Совершенно невероятные истории о совпадениях неизменно заканчиваются вопросом: «Ну и каковы шансы, что нечто подобное может произойти?» Обычно вопрос является риторическим, поскольку на него в буквальном смысле сложно ответить. И хотя есть фундаментальные статистические методы и проверенные экспериментальные модели для изучения редких совпадений, у математиков все еще нет общей теории для данного предмета. Проблема заключается в самом определении слова. Все-таки «совпадение» предполагает событие без очевидной причины, включая случайности и чудеса. Что бы мы делали без веры в чудеса? Возможно, измерение вероятности совпадения – это оксюморон. Как мы можем узнать вероятность события, не имеющего видимой причины? Кто-то может утверждать, что выпадение двух шестерок на паре игральных костей не имеет видимой причины, за исключением сотни не поддающихся оценке переменных, которые определяют их движение, но тем не менее мы в состоянии оценить шансы против такого исхода как 35 к 1. У нас имеются точные и столь необходимые для страховых компаний данные о шансе дожить до возраста x лет. Так что же мешает нам измерить вероятность чуда или того, что сбудется сон, в котором мы встретили таинственного незнакомца посреди переполненной людьми комнаты? Нам не всегда необходимо знать причину события для того, чтобы разобраться с измерением его вероятности. Мы не знали, почему курение вызывает рак, когда выяснили это с помощью оценки статистической вероятности возникновения болезни. Это произошло после Второй мировой войны, когда женщины, которые до войны не курили, пошли работать на заводы и в учреждения – и начали курить. Тут же подскочила заболеваемость раком, – и бинго! – мы предположили наличие корреляции и сложили два и два. Проблема со многими совпадениями заключается в гигантском числе переменных, которых мы можем не знать или быть не в состоянии вывести из статистической выборки. Совпадения непросто оценить с помощью методов количественного анализа; однако есть качественные основания для предположения о том, что они происходят чаще, чем мы ожидаем. Даже физики избегают количественных прогнозов, предпочитая качественные.

Размышляя о совпадениях, мы имеем в виду правдоподобие. Попробуйте рассказать историю о совпадении, и кто-нибудь непременно спросит: «Ну и каковы шансы того, что такое могло произойти?» Ответ почти всегда сводится к словосочетанию «довольно незначительные». Объяснить нам, что значит «довольно незначительные», или по крайней мере заставить задуматься – задача специалистов по теории вероятностей. Меру правдоподобности события в числовом выражении математики называют вероятностью. Она всегда находится в пределах от 0 до 1, где 0 означает невозможность, а 1 – абсолютную достоверность. Существует несколько способов ее измерения. Один – рассмотреть относительную частотность большой выборки. В принципе, вероятность события – это отношение двух чисел, каждое из которых можно определить, повторяя испытание и вычисляя долю случаев, когда событие произошло. По мере увеличения числа испытаний частота наступления события приближается к вероятности этого события. Второй способ измерения – посчитать логические возможности: брошенная правильная игральная кость может приземлиться только на одну из шести сторон. Нам нет необходимости бросать кости, чтобы узнать, что вероятность выбросить четное число составляет 1/2, или 50 %.

Если два события связаны таким образом, что оба не могут произойти одновременно ввиду некоего логического ограничения (например, невозможность вытянуть одновременно красную даму и даму пик при условии, что тянут только одну карту, из стандартной колоды в 52 карты), тогда вероятность наступления одного либо другого события – это сумма вероятностей каждого из событий. Другими словами, вероятность вытянуть красную даму или даму пик составляет 1/26 + 1/52 = 3/52.

Общий смысл следующий: предположим, что X обозначает исход испытания, а P (X) – вероятность наступления события. Тогда вероятность того, что событие не наступит, будет 1 – P (X). Например, если вы подбрасывали монетку, то P (орел) будет равняться 1/2, как и P (решка). Если бросают пару игральных костей, то P (4) = 1/12, а P (не 4) = 11/12. Если X и Y – возможные взаимоисключающие исходы, то вероятность наступления события X и Y равна 0 и вероятность наступления X или Y равна P (X) + P (Y).

