В пьесе «Шесть степеней отчуждения», написанной Джоном Гуэйром в 1990 г., персонаж по имени Уиза размышляет о загадках жизни в тесном мире:

Через несколько лет, одним хмурым зимним днем в Ридинге, Пенсильвания, трое не вполне трезвых студентов колледжа Allbright College, считавших себя побратимами, пришли примерно к такому же заключению поистине космического масштаба: каждый американский киноактер может быть связан с Кевином Бейконом (снимавшимся в таких фильмах, как Footloose («Свободные») и Tremors («Дрожь земли»)) посредством не более четырех «рукопожатий». Например, Чарли Чаплин связан с Кевином Бейконом через три «рукопожатия». Чарли Чаплин был режиссером фильма «Графиня из Гонконга», в котором снимался Марлон Брандо, который снимался в фильме «Апокалипсис сегодня» с Лоуренсом Фишберном (в роли Тайрона «Чистого» Миллера), который, в свою очередь, снимался в фильме «Брокер» с Кевином Бейконом в роли Джека Кэйси. Решив, что им пришла в голову гениальная идея, студенты-побратимы обратились к организаторам популярного в то время на MTV ток-шоу Jon Stewart Show с предложением провести соответствующую игру в прямом эфире. Их идея показалась организаторам ток-шоу интересной, и они получили приглашение провести один раунд такой игры. Игра вызвала большой интерес публики и впоследствии перекинулась на интернет. Особый ажиотаж она вызвала у студентов колледжей. Сайт Oracle of Bacon, который автоматически вычисляет кратчайшую возможную цепочку киноактеров между Кевином Бейконом и каким-либо другим киноактером, был выбран журналом Time как один из десяти лучших сайтов 1996 г. На пике своей популярности он получал до 20 тысяч обращений в сутки.

Вскоре последовали другие салонные игры. В 1999 г. в Германии «шесть степеней Марлона Брандо» породили неожиданное увлечение у немцев, когда читатели еженедельной газеты Die Zeit попытались установить связь между одним из поставщиков фалафели в Берлине и его любимым киноактером посредством самой короткой цепочки их общих знакомых. А когда разгорелся скандал с Моникой Левински, газета The New York Times опубликовала схему знаменитых людей, укладывающуюся в «шесть степеней Моники»; в этой схеме фигурировали Билл Клинтон, Саддам Хусейн, О. Джей Симпсон и, конечно же, Кевин Бейкон.

Какой бы глупостью это ни казалось, за всем этим скрывается кое-что серьезное. Представляя собою некое сообщество людей, мы увлеклись выявлением связей между отдельными людьми в этом сообществе. Мы пытаемся извлечь какой-то смысл из сложных сетевых структур, которые в последнее время начали все больше проникать в нашу жизнь. Охват этих сетей поистине огромен, однако мы имеем лишь весьма приблизительное представление об их структуре, а их функционирование приводит нас в замешательство. Мы с трудом представляем себе возможные последствия глобализации, нас сбивает с толку интернет, нас беспокоит непредсказуемое поведение финансовых рынков, на нас наводит ужас деятельность террористической группировки Аль-Каида. Иногда наши страхи, к счастью, оказываются несостоятельными: пресловутая «проблема 2000-го года» не вызвала катастрофических последствий, которые предрекали пессимисты. Однако 10 августа 1996 г. сбой двух линий электропередачи в штате Орегон привел к отсутствию электричества в 11 штатах и двух канадских провинциях; это стало следствием возникновения целой последовательности сбоев, когда один сбой автоматически вызывал другой, который, в свою очередь, вызывал третий сбой и т. д. В результате примерно 7 миллионов человек, проживающих на этих территориях, в течение 16 часов были лишены возможности пользоваться электричеством. Компьютерный «червь» Love Bug – на сегодняшний день одна из самых тяжелых по своим последствиям компьютерных атак – в течение всего дня 4 мая 2000 г. «гулял» по интернету и причинил ущерб на сумму несколько миллиардов долларов.

Сама наука все больше внимания уделяет изучению сложных сетевых структур. Например, с завершением проекта «геном человека» основное внимание молекулярной биологии переключилось с открытия новых генов на анализ генных структур. Традиционно геном рассматривался как образец, или шаблон для конструирования белков, которые, в свою очередь, исполняют роль строительных блоков для клеточных структур и молекулярных машин, важных для жизни. Но сегодня мы рассматриваем эту метафору как слишком статичную и слишком линейную, как пережиток ментальности «сборочных конвейеров» предыдущей эпохи. Некоторые из самых важных генов (так называемые регуляторные гены) служат кодом для белков, которые влияют на деятельность других генов, включая или выключая их, формируя цепи и контуры обратной связи. Сейчас геном все меньше напоминает нам шаблон и все больше – компьютер. Функционирование такого компьютера – и его неправильную работу в случае перерождения клеток – мы не сможем расшифровать до тех пор, пока не уясним логику генных сетей.

Аналогично, во всех остальных областях науки исследователи лишь сейчас начинают выявлять структуру сложных сетей, начиная с нервных систем простых организмов и заканчивая взаимно перекрывающимися составами советов директоров крупнейших компаний в Соединенных Штатах. Величина таких сетей поражает воображение: 30 тысяч генов в геноме, миллионы видов в наземной экосистеме, миллиарды людей на Земле, и в один прекрасный день – 10 миллиардов страниц в интернете. Однако проблема оказывается еще более запутанной, чем та, которую я только что изобразил. Даже если бы в нашем распоряжении оказалась исчерпывающая схема структуры любой из этих систем – перечень всех ее узлов (генов, видов, людей) и соединений между ними, – мы все равно не знали бы, что именно нам нужно вычислить. Вся эта масса данных оказалась бы просто неподъемной для нас. До тех пор пока мы не поймем, что именно мы хотим найти, мы не сможем раскрыть секреты сложных сетей.

Сейчас мы нуждаемся главным образом в новых идеях: простых организующих принципах, которые помогали бы нам ориентироваться в этой трясине данных. Если исходить из того, что универсальным ориентиром нам может служить история, то самые проникающие идеи можно позаимствовать из математики. В силу самой своей природы математическое изучение сетей позволяет преодолеть обычные границы между разными дисциплинами. Теория сетей занимается изучением связей между отдельными элементами сетей, картин их взаимодействия. Конкретная природа этих элементов игнорируется в расчете на то, что таким путем удастся выявить более глубокие закономерности. Рассматривая любую систему взаимосвязанных компонентов, специалист по теории сетей должен видеть абстрактную картину точек, соединенных линиями. Для него имеет значение лишь эта картина, архитектура взаимосвязей, а не особенности точек как таковых. Если рассматривать сети именно с такой точки зрения, то многие из них, не имеющие, на первый взгляд, ничего общего между собой, начинают выглядеть одинаково.

В 1998 г. мы вместе с моим бывшим студентом Дунканом Уоттсом опубликовали результаты первого сравнительного изучения сложных сетей именно с такой точки зрения. Выполненный нами анализ показал, что какой бы ни была подлинная природа узлов в сети – идет ли речь о соединенных в сеть нейронах или компьютерах, людях или электростанциях, – каждый элемент сети соединяется со всеми остальными элементами короткой цепочкой посредников. Иными словами, феномен под названием «тесный мир» представляет собой нечто гораздо большее, чем особенность социальной жизни людей: это объединяющая характеристика разнообразных сетей, встречающихся как в природе, так и в технологии. С тех пор не только мы, но и многие другие ученые начали изучать влияние взаимосвязей, существующих в тесном мире, на распространение инфекционных заболеваний, устойчивость интернета к сбоям в отдельных его частях, устойчивость экосистем, а также влияние этих взаимосвязей на множество других явлений.

