердыми сферами не очень изменила термодинамику), но вдруг она позволит нам совершенно по-новому взглянуть на многие озадачивающие нас сегодня проблемы. Кроме того, в результате квантовая теория может вновь занять место среди других статистических научных теорий, с каких-то точек зрения нося случайный характер, а с каких-то – детерминистический.
Пока же, если оставить в стороне квантовый мир, совершенно ясно: на самом-то деле такой штуки, как случайность, не существует. Практически все эффекты, которые кажутся нам случайными, возникают не из-за того, что природа непредсказуема, а из-за человеческого невежества или других видов ограниченности нашего знания о мире. Эта мысль не нова. Еще Александр Поуп в своем «Опыте о человеке» писал:
Заключено в природе мастерство,
Хоть не способен ты постичь его,
И случай в себе промысел таит,
Который вечно от тебя сокрыт.
В разладе лад, не явленный земле,
Всемирное добро в частичном зле.
Математики не занимаются проблемами добра и зла, но во всем остальном Поуп оказался прав, и теперь ученые отлично понимают, почему.
Закон средних
Однажды, подбрасывая самую обыкновенную монетку, я получил 17 орлов подряд. Вероятность такого события составляет 1/131 072. Теперь решкам наверняка надо как-то «подтянуться» – и при следующем броске именно решка выпадет с большей вероятностью?
Нет. Вероятность выпадения орла и решки при следующем броске одинакова. То же самое касается и всех дальнейших бросков. В очень длинной последовательности бросков общая доля орлов и решек должна быть очень близка к 50 % – к «распределению поровну». Можно ожидать, что на каждые два миллиона бросков в среднем придется по миллиону орлов и по миллиону решек.
Хотя 17 очень отличается от нуля, 1 000 017 ближе к миллиону, чем к нулю: их отношение составляет 1,000017, число очень близкое к единице. Решки не «подтягиваются» к орлам: последующий миллион бросков затмевает немногочисленные первые броски, и чем больше вы будете подкидывать монетку, тем менее значительной будет становиться эта изначальная разница между количеством выпавших орлов и решек.
Схожая картина – с тем, насколько часто выпадают те или иные номера в Британской национальной лотерее. В течение какого-то периода номер 13 выпадал сравнительно редко, тем самым укрепляя суеверных игроков в убеждении, будто 13 – несчастливое число. Поэтому некоторые ожидали, что в будущем 13 станет выпадать чаще. Другие же полагали, что это число и дальше будет подтверждать свою «черную» репутацию. Математические законы вероятностей, подкрепленные бесчисленными экспериментами, говорят о том, что оба лагеря заблуждаются. В будущем у каждого номера по-прежнему одни и те же шансы на то, чтобы оказаться выбранным. Лототрон обращается со всеми шарами одинаково и вообще не «знает», какие на них номера.
Парадоксальным образом это не значит, что в действительности все номера будут выпадать с совершенно равной частотой. Абсолютное равенство здесь крайне маловероятно. Следует ожидать, что мы увидим некие колебания вокруг среднего значения. В этом раскладе будут и номера-победители, и номера-аутсайдеры.
Математики даже предсказывают размах и вероятность таких флуктуаций. Однако ученые не в состоянии дать прогноз, какие номера окажутся в числе победителей, а какие – в числе проигравших. Заранее можно лишь сказать, что победителем и проигравшим может оказаться практически любой номер, и вероятности здесь практически равны для всех номеров.