В качестве примера из жизни возьмем следующие события: первое – случайно встретиться с лучшим другом на Бора-Бора утром в следующий вторник; второе – случайно встретить двоюродного брата или сестру после полудня в тот же самый день в Рейкьявике. Первое имеет влияние на второе. Если вы не располагаете личным истребителем F-15, вы не можете случайно встретиться с лучшим другом на Бора-Бора и случайно встретиться с двоюродным братом или сестрой в Рейкьявике. Естественно, допущение обеих возможностей дает лучшие шансы. В случае с картами: можно вытянуть красную даму или (черную) даму пик. Если, с другой стороны, мы имеем ситуацию, где одно событие совершенно не зависит от другого, тогда вероятность того, что наступят оба, – это произведение вероятностей каждого из событий. Вероятность вытянуть красную даму, а затем, вернув ее в колоду, вытянуть даму пик будет 1/26 × 1/52 = 1/1352.

Действительно, требование о том, чтобы наступили два заданных события, дает меньшие шансы. С другой стороны, вероятность вытянуть из колоды обе карты, не возвращая в колоду первую карту, немного осложняет задачу. Нам потребуется найти вероятность того, что одно событие наступит после другого: условная вероятность. Случай со сдачей двух карт из одной колоды поучителен. Если допустить, что сданную карту не возвращают в колоду, то вероятность вытянуть красную даму, а затем – даму пик составит 1/26 × 1/51 = 1/1326. В момент сдачи второй карты в колоде не будет одной красной дамы или попросту одной карты. Таким образом, вероятность вытянуть даму пик на второй сдаче будет вероятностью вытянуть ее из колоды в 51 карту. Не возвращая карту в колоду, мы тем самым увеличиваем вероятность сдачи дамы пик. В данном случае важно то, что мы имеем дело с произведением двух чисел, оба из которых меньше единицы, а это означает, что полученная вероятность будет меньше вероятности каждого из событий. Для ясности отметим: мы условились, что дама пик была вытянута после красной дамы. Если бы условием была сдача любой из карт – дама пик вытянута первой по счету или второй, вероятность была бы больше. Мы рассматривали бы две вероятности: вероятность сдачи дамы пик, а затем красной дамы и вероятность сдачи красной дамы, а затем дамы пик.

Мы видим различие между понятиями «шанс» и «вероятность». Когда мы говорим, что шанс – это m: n, мы имеем в виду, что ожидаем, что событие не наступает в m случаях из n, когда оно наступает. Стандартная запись выглядит как m: n, что на словах означает «отношение m к n». Если шанс – это m: n, то вероятность будет отношением n/m+n, т. е. шанс 4 к 1, если перевести в вероятность, будет 1/5. Для вычисления шансов наступления события p вычислим отношение (1 – p)/p и сократим его до m/n. Тогда шанс того, что событие наступит, составит m к n. В случае с p = 1/5 отношение превращается в (1 – (1/5))/(1/5) = 4/1, таким образом шанс составляет 4:1.

Понятие шанса взято из азартных игр. С его помощью легче вычислять выигрыш; если выигравшая ставка в $1 оплачивается как m к 1, то выигрыш составит $m, т. е. сумма включает также и величину первоначальной ставки. Равные шансы или равная ставка означают, что шансы 1 из 1. В этой книге мы постараемся ограничиться случаями, где m = 1. Понять, насколько вероятно или невероятно событие, проще, когда мы знаем, что на одно удачное испытание приходится m неудачных. В определенных случаях мы будем использовать выражение «шансы 1 из m», подразумевая, что на m испытаний будет приходиться одно удачное. Так, например, «шансы вытянуть туза пик из колоды в 52 карты составляют 1 из 52», что можно выразить и как «шанс вытянуть туза пик из колоды в 52 карты составляет 51 к 1».