Изучение сложных сетей является лишь очередным логическим шагом в движении к более отдаленной цели: созданию теории самообразующегося порядка. На пути к этой цели мы уже добились определенных успехов, перейдя от изучения самой примитивной формы координированного поведения – пары идентичных ритмов в синхронизме – к попыткам описания гораздо более сложных «хореографий» во времени и пространстве: от двух осцилляторов к большим совокупностям осцилляторов, от идентичных осцилляторов к разнообразным осцилляторам, от ритмов к хаосу, от глобальной связности к локальным взаимодействиям в пространстве. Следующий шаг заключается в переходе к более общим видам организации соединений в сети, когда соседство элементов сети определяется в неком абстрактном смысле, то есть вовсе не обязательно в географическом смысле. Точно так же как пространственная связность между нелинейными системами породила новую форму коллективного поведения – самоподдерживающиеся спиральные и свиткообразные волны, – которая не может возникнуть в более простых геометриях, сложные сети порождают еще более сложные формы самоорганизации. Вообще говоря, сложные сети являются естественной средой обитания для самых загадочных форм группового поведения, известных науке в наши дни. Если когда-нибудь наступит день, когда нам станет понятен механизм возникновения жизни в результате сложного взаимодействия неживых элементов (химических веществ) или механизм возникновения сознания в результате сложного взаимодействия миллиардов нейронов, каждый из которых не обладает сознанием, то такое понимание, несомненно, будет основываться на всесторонне проработанной теории сложных сетей. Пока же такая теория остается для нас тайной за семью печатями. Хорошо, однако, уже то, что нам известно, с чего следует начинать. Нам нужно уяснить принципы сетевой архитектуры и понять, как природа сплетает свои запутанные сети. Неудивительно, что в ходе нашего первого посещения этой территории мы продвигались по маршруту синхронизма, начав с истории изучения сверчков, стрекочущих в унисон.

Начав осенью 1994 г. свою преподавательскую деятельность в Корнельском университете, в качестве одной из своих первых служебных обязанностей я должен был организовывать проведение ритуала, известного как квалификационный экзамен. Четверо профессоров сидели бок о бок в аудитории, где, кроме них, находился лишь экзаменуемый студент, который стоял у доски, вооружившись кусочком мела. В течение получаса мы донимали беднягу вопросами по математике. Предполагалось, что экзаменуемый отвечает на вопросы с ходу, без предварительного обдумывания. Если у экзменаторов складывалось впечатление, что ответ на очередной вопрос не вызывает у студента затруднений, его прерывали и задавали следующий вопрос. Вопросы задавались в порядке возрастания их сложности. Задавая вопросы, профессора пытались нащупать «слабые места» экзаменуемого.

Я задавал вопросы по прикладной математике. За день нам предстояло проэкзаменовать четырех или пятерых студентов. Одним из экзаменуемых был Дункан Уоттс, долговязый австралиец с уверенной улыбкой и развитой мускулатурой, что делало его похожим на «зеленый берет». Он поступил в Корнельский университет из-за своего увлечения теорией хаоса. У себя дома, в Австралии, он считался весьма авторитетным физиком. Он был одним из лучших студентов во время учебы в Академии вооруженных сил и претендентом на получение стипендии, учрежденной фондом Rhodes Scholarship (эта стипендия считается одной из самых престижных в мире).

Председатель экзаменационной комиссии кивнул головой в мою сторону: «Профессор Строгац задаст первый вопрос». Я попросил Дункана решить уравнение Лапласа в серповидной области, воспользовавшись методом конформного отображения. Другие профессора с недоумением воззрились на меня. Им было очевидно, что эта тема не изучается в университетских курсах математики (будучи начинающим преподавателем, я не знал этого). Дункан несколько секунд бормотал что-то себе под нос (с трудом разобрав несколько слов, я понял, что во время учебы в колледже он не изучал конформные отображения). Осознав свою оплошность, я предложил ему ответить на другой вопрос, но одному из моих коллег, по-видимому, понравилось, как накаляется атмосфера в аудитории, и он предложил Дункану ответить именно на первый вопрос.

Шаг за шагом, Дункан нащупывал свой путь к решению этой задачи (разумеется, ему не был известен стандартный способ ее решения). Тем не менее, непонятно как, но он все же нашел путь к правильному ответу (возможно, это удалось ему исключительно за счет огромного волевого усилия). Думаю, он сильно волновался, но каких-либо внешних проявлений волнения не было заметно. Более того, он производил впечатление человека, которого увлекает сам процесс поиска решения.

Такая реакция Дункана на необычную ситуацию сыграла для меня решающую роль несколько месяцев спустя, когда я обратил внимание на его фотографию, прикрепленную к двери его кабинета. На этой фотографии Дункан был запечатлен висящим на кончиках пальцев на краю Пойнт-Перпендикуляр, морской скалы высотой около 70 метров в Австралии. Я сразу же понял, что нашел для себя еще одного достойного аспиранта.

Мы начали с подбора подходящей темы для написания диссертации. Может быть, остановиться на какой-либо проблеме, связанной с использованием хаотических лазеров для обеспечения информационной безопасности в системах связи, проблеме, связанной с осцилляциями в сосудах лимфатической системы? Но ни лазеры, ни лимфатическая система не вызывали у нас прилива энтузиазма. После полугодового пребывания в состоянии неопределенности мы оба испытывали большое разочарование.

Однажды весной 1995 г. я читал на факультете нейробиологии и поведения лекцию по синхронизации светлячков; на этом факультете мой коллега Рон Хой вместе со своими студентами занимался изучением системы связи у сверчков. В ходе лекции я подчеркнул, сколь незначительно до сих пор поле соприкосновения между теорией синхронизации и какими-либо реальными биологическими примерами, и поинтересовался, не могут ли они оказать нам какую-либо помощь в этом отношении, организовав, например, проведение ряда экспериментов по коллективному поведению сверчков. Один из младших научных работников, Тим Форрест, проявил интерес к моему предложению. Во время учебы в колледже он считался одним из лучших знатоков математики, а сейчас слыл экспертом по биоакустике. Он сказал мне, что охотно занялся бы изучением того, как в местах большого скопления сверчков самцы сверчков синхронизируют свое стрекотание, стремясь обратить на себя внимание самок. Он предложил изловить некоторое количество этих «животных» (именно так он называл их) и вызвался организовать проведение ряда экспериментов с целью проверки наших математических моделей и, возможно, даже поиска каких-то новых моделей.

Дункану понравилась идея такого проекта, и он начал регулярно общаться с Тимом по вопросам подготовки к реализации этого проекта. Между тем мы размышляли над экспериментами, которые нам хотелось бы провести. Мы мечтали о том, чтобы «измерить» одновременно трели всех сверчков и отследить, буквально секунда за секундой, их продвижение в сторону синхронизма: ничего подобного еще не было сделано в отношении светлячков, клеток-задатчиков циркадных ритмов или какой-либо другой совокупности биологических осцилляторов. Еще одной нашей мечтой было протестировать фазовый переход, существование которого было уже давно предсказано моделями Уинфри и Курамото, но никогда еще не проверялось эмпирическим путем. Наш план в этом отношении заключался в том, чтобы систематически изменять связь между сверчками. При низком уровне связи, когда они практически не способны услышать друг друга, разница в их естественных частотах стрекотания должна мешать установлению синхронизма между ними. Подобно бегунам на дорожке стадиона, которые не могут все время бежать плотной группой, поскольку их физические способности слишком различны, быстрые сверчки должны опережать медленных в случае, если уровень связи очень низок. В таком случае стрекотание большого сообщества сверчков будет напоминать какофонию. С другой стороны, если бы нам удалось постепенно повышать степень взаимного влияния сверчков (все больше повышая громкость их стрекотания или каким-либо образом повышая чувствительность сверчков), то, согласно теории Уинфри – Курамото, мы смогли бы выявить критический уровень связи, при котором наблюдается резкий переход сверчков к синхронному стрекотанию.

Даже если бы нам не удалось обнаружить фазовый переход, в любом случае мы надеялись зафиксировать, как возникает взаимная синхронизация в реальной популяции сверчков. Эксперименты, которые проводил когда-то один из бывших консультантов Тима, показали, что отдельно взятый сверчок приспосабливается к сигналам, выдаваемым другими сверчками. Таким образом, если он услышит такой сигнал непосредственно перед тем, как он собрался застрекотать, он переводит стрелку своих внутренних часов вперед. Или, если он услышит стрекотание сразу же после своего собственного стрекотания (а это указывает на то, что он несколько поторопился со своим стрекотанием), его нервная система автоматически скорректирует его внутренние часы таким образом, чтобы в следующий раз он начал стрекотать несколько позже. (В этом отношении нервная система сверчка действует во многом подобно маятниковым часам Гюйгенса, когда отрицательная обратная связь вносит такие коррективы, которые способствуют достижению синхронизма.) Если бы мы могли оценить количественно ритм стрекотания многих отдельных сверчков в изоляции и описать, каким образом каждый отдельный сверчок изменяет свой ритм в ответ на стрекотание других сверчков, наши математики наверняка смогли бы предсказать коллективное поведение сверчков в достаточно широком диапазоне условий.

Тим сконструировал весьма оригинальные маленькие звукоизолированные коробочки, в каждую из которых предполагалось поместить одного сверчка. Каждая такая коробочка была снабжена миниатюрным микрофоном для передачи стрекотания обитателя данной коробочки другим сверчкам, а также миниатюрным громкоговорителем, чтобы было слышно сигналы, поступающие извне. Эта весьма изощренная экспериментальная конструкция позволяла нам управлять степенью взаимодействия между сверчками: мы могли усиливать стрекотание или ослаблять его до уровня едва слышного шепота. Более того, мы могли даже устанавливать связи между конкретными сверчками, то есть определять, какой сверчок какого слышит, соединяя коробочки между собой в те или иные конфигурации.

Размышляя над теми или иными возможностями, Дункан начал обдумывать вопрос связей в более общем плане. В полевых условиях было невозможно утверждать наверняка, какие сверчки каких слышат. Сторонний наблюдатель мог лишь сказать, что сверчки расселись по деревьям, но в том, как именно они расселись, невозможно было бы уловить какую-то закономерность. Например, самец мог бы обращать внимание лишь на ближайших своих соперников. Возможно, он прислушивался бы ко всем остальным сверчкам. Невозможно было бы даже понять, какую роль в этом случае играет система связей между сверчками; может быть, они синхронизировали бы свое стрекотание в любом случае.

Однажды в январе 1996 г. Дункан заглянул ко мне в кабинет и высказал оригинальную идею, которая касалась еще одного изменения направления его исследований. Размышляя над вопросом связей между сверчками, он внезапно вспомнил о том, что однажды сказал его отец: о том, что лишь шесть рукопожатий отделяют каждого из нас от президента Соединенных Штатов. Дункан подумал: если теория шести рукопожатий действительно верна, то что она может означать с точки зрения связей, существующих в нашем мире в целом?

Я ответил ему, что, конечно же, слышал о шести степенях отчуждения. Шесть степеней отчуждения – это скрытая математическая проблема, которую еще предстоит сформулировать.

Но это еще не все, продолжал Дункан. Эти шесть степеней отчуждения связаны с тем, что мы пытаемся выяснить в отношении сверчков. Допустим, некая сеть биологических осцилляторов связана между собой таким образом, что каждый из них находится на расстоянии пары-тройки рукопожатий от остальных. Влияет ли такая система связей на то, как именно такая группа будет достигать синхронизации? Будет ли она синхронизироваться очень быстро и очень легко по причине наличия столь тесных связей в этой группе? Будет ли в такой системе по-прежнему наблюдаться фазовый переход по мере увеличения степени связности, подобно тому, как это происходит в модели Курамото?

Вряд ли кто-либо сможет сейчас ответить на эти вопросы, сказал я ему. Ведь мы никогда не занимались изучением таких видов сетей. В том-то и дело, ответил Дункан. Специалисты по теории осцилляторов всегда исходили из того, что их сети являются идеально регулярными и столь же замечательно упорядоченными, как атомы в кристаллической решетке. Уинфри, Пескин и Курамото строили модели с максимальной связностью, когда каждый осциллятор связан со всеми остальными осцилляторами. Более высокая степень связности в сетях вообще недостижима, и нет сетевой архитектуры, более простой, чем эта. В последующих усовершенствованиях этих моделей математики укладывали осцилляторы рядом друг с другом, формируя длинную цепь, или размещали их симметрично по углам квадратной сетки или трехмерной решетки. Использование регулярных геометрий, подобных этим, представлялось вполне оправданным для задач, проистекающих из физики и техники: например, в массивах переходов Джозефсона сверхпроводящие осцилляторы намеренно укладываются аккуратными рядами и столбцами. Даже в сплошной среде, наподобие мензурки с реакцией Белоусова-Жаботинского, система связей по-прежнему остается регулярной: химические вещества диффундируют в первую очередь в своих ближайших соседей.

С другой стороны, для сложного переплетения нейронов в мозге, где клетки в значительной степени связаны со своими ближайшими соседями, но, помимо этого, связаны длинными волокнами с клетками, находящимися на другом конце того же полушария мозга, использование структур, наподобие сетки и пространственной решетки, заведомо неприемлемо. Более подходящая модель геометрии должна предусматривать использование более свободного типа структуры, некоторого сочетания порядка и случайности, с местными соединениями, объединенными в кластеры, и хаотическими глобальными соединениями. Возможно, то же самое относится и к сверчкам. Возможно, существует целый новый класс осцилляторных сетей, которые еще предстоит проанализировать.

Идея Дункана поначалу не вызвала во мне энтузиазма. Связанные осцилляторы на регулярных сетках уже представляли собой задачу огромной сложности; эти же новые, гибридные сети были бы просто безнадежны. Впрочем, мне не хотелось с ходу отвергать инициативу Дункана.

Когда мы приступили к детальному обсуждению его идеи, я уловил ее глубинный, более универсальный смысл. Те же соображения обязательно должны были возникнуть при рассмотрении других видов динамических систем, а не только связанных осцилляторов. Когда нелинейные элементы оказываются связанными в гигантские сети, схема соединений элементов в таких сетях обязательно имеет значение. Вот базовый принцип: структура всегда влияет на функцию. Структура социальных сетей влияет на степень распространения информации и заболеваний; структура электросетей влияет на устойчивость систем передачи электроэнергии. То же самое относится к видам в экосистемах, компаниям на глобальном рынке, каскадам реакций ферментов в живых клетках. Структура сети должна оказывать огромное влияние на ее динамику.

Тем не менее, теоретики, как правило, предпочитали уклоняться от изучения проблемы связей, бросаясь из одной крайности в другую. Они принимали за основу либо нереалистично регулярную структуру, либо совершенно хаотичную систему связей. Например, в 1969 г. биолог-теоретик Стюарт Кауффман предложил идеализированную модель генных сетей, в которой каждый ген регулировался продуктами двух других, выбранных произвольно из остального генома, причем это объяснялось не тем, что он полагал, будто его модель соответствует действительности, а тем, что в 1969 г. никто не знал, как именно организованы связи в генных сетях. Предположение о произвольности связей равноценно гаданию на кофейной гуще: принятие нулевой гипотезы в отсутствие какой-либо информации. Эпидемиологи-математики зачастую прибегали к такой же аппроксимации: они предполагали, что инфицированные люди взаимодействовали случайным образом с людьми, восприимчивыми к инфекции, несмотря на то что в случае определенных видов заболеваний (особенно в случае заболеваний, передаваемых половым путем) сеть контактов никоим образом не может носить случайный характер. Подобно регулярным сетям, произвольные сети являются весьма соблазнительными идеализациями. Теоретикам они кажутся привлекательными не из-за их правдоподобия, а потому, что анализировать такие сети проще всего.