Выберем два любых маловероятных события. Примем в качестве первого – черная кошка перейдет вам путь в следующую среду. В качестве второго – вы когда-нибудь получите заказное письмо от юридической конторы, в котором будет сказано, что ваш двоюродный дедушка, о котором вы никогда не слышали, скончался и оставил вам миллион долларов. Предположим, что первое событие имеет вероятность 0,000001, учитывая численность черных кошек, шатающихся по улицам в вашем районе. Предположим, что вероятность второго – 0,000001, учитывая, что у ваших родителей не слишком много дядьев, о которых вы не знаете. (Эти числа я выбрал исключительно умозрительно.) Вероятность наступления обоих событий необычайно мала – всего 0,000000000001. Эта вероятность меньше, чем вероятность того, что наступит хотя бы одно из событий, и выше, чем вероятность того, что оба события произойдут одновременно. Несомненно, что вероятность наступления одного или другого события выше.

Теперь рассмотрим десять отдельных редких событий:

а) Черная кошка переходит вам путь в среду.

б) Двоюродный дедушка, о котором вы никогда не слышали, умирает и оставляет вам в наследство миллион долларов.

в) Кольцо, которое вы потеряли 20 лет назад, появляется на гаражной распродаже на вашей улице.

г) Сон, в котором мы встретили таинственного незнакомца посреди переполненной людьми комнаты, сбывается.

д) Вы играете в лотерею Texas Lotto и дважды выигрываете.

е) Вы случайно встречаете собственного брата на Бора-Бора.

ж) Находясь за границей, вы находите экземпляр книги Марка Твена «Таинственный незнакомец» с вашей подписью на титульном листе.

з) Вы получаете новый паспорт, номер которого совпадает с номером вашего социального страхования.

и) Вы находите экземпляр книги Марка Твена «Таинственный незнакомец», который был у вас во время учебы в школе, на скамье в парке (да, событие очень похоже на события «ж»).

к) Вы берете такси в Чикаго и узнаете в водителе человека, который подвозил вас в Нью-Йорке в прошлом году.

Я выбрал эти события произвольно. Некоторые из них являются совпадениями, некоторые – просто отдельные события. Они могли бы быть совершенно самостоятельными событиями, если бы не пресловутая бабочка над Тихим океаном, которая, как видно, влияет на все на свете: от погоды в Париже до результатов скачек «Кентукки Дерби», чем постоянно вызывает непредвиденные волнения. Почему кошка появилась в определенный момент? Таинственный незнакомец мог оказаться тем парнем, которому кошка принесла ваше давно потерянное кольцо.