К 1996 г. осталось не так уж много ученых, готовых верить в правдоподобие регулярных и произвольных сетей. У каждого, кто пользовался интернетом, возникало ощущение, что интернет – это, с одной стороны, некая упорядоченная структура, а с другой стороны, некий запутанный лабиринт, где веб-страницы связаны главным образом с другими веб-страницами по той же теме, но время от времени способны вывести вас на маршруты, не имеющие ничего общего с вашими первоначальными намерениями. СПИД и вирус Эбола продемонстрировали, что инфекционные заболевания распространяются главным образом в изолированных и сплоченных сообществах, но также разносятся по всему миру на самолетах. Таким образом, не было ничего удивительного в том, что Дункан предложил отправиться на эту неизведанную территорию, в мир, находящийся на грани порядка и случайности.

Мы приступили к попыткам представить в наглядном виде сеть, находящуюся посреди порядка и случайности. Простейший подход заключался в том, чтобы взять регулярную сеть и плавно преобразовать ее в произвольную (что-то наподобие голливудского спецэффекта плавного преобразования одного лица в другое, как в известном видеоклипе Майкла Джексона «Черное или белое» (Black or White)). Например, выполнив такое преобразование примерно наполовину, мы могли бы выбрать половину первоначальных связей в какой-либо сети, удалить их и заменить их одинаковым количеством связей, разбросанных между произвольными парами узлов. В результирующей сети будет такое же количество связей, что и в исходной, однако теперь сеть будет наполовину произвольной и наполовину регулярной. Или, вместо того чтобы переустанавливать половину связей, мы могли бы выбрать любое другое соотношение между регулярными и произвольными связями. Задавая любую желаемую нами долю переустанавливаемых связей, мы могли бы постепенно настраивать свою сеть от 0 (первоначальная, исходная сеть, в которой количество переустановленных связей равняется 0) до 1 (полностью переустановленные, произвольные связи). Все, что находится между этими полюсами, представляло бы собой настраиваемое сочетание того и другого.

В качестве конкретного примера рассмотрим 6 миллиардов узлов, расположенных по окружности. Эти узлы могут представлять компьютеры, нейроны, людей – то есть компоненты, из которых состоит рассматриваемая нами сеть. Предположим, что каждый узел сети соединяется с 1000 соседних узлов: 500 узлов слева и 500 узлов справа. Это чрезвычайно упорядоченная сеть, идеально симметричная кольцевая структура. На этой стадии коэффициент настройки равен 0 (регулярный край спектра). Теперь начнем выполнять преобразование, медленно поворачивая ручку настройки от 0 в сторону 1. Несколько связей оторвутся от мест своего крепления и переустановятся случайным образом в других местах. По мере продолжения этой метаморфозы все большее и большее количество связей будет переустанавливаться случайным образом в других местах, нарушая таким образом симметрию исходной кольцевой структуры, в то же время оставляя неизменной какую-то ее часть.

Для количественной оценки изменяющиеся архитектуры этой сети мы ввели два статистических показателя. Один из них, «средняя длина пути», формализует интуитивное представление о степенях отчуждения. Чтобы вычислить этот показатель, нужно взять какую-либо пару узлов и подсчитать количество связей в кратчайшей цепочке между ними, а затем повторить эту процедуру для всех остальных пар узлов и усреднить результирующие длины цепочек.

В случае первоначальной кольцевой структуры такое вычисление не представляет серьезной проблемы, особенно если вооборазить такую сеть как некое общество, где каждый узел представляет какого-то человека, а связи представляют дружеские отношения между людьми. Этот воображаемый мир («кольцевой мир») несколько похож на наш реальный мир в том отношении, что количество элементов в том и другом случае равняется 6 миллиардам. Однако во всех остальных отношениях эти два мира совершенно непохожи. Обитатели нашего воображаемого мира вынуждены жить в условиях очень жестких ограничений: они должны стоять плечом к плечу, расположившись по огромному кругу. Допустим, каждый человек обязан дружить с 500 людьми, расположенными по правую руку от него, и с 500 людьми, расположенными по левую руку, – и ни с кем больше. В таком мире не было бы шести степеней отчуждения – в нем было бы целых 3 миллиона степеней отчуждения!

Чтобы понять, почему так, рассмотрим длину пути между вами и самым отдаленным от вас («диаметрально противоположным») человеком в кольце. Чтобы добраться до него по кратчайшей цепочке, вы должны послать какой-то сигнал своему 500-му другу (то есть ближайшему к «диаметрально противоположному» вам человеку в кольце). Кратчайшим путем от него до интересующего вас человека опять-таки будет его 500-й друг, и так далее, каждый раз совершая прыжок длиною в очередные 500 человек. Таким образом, чтобы совершить все это путешествие, придется выполнить 6 миллионов «прыжков» (3 миллиарда, поделенные на 500 шагов). Впрочем, в данном случае речь идет о самом удаленном от вас человеке. Когда же вам нужно добраться до самой близкой цели – человека, стоящего рядом с вами, – требуется лишь один шаг. Таким образом, в среднем расстояние между вами и «типичным» человеком составляет примерно 3 миллиона рукопожатий, 3 миллиона степеней отчуждения.

На другом конце этого спектра, когда наше преобразование завершено и сеть стала совершенно произвольной, вычисление оказывается столь же простым. Теперь – и это удивительно! – каждый расположен на расстоянии лишь четырех шагов от каждого. Этот удивительный результат объясняется экспоненциальным ростом. В мире случайности, если вам известно 1000 человек (в среднем), а каждому из них также известно 1000 человек, это означает, что существует 1 миллион (= 1000 × 1000) человек, находящихся на расстоянии двух шагов от вас, 1 миллиард человек, находящихся на расстоянии трех шагов от вас, и 1 триллион – что гораздо больше населения нашей планеты – на расстоянии четырех шагов.

Возникает соблазн экстраполировать такой метод рассуждений на наш реальный мир, объяснив таким образом пресловутые «шесть степеней отчуждения». Но нельзя, поскольку здесь не учитывается то обстоятельство, что реальные отношения дружбы перекрываются между собой: многие из друзей ваших друзей являются также вашими друзьями и поэтому учитываются дважды.

Однако в случае гипотетической сети, которую можно охарактеризовать и как рассеянную (разбросанную), и как совершенно произвольную, указанное вычисление было бы справедливо, поскольку перекрытием отношений дружбы в данном случае можно было бы пренебречь. Когда вы выбираете случайном образом 1000 человек из огромного множества, составляющего 6 миллиардов человек, и то же самое делают все ваши друзья, вероятность перекрытия отношений дружбы составляет лишь 1 шанс из 6 миллионов. Таким образом, двойной счет в данном случае весьма маловероятен. Разумеется, это был бы довольно странный мир, в котором вероятность вашего знакомства с каким-нибудь крестьянином из Гималаев, принцем Уэльским или человеком, проживающим по соседству с вами, была бы одинаковой. Ваши друзья были бы разбросаны по всем континентам и по всем классам общества; они могли бы принадлежать к любой расе и исповедовать любую религию. В мире без перекрывающихся отношений дружбы существование какой-либо социальной структуры, семей или местных сообществ было бы просто невозможно.

Такие доводы подчеркивают важность понимания концепции перекрытия в более общем плане. Средняя величина перекрытия в сети оценивается с помощью второго статистического показателя. Этот статистический показатель – он назвается «кластеринг» – определяется как вероятность того, что два узла, связанные с каким-либо общим для них узлом, также окажутся связаны друг с другом (или, возвращаясь к нашему примеру с отношениями дружбы между людьми, вероятность того, что друзья некого третьего лица также дружат между собой). Применительно к двум крайним ситуациям, обсуждавшимся выше, можно показать, что кластеринг изменяется от 0,75 (максимально возможная величина) в случае первоначального кольца до исчезающе малой величины, составляющей 1 к 6 миллионам, в случае произвольной сети.

Например, чтобы прийти к случаю, когда кластеринг равняется 0,75, вам нужно исходить из того, что у вас есть практически все те же друзья, что и у человека, являющегося вашим непосредственным соседом в кольце (точнее говоря, 998 из 1000), в результате чего ваше перекрытие с этим, ближайшим к вам человеком, по сути, равняется 1. С другой стороны, с самым отдаленным вашим другом, находящимся от вас на расстоянии 500 шагов в кольце, у вас есть только половина общих друзей (это 499 человек, находящихся между вами и самым отдаленным вашим другом), в результате чего ваше перекрытие с этим самым отдаленным вашим другом равняется 499/1000, или примерно ½. Для всех остальных ваших друзей, находящихся между ближайшим и самым отдаленным другом, перекрытие плавно изменяется от ½ до 1, что составляет, в среднем, ¾, или 0,75 – упоминавшееся выше значение кластеринга. Далее примерно такие же, но несколько более простые рассуждения мы можем применить для вычисления кластеринга в случае произвольных связей: в этом случае кластеринг равнялся бы 1 к 6 миллионам (попытайтесь доказать это сами). Здесь важно лишь не запутаться в деталях. Принципиальным моментом здесь является то, что, подобно средней длине пути, кластеринг изменяется почти в миллион раз, когда мы преобразуем сеть, переводя ее с одного края спектра в другой.

Несмотря на то что эти два статистических показателя снижаются примерно на один и тот же коэффициент, они отражают принципиально разные аспекты архитектуры сети. Средняя длина пути отражает глобальную структуру; она зависит от способа соединения сети в целом, и ее невозможно оценить с помощью какого-либо локального измерения. Кластеринг отражает локальную структуру; он зависит лишь от способа соединений в типичной «близкой окрестности», межродственных связей среди узлов, соединенных с каким-то общим для них центром. Грубо говоря, средняя длина пути измеряет величину (масштаб) сети. Кластеринг измеряет близость родственных отношений (фигурально выражаясь, степень «кровосмесительности») в сети.

До сих пор основное внимание мы уделяли традиционным краям спектра сетей. Но мы по-прежнему пребываем в неведении относительно того, что происходит в середине этого спектра. Сами по себе края спектра говорят нам лишь о том, что преобразование сети каким-то образом сильно сжимает кольцо и разрушает его кластеры. Нам по-прежнему неизвестно, является ли этот переход постепенным или резким. Ни Дункану, ни мне не было понятно, как решить эту проблему чисто математическими средствами, поэтому мы воспользовались компьютером для моделирования такого преобразования на сетях достаточно большой, но все же вполне обозримой величины, начиная с исходных колец, содержащих 1000 узлов, по 10 связей на каждый узел. Чтобы отобразить в графическом виде структурные изменения на этом среднем уровне, мы представили зависимость средней длины пути и кластеринга от доли связей, которые были произвольно переустановлены.

Полученный результат удивил нас. Даже самая ничтожная доля случайности приводила к колоссальному сокращению сети. Сначала резко снижалась средняя длина пути: при увеличении количества произвольно переустановленных связей лишь на 1 % (это означало, что стала случайной лишь одна из каждых 100 связей) кривая снижалась на 85 % по сравнению со своим первоначальным уровнем. Дальнейшая переустановка связей оказывала лишь минимальное влияние: кривая превращалась практически в горизонтальную линию, пролегающую на низком уровне; это указывало на то, что сеть уже сократилась до минимально возможного размера, как если бы она была полностью произвольной. Между тем изменение кластеринга было весьма несущественным. При увеличении количества произвольно переустановленных связей на 1 % кластеринг снижался лишь на 3 %. Связи изымались из хорошо упорядоченных окружений, однако это не оказывало существенного влияния на кластеринг. Лишь на гораздо более поздней стадии преобразования, гораздо позже резкого сокращения средней длины пути, кластеринг начинал существенно снижаться.

У таких результатов есть интуитивное объяснение. В начале преобразования первые несколько произвольных связей действуют как перемычки – мосты между частями сети, которые в противном случае были бы слишком удалены друг от друга. Их непропорционально сильное влияние является следствием мощного нелинейного эффекта: они не только соединяют друг с другом два узла – они соединяют друг с другом целые миры. Например, мне нравится играть в шахматы в режиме он-лайн в Шахматном клубе интернета, где я подружился с Эмилио, редактором одного из голландских журналов. Благодаря возникновению этой «перемычки» я, конечно, очень сблизился с Эмилио – однако не только с ним, но и с тысячами других граждан Голландии: всеми его друзьями и друзьями этих друзей. И хотя мои собственные друзья даже не подозревают об этом, все они сейчас сблизились с Эмилио и его друзьями – и все это благодаря единственной «перемычке», созданной мною и Эмилио. Один этот мост играет очень важную роль.

В проведенном нами моделировании первые несколько «перемычек» резко сократили величину мира, но оказали весьма незначительное влияние на кластеринг. Из этого следует, что переход к тесному миру практически невозможно заметить на локальном уровне. Если бы вы сами проживали в мире, подвергающемся такому преобразованию, то ничто в вашем ближайшем окружении не говорило бы вам о том, что ваш мир стал маленьким. Количество ваших друзей осталось бы неизменным, а вы сами, возможно, даже не подозревали бы о том, что они могут быть связаны с более широким кругом людей. Человеку, проживающему в таком мире, могло бы казаться, что ему совершенно не угрожает опасность такого тяжелого заболевания, как СПИД – поскольку, например, никто из его половых партнеров не входит в группы повышенного иска, – хотя в действительности такая опасность вполне может подстерегать его в случае появления одной или двух «перемычек».

Самый важный результат такого моделирования заключался в том, что в достаточно широком промежуточном диапазоне переустановленных связей модельные сети были очень кластерированы и, вместе с тем, очень малы. Столь специфическое сочетание было новостью для математики. В традиционных сетях размер и кластеринг идут рука об руку. Произвольные сети малы и плохо кластерированы; напротив, регулярные сети велики и сильно кластерированы. Сети с переустановленными связями умудрялись быть и малыми, и сильно кластерированными одновременно.

Сети с такой парой взаимно противоречивых, на первый взгляд, свойств мы назвали «сетями тесного мира», отдавая дань такому же дуализму, который кажется столь парадоксальным, в связях между людьми: мы движемся в компактных кругах, но в то же время все мы связаны друг с другом на удивление короткими цепочками. Теперь вопрос заключался в следующем: встречается ли столь странная форма сетевой архитектуры в природе, а если встречается, то для чего она может понадобиться?

Наше моделирование показало, что «сети тесного мира» должны иметь широкое распространение в природе, поскольку для этого хватило бы даже очень малой доли «перемычек». Чтобы проверить этот вывод, нам были нужны эмпирические примеры. Найти их оказалось не так-то легко. На любого кандидата нужно было получить исчерпывающую характеристику, схема его связей должна быть известна до последней детали, каждый узел и каждая связь должны быть задокументированы. В противном случае мы не могли бы вычислить кластеринг и среднюю длину пути.