Вероятность некоторых из этих событий и им подобных узнать чрезвычайно сложно даже приблизительно. Для простоты предположим, что вероятность каждого из событий составляет 0,000001, т. е. меньше, чем вероятность получить с раздачи флеш-рояль при игре в покер. Особых причин для того, чтобы брать именно это число, нет, кроме простого факта – такое событие не невозможно, но слишком уж рассчитывать на него не стоит. Может показаться, что вероятность наступления одного из двух событий в списке составит 2 × 0,000001 = 0,000002, потому что вероятности складываются, когда необходимо вычислить вероятность наступления одного из двух событий. Тогда можно наивно предположить, что, рассматривая только два события из предложенных, мы тем самым удваиваем вероятность. Но мы должны быть внимательны. Расчет игнорирует возможность того, что оба события (например, «ж» и «и» из списка) могут произойти одновременно. Нам необходимо вычесть вероятность такого исхода из суммы двух вероятностей. Если события независимы, то вероятность их одновременного наступления равна произведению вероятностей, то есть 0,000001 × 0,000001 = 0,00000000001, относительно небольшое число. Тогда действительная вероятность составит 0,00000199999 – немного меньше, чем ожидалось. Это подводит нас к любопытному вопросу. Ответ на него может заставить по-другому посмотреть на мир совпадений. В мире всевозможных необычайно удивительных событий должны быть тысячи – если не миллионы или миллиарды – событий, которые могут произойти с вами в течение одного года. Давайте предположим, что вероятность каждого из миллиона таких событий будет, скажем, 0,000001. Тогда вопрос в следующем: что произойдет, если мы объединим все эти события и попробуем найти вероятность того, что хотя бы одно из них произойдет в течение года? Нет реального способа определить, насколько независимыми друг от друга будут события числом в миллион. Мы не можем предполагать, что ни у одной из возможных пар событий нет прямой связи. Мы не можем не принимать в расчет возможность того, что одно событие может быть причиной другого или влиять на него или что отдельное событие может зависеть от другого. Например, если вы один раз выиграли в лотерею и потратите часть выигрыша на повторные попытки, это окажет влияние на второй выигрыш, он будет зависеть от первого. Также мы не можем просто сложить вероятности, чтобы получить вероятность того, что произойдет одно событие из миллиона. Это привело бы нас к абсурдным расчетам, из которых следует, что вероятность одного события составит 1 000 000 × 0,000001 = 1, т. е. событие будет достоверным! (Мы бы складывали 0,000001 миллион раз.) Чтобы такие расчеты сработали, события должны быть изолированными, т. е. не иметь ничего общего. Если они имеют что-то общее, то любая серьезная оценка вероятностей становилась бы делом непомерно сложным, если не невозможным. К примеру, нам пришлось бы исключить вероятность того, что черная кошка, которая может пересечь вам путь в следующую среду, также найдет ваше давно потерянное кольцо в водосточной трубе и принесет его таинственному незнакомцу, который попытается продать его на гаражной распродаже. Но даже при выполнении всех этих требований нам все же придется учитывать огромное число пересекающихся возможностей, которые могли бы снизить те или иные шансы. С другой стороны, если бы все из миллиона событий были взаимоисключающими, то математика говорила бы нам, что мы можем быть уверены – одно из них произойдет. Конечно! Любой активный человек может встретиться с миллионом возможных событий. Просто выйдя из дома, человек встречает необозримое число возможностей.

Событие «д» – единственное в нашем списке имеет довольно точно определяемую вероятность, но даже оно зависит от личности победителя. Чтобы выиграть дважды, нужно сначала выиграть в первый раз. Это значит, в первый раз выбрать шесть правильных чисел. Вероятность того, что это произойдет один раз, близка к 0,000000038 – в самом деле, достаточно малое число. Иначе говоря, ваши шансы на выигрыш составляли бы 25 827 164 к 1.

Как это рассчитано? Есть 54 варианта выбора числа. Когда выбрано первое число, оно исключается, т. е. остается 53 возможных варианта для второго числа. Подобным образом для третьего есть 52 варианта, для четвертого – 51, для пятого – 50, для шестого – 49. Поэтому существует 54 × 53 × 52 × 51 × 50 = 18 595 558 800 различных способов выбрать шесть чисел, каждое от 1 до 54. Есть 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720 различных способов расположения шести чисел. Поскольку порядок, в котором выбраны числа, значения не имеет, мы делим на 720 и получаем 25 827 165 – число различных возможных вариантов, только один из которых верен.

Вероятность выиграть во второй раз остается такой же; числа в лотерее не обладают способностью к запоминанию, равно как и вероятность. Вероятность, однако, зависит от того, как мы о ней думаем. Если вы забываете о том факте, что выиграли в первый раз, то вероятность не меняется. Ваши шансы составляют 25 827 164 к 1, а вероятность – 0,000000038. Вероятность выиграть во второй раз составляет 0,000000038 × 0,000000038 = 0,000000000000001444, что выглядит очень, очень маловероятно. Мы знаем, что ранее выигравшие числа из следующих лотерей не исключаются и никак на последние не влияют. Однако сам факт выигрыша странным образом такое влияние оказывает, а основано оно на личности победителя. Как преступники возвращаются на место преступления, так победители продолжают играть в лотерею. И делают это, имея полные карманы денег, покупая куда больше билетов, чем раньше. Таким образом, наши расчеты не учитывают всех прочих попыток сыграть в лотерею. Человек мог сыграть 100 раз, прежде чем случился второй выигрыш. В главе 7 (а именно в табл. 7.1) мы найдем шансы на выигрыш в лотерею 4 раза за 4 попытки, что является куда более сложным делом.