Тогда я вспомнил, что Кьени Бей, одна из студенток, которым я в прошлом году читал курс лекций по теории хаоса, выполнила проект, касающийся энергосистемы западных штатов США. Эта энергосистема представляла собой совокупность из примерно 5000 электростанций, связанных между собой высоковольтными линиями электропередачи, охватывающими штаты к западу от Скалистых гор, а также западные провинции Канады. Кьени и ее консультант Джим Торп поделились своими данными с Дунканом. Эти данные содержали огромный объем подробнейшей информации, которая была очень важна с инженерной точки зрения – максимально допустимое напряжение на линиях электропередачи, классификация узлов как трансформаторов, подстанций или генераторов, – однако мы проигнорировали все за исключением схемы соединений между узлами этой сети. Таким образом, эта сеть превратилась в абстрактную схему из точек, соединенных линиями. Чтобы проверить, является ли такая схема сетью тесного мира, мы сравнили ее кластеринг и среднюю длину пути с соответствующими показателями для произвольной сети с таким же количеством узлов и связей. Как и предполагалось, реальная сеть оказалась почти так же мала, как произвольная, но гораздо сильнее кластерирована. В частности, ее длина пути оказалась лишь в полтора раза больше, чем у произвольной сети, тогда как ее кластеринг оказался в 16 раз большим.

Решив не ограничивать свои исследования лишь технологическими сетями, мы обратили свои взоры к нервной системе крошечного червя под названием C. elegans. Об этом скромном создании – прозрачная нематода длиной около 1 миллиметра, обитающая в почве – нам известно гораздо больше, чем о каком-либо другом животном, в том числе о мушке-дрозофиле (любимый объект исследований генетиков) и мыши (любимый объект исследований онкологов). Каждая из 959 клеток этого червя исследована на каждой стадии своего развития, начиная с момента ее зарождения и заканчивая смертью. Последовательность всего генома этого червя была установлена еще в 1998 г. Каким бы сложным этот организм ни показался вам, его исследование позволило выявить несколько фундаментальных клеточных процессов, начиная с отмирания клетки и заканчивая выработкой сигналов клетками и управлением нервными путями, причем все эти процессы поначалу были открыты биологами, специализирующимися на изучении червей, а впоследствии оказалось, что исследование этих процессов важно и для человека. Именно поэтому червю C. elegans уделяется столь большое внимание. Возможно, это именно тот простейший организм, многие биологические процессы в котором очень важны для жизни человека.

С точки зрения нашего исследования, привлекательность червя C. elegans заключалась в том, что его нервная система была полностью представлена в схематическом виде – достоинство, которым не обладал ни один другой организм. Вообще говоря, схема соединений его 302 нейронов имелась на дискете в цифровом виде. Как и в случае с энергосистемой, мы пренебрегли подробностями, которые могли показаться самыми существенными специалисту по изучению червей. Мы рассматривали все нейроны как идентичные друг другу (хотя биологи различают 118 разных классов нейронов) и считали два нейрона соединенными между собой, если они были связаны друг с другом либо синапсом (химическое соединение), либо нексусом (электрическое соединение).

Результирующая абстрактная сеть опять-таки оказалась сетью тесного мира. Средняя длина пути в ней оказалась лишь на 18 % большей, чем средняя длина пути соответствующей произвольной сети, тогда как ее кластеринг оказался в шесть раз большим. Неясно было, что все это означает. Вполне могло быть, что столь короткая средняя длина пути облегчает быструю передачу сигналов в организме этого существа, тогда как высокий кластеринг, возможно, отражает наличие контуров обратной связи и модульной структуры в его нервной системе.

Две радикально разные сети, энергосистема и нервная система: одна из них создана человеком, а другая – результат долгой эволюции. Одна из них относится к числу крупнейших технологических систем в мире и представляет собой обширную сеть синхронизированных электрогенераторов, связанных электрическими кабелями, общая протяженность которых составляет сотни тысяч миль. Другая сеть – микроскопическая ажурная ткань, результат миллионов лет естественного отбора, тончайшее кружево, вплетенное в организм червя. Тем не менее, несмотря на указанные различия, их архитектуры на удивление схожи между собой. Обе эти сети почти так же малы, как это только возможно. Обе чрезвычайно структурированы и, несомненно, не произвольны. Правда, наши аппроксимации не позволяли правильно трактовать эти результаты: архитектура обеих этих сетей тесного мира могла не иметь никакого отношения к выполняемым ими функциям и, следовательно, могла не иметь в данном случае никакого значения. Только время могло бы дать ответ на этот вопрос. Но на тот момент совпадение казалось весьма соблазнительным.

Социальные сети также представлялись нам похожими на тесные миры, хотя нам не были известны какие-либо свидетельства, помимо ряда разрозненных фактов, которые подтверждали бы это впечатление. В частности, нас интересовало, основывается ли высказывание о «шести степенях отчуждения» на надежных данных, которые можно было бы проверить. Возможно, это было не чем иным, как досужим вымыслом. (Сам Джон Гуэйр не мог вспомнить, что – или кто – является источником такого высказывания. Он полагал, что оно могло исходить от Гульельмо Маркони, изобретателя беспроволочного телеграфа, который еще в конце XIX столетия выдвинул идею радиосвязи, позволившую создать на нашей планете сеть телеграфных станций. Эта сеть обеспечила жителей Земли надежной беспроводной связью.) Не располагая реальными данными, мы, разумеется, не могли быть уверены в широкой применимости нашей теории (хотя очень надеялись на это). Применима ли она к сетям, состоящим из живых людей, а не только к энергосистемам и нервным системам?

Одна из первых подсказок появилась в результате нашего общения с Джоэлом Коэном, биологом-математиком из университета Рокфеллера, который использовал теорию сетей для моделирования структуры сетей экологического питания. Когда в разговоре с ним я упомянул о том, что мы пытаемся получить какую-то дополнительную информацию об эмпирической основе представлений о «шести степенях отчуждения», он сказал: «Вы, наверное, имеете в виду задачу тесного мира» и посоветовал нам ознакомиться с классической работой Стенли Милгрэма.

В 1967 г. Милгрэм, специалист по социальной психологии из Гарвардского университета, разработал эксперимент, цель которого заключалась в том, чтобы выяснить, на что в большей степени похоже американское общество: на некий массив разобщенных островков или на единую гигантскую взаимосвязанную паутину. Этот эксперимент был призван проследить линию общих знакомых между двумя случайно выбранными людьми в Соединенных Штатах. Милгрэм вручил папку (красиво оформленный буклет, что-то наподобие паспорта с поставленной на нем печатью Гарвардского университета) некому человеку, который должен был стать первым звеном в цепочке знакомств, и попросил его отправить эту папку определенному человеку (так называемому «целевому лицу»), но с одним условием: «Если вы лично не знакомы с этим человеком, не пытайтесь обратиться к нему напрямую. Вместо этого отправьте эту папку по почте кому-то из своих личных знакомых, вероятность знакомства которого с целевым лицом, как вам кажется, должна быть выше, чем у вас. Подчеркиваю, это должен быть лично знакомый вам человек». Именно таким образом эта папка должна была проделать свой путь через всю страну, от одного знакомого к другому, оказавшись в конечном счете у целевого лица. Чтобы привести в действие всю эту цепочку знакомств, Милгрэм решил воспользоваться услугами волонтеров из Среднего Запада США по причинам, которые впоследствии он объяснил так: «В качестве первого приближения мы полагали, что лучше всего было бы выбрать первое звено в наших цепочках из какого-либо отдаленного города, например Уичито, Канзас, или Омаха, Небраска (для человека, проживающего в Кэмбридже, эти города казались очень далекими от него, расположенными где-то на Великих равнинах или бог знает где еще)». Исследование, проводившееся в штате Небраска, охватило 160 человек, которые играли роль начального звена в соответствующих цепочках, причем все они пытались выйти в конечном счете на одно и то же целевое лицо, некого биржевого брокера, проживавшего в Шарон, Массачусетс, и работавшего в Бостоне. В то время Милгрэм не был уверен в том, что хотя бы какая-то из таких цепочек будет пройдена от начала до конца, а если и будет пройдена, то сколько шагов понадобится для этого. «Когда я спросил у одного из своих приятелей – между прочим, весьма неглупого человека, – сколько, на его взгляд, шагов понадобится для этого, он ответил, что для того, чтобы папка Милгрэма смогла добраться из Небраски до Шарона, понадобится не менее 100 промежуточных лиц», – написал Милгрэм.

Результат эксперимента оказался таким: после прохождения через руки лишь 2–10 промежуточных знакомых 44 папки успешно добрались до целевого лица. Среднее количество «посредников» составило 5, что соответствует 6 звеньям в цепочке. В поп-культуре именно это число сейчас называют «шестью степенями отчуждения». (Другие цепочки, использовавшиеся в ходе эксперимента, оказались незавершенными, что объясняется нежеланием людей, оказавшихся волей случая участниками этого эксперимента, заниматься подобными «пустяками».)

Какими бы интригующими ни казались эти результаты, они считаются неубедительными. Цепочки, задействованные в ходе этого эксперимента, вполне могли быть не самыми короткими из возможных, поэтому оценить истинную среднюю длину пути не представляется возможным. Она даже могла бы оказаться бесконечной: в Соединенных Штатах вполне можно найти пары людей, которые обитают в «социальных вселенных», между которыми отсутствуют какие бы то ни было социальные связи. А в отсутствие дополнительной информации о локальной связности в такой сети невозможно вычислить ее кластеринг. Чтобы получить ответы на эти, более детальные вопросы, нам нужно было найти социальную сеть, все характеристики которой – буквально каждый узел и каждая связь – были бы известны нам.

Сами математики в шутку инициировали такое перечисление, поставив в центр своей вселенной Пала Эрдёша, выдающегося венгерского математика, который был до невероятности беспомощен во всех аспектах повседневной жизни – поговаривают, он не умел даже намазать масло на кусок хлеба. Тем не менее Эрдёш был одним из самых плодовитых и изобретательных математических умов XX столетия. Злоупотребляя крепким кофе и амфетаминами, бесконечно странствуя по миру со своим неизменным, видавшим виды чемоданчиком, он появлялся у вас на пороге и заявлял: «Я открыт для любых идей». Это означало, что он готов работать вместе с вами над любой нерешенной математической проблемой.

Эрдёш сотрудничал со столь многими людьми, что большой популярностью среди математиков пользовалась игра на вычисление вашего «числа Эрдёша». Если вы принадлежите к числу немногих избранных, кто опубликовал статьи в соавторстве с Эрдёшем (а таковых насчитывалось 507 человек), то ваше число Эрдёша равняется 1. Если вы не опубликовали ни одной статьи в соавторстве с самим Эрдёшем, но опубликовали статьи в соавторстве с тем, кому приходилось публиковать статьи в соавторстве с самим Эрдёшем, то ваше число Эрдёша равняется 2. Математики шутили, что если вы чего-то стоите как математик, то ваше число Эрдёша не должно быть меньше 2. Существует даже сайт, на котором перечислены все, кому посчастливилось иметь число Эрдёша, равное 1 или 2. Для лиц, у которых число Эрдёша равно 3, списка не существует. Если бы кто-то смог составить такой список, то он оказался бы чрезвычайно большим. (Я тоже попал бы в него.) К сожалению, не располагая полным списком, мы не могли бы вычислить среднюю длину пути или кластеринг для этой социальной сети. Человеческие сети оказались дьявольски неуловимы.

Каждый раз, когда мы пытались описать свою работу людям, далеким от науки, они неизменно вспоминали игру «в Кевина Бейкона». Мы всегда высмеивали ее как нечто, не достойное серьезного обсуждения. Но теперь мы увидели в этом интересную возможность, выход из нашего затруднительного положения. Такая сеть из киноактеров могла служить суррогатом социальной сети. Вместо людей, которых соединяют друг с другом отношения дружбы, такая сеть состояла бы из киноактеров, которых соединяют друг с другом фильмы, в которых они снимались. Считается, что два актера, которые снимались в одном и том же фильме, «отчуждены» друг от друга на один шаг, и т. д. Такая сеть, хоть и кажется несколько эксцентричной, обладает тем преимуществом, что ее характеристики могут быть известны нам во всей их полноте. В интернет-базе данных фильмов (Internet Movie Database) содержатся сведения об исполнителях ролей практически всех художественных фильмов, которые когда-либо выходили на экраны. С другой стороны, величина этой базы данных сама по себе может стать серьезной проблемой: по состоянию на апрель 1997 г. она содержала сведения почти о четверти миллиона актеров, поэтому объем соответствующей вычислительной работы оказался бы поистине гигантским. Даже суперкомпьютер Корнельского университета, один из крупнейших в мире, столкнулся бы с серьезными проблемами, если бы всю эту информацию ему пришлось хранить в своей памяти.

К счастью, Бретт Тьяден (он же «Оракул Бейкона»), ученый-компьютерщик в университете Вирджинии, уже потратил несколько недель на вычисление кратчайшей цепочки фильмов между любой парой актеров. В ходе этих вычислений он выяснил, что такая сеть обладает интересной глобальной структурой. В ней доминирует одна огромная взаимосвязанная область (получившая название «гигантский компонент»), заключающая в себе 90 % всех актеров, в том числе Кевина Бейкона и всех остальных киноактеров, о которых вам приходилось слышать. Но она также содержит небольшое количество крошечных островков, групп малоизвестных киноактеров, отрезанных от остальной «актерской вселенной» (это могли быть, например, люди, игравшие в одном фильме, который они снимали в актерской школе вместе со своими друзьями, причем ни один из них больше не снимался ни в каком другом фильме).

Воспользовавшись данными, полученными Тьяденом, Дункан подсчитал, что любые два произвольно выбранные киноактера в «гигантском компоненте» отчуждены в среднем 3,65 фильмами – впечатляюще малая величина, если учесть, что в этих фильмах участвуют актеры из многих стран, а сами фильмы относятся к разным жанрам и эпохам, начиная с эпохи немого кино и до настоящего времени. Если бы сеть была полностью произвольной, соответствующее число было бы меньшим, не ненамного: 2,99. Кластеринг, с другой стороны, оказался чрезвычайно большим: 0,79, то есть примерно в 3000 раз больше, чем в случае произвольной сети.

Таким образом, снова проявилась такая же дуальность: короткие цепи и высокий кластеринг, что является признаком сети тесного мира. По какой-то причине – может быть, в силу счастливого стечения обстоятельств, а может быть, в силу каких-то более глубоких причин – все три сети оказались именно тем, что нам требовалось. Каждая из сетей, на которые мы сразу же обратили внимание (а они не были специально отобраны), оказались сетями тесного мира. Такая схожесть была особенно удивительна в свете несопоставимости их размеров и научного происхождения. У нас начало складываться впечатление, что архитектура тесного мира встречается повсеместно.

Между прочим, этот анализ низвел Кевина Бейкона с его пьедестала. Он оказался лишь 669-м в списке киноактеров, имеющих самые многочисленные связи. (Этот показатель измерялся средним отчуждением киноактера от всех остальных в этом «гигантском компоненте». Согласно этому показателю, центром голливудской «вселенной» является Род Стайгер. Как ни странно, вторым и третьим номерами оказались Кристофер Ли и Дональд Плисенз, известные главным образом своими ролями во второсортных фильмах ужасов.

После того как мы продемонстрировали, что сети тесного мира не только существуют в реальности, но даже могут встречаться повсеместно, нам оставалось ответить на исходный вопрос Дункана: будут ли осцилляторы, связанные между собой по типу сети тесного мира, синхронизироваться с большей или меньшей готовностью, чем они синхронизировались бы в традиционной регулярной сети? На этот вопрос можно было бы в конце концов ответить, по крайней мере теоретически, с помощью разработанной ранее модели преобразования. Каждый узел в такой сети теперь представлял бы некий самоподдерживающийся осциллятор – которым мог бы быть стрекочущий сверчок, мерцающий светлячок, нейрон-задатчик ритма, – а связи в такой сети отражали бы соответствующую картину взаимодействий.

Одна из простейших моделей такого рода была к тому времени уже изучена Курамото и его коллегами Хидецугу Сакагути и Сигеру Синомото. Они рассматривали те же виды осцилляторов, что и в оригинальной модели Курамото: фазовые осцилляторы с распределенными естественными частотами, связанные между собой силой притяжения синусоидальной формы. (Представьте себе помещение, в котором собралось множество людей. Каждый из присутствующих пытается аплодировать в унисон, то ускоряя, то замедляя свое хлопанье в зависимости от временного сдвига между его собственным хлопаньем и коллективными аплодисментами. Поскольку скорость коллективного хлопанья постоянно меняется в диапазоне от размеренного до неистового, людям, собравшимся в этом помещении, все время приходится подравнивать скорости своего хлопанья к текущей скорости коллективных аплодисментов.) Но, в отличие от первоначальной модели Курамото, которая предполагала, что осцилляторы соединены между собой по принципу «каждый с каждым», на этот раз японские физики предполагали кольцевой принцип соединения осцилляторов, согласно которому каждый осциллятор соединялся с фиксированным количеством соседей по обе стороны от себя. (Представьте себе арену, наподобие футбольного стадиона, где каждый болельщик слышит лишь тех, кто сидит рядом с ним.) Курамото и его коллеги обнаружили, что кольцо разнородных осцилляторов с трудом достигает всеобщего синхронизма; вообще говоря, такое кольцо фрагментируется на множество небольших групп соседей, причем члены одной группы осциллируют с одной и той же средней скоростью, однако в разных группах эта скорость оказывается разной. Разные сектора стадиона в этом случае хлопали бы с разными скоростями.

Мы хотели выяснить, приведет ли переустановка связей в кольце к повышению его способности синхронизироваться. Как и в ходе предыдущих сеансов моделирования, мы преобразовывали кольцевую структуру в сторону произвольной сети, превращая некоторые из ее первоначальных соединений в произвольные. (Это подобно тому, как если бы у некоторых из болельщиков были мобильные телефоны, с помощью которых они могли бы слышать аплодисменты, раздающиеся в других секторах стадиона, но неслышные для их соседей по сектору.) Мы обнаружили, что крошечный процент таких «перемычек» – порядка 1–2 процентов в кольце из 1000 осцилляторов – резко изменял динамику системы в целом. Система самопроизвольно переходила от локального несовпадения к глобальному консенсусу. Теперь все осцилляторы приводили свои ритмы к единой компромиссной частоте.

Хотя нам не удавалось объяснить эти результаты с математической точки зрения, напрашивалось интуитивное объяснение: «перемычки» создавали каналы быстродействующей связи, благодаря чему взаимное влияние быстро распространялось по всей популяции. Разумеется, такого же эффекта можно было достичь путем непосредственного соединения осцилляторов по принципу «каждый с каждым», но при этом существенно возрастало бы количество соединений. Совершенно очевидно, что архитектура тесного мира позволяла добиться глобальной координации гораздо эффективнее.

К тому же архитектура тесного мира, возможно, оказалась бы предпочтительным вариантом в других случаях, когда приходится обеспечивать быстрое продвижение информации по чрезвычайно сложной системе. Следующий случай, который мы решили изучить, представляет собой классическую задачу компьютерной науки, которая называется «проблемой классификации плотности для одномерных двоичных автоматов». Попробуем сформулировать ее более простым языком. Представьте себе кольцо из 1000 лампочек. Каждая из этих лампочек может быть либо включена, либо выключена. На очередном временном шаге каждая из этих лампочек смотрит на трех своих соседей по обе стороны от себя и с помощью некоторого правила (которое еще предстоит определить) решает, в каком состоянии (включена или выключена) ей нужно пребывать в следующем цикле. Задача заключается в том, чтобы разработать правило, которое позволит такой сети решить определенное вычислительное задание. Поначалу это задание кажется до смешного простым: решить, было ли большинство этих лампочек поначалу включено или выключено. Если более половины лампочек было поначалу включено, то предполагается, что повторное выполнение этого правила приведет всю сеть к конечному состоянию, в котором все лампочки включены (и наоборот, если поначалу большинство этих лампочек было выключено, то предполагается, что конечное состояние соответствует всем выключенным лампочкам).

Эта задача оказывается тривиальной при наличии центрального процессора – «всевидящего ока», которое способно контролировать такую систему в целом и определять, было ли большинство лампочек поначалу включено или выключено. Однако нужно учитывать, что в данном случае речь идет о децентрализованной системе. «Всевидящего ока», которое обладало бы глобальным знанием, в этой системе нет. Лампочки страдают близорукостью: по определению, каждая из них может видеть лишь трех своих соседей по левую и по правую сторону от себя. Именно это и делает нашу задачу столь непростой: как может такая система, пользуясь неким локальным правилом, решить задачу, которая по своему характеру является фундаментально глобальной?

В этой задаче ухвачена суть того, что называют коллективным вычислением. Представьте себе колонию муравьев, строящих муравьиную кучу. Каждый из отдельно взятых муравьев не знает, в чем заключается цель работы, выполняемой колонией, но в своей совокупности они ведут себя так, будто обладают разумом. Вспомните концепцию «невидимой руки рынка», принадлежащую Адаму Смиту. Согласно этой концепции, если каждый, выполнив свое «локальное вычисление», решает действовать в своих собственных интересах, то экономика в целом будет двигаться к состоянию, которое оказывается полезным для всех. В нашем случае, то есть в случае «проблемы классификации плотности для одномерных двоичных автоматов», подобные (но гораздо более простые) вопросы могут быть решены в неком идеализированном, хорошо контролируемом окружении. Проблема заключается в том, чтобы придумать правило, которое позволит сети решить, было ли большинство лампочек поначалу включено или выключено, при любой первоначальной конфигурации. Такой сети предоставляется возможность действовать в течение времени, равного ее удвоенной длине. Таким образом, если наша сеть содержит 1000 лампочек, то такой системе предоставляется возможность выполнять свое локальное правило в течение 2000 шагов, после чего она должна принять решение (вынести свой вердикт).

Никому до сих пор не удалось найти правило, которое срабатывало бы каждый раз. Мировой рекорд поставило правило, которое позволяло получить правильный результат примерно в 82 % случаев – то есть оно правильно классифицировало примерно 82 % всех исходных условий как «большинство лампочек включено» или «большинство лампочек выключено», уложившись в заданное время. Первое правило, которое могло бы показаться вам подходящим для проверки – «правило большинства», согласно которому каждая лампочка подражает тому, что делает большинство ее соседей, – совершенно неработоспособно. Сеть замыкается в неком «полосатом» состоянии, в котором блоки включенных смежных лампочек перемежаются с блоками выключенных лампочек. Такой результат совершенно неприемлем для нас, как неприемлемо жюри суда присяжных, которое неспособно вынести вердикт по причине разделения мнений. Предполагается, что такая сеть должна сойтись к единодушному вердикту, когда все лампочки либо включены, либо выключены.

Мы с Дунканом предположили, что сеть тесного мира, составленная из лампочек, должна решить эту задачу более эффективно, чем первоначальная кольцевая структура. Превращение небольшого числа связей в произвольные «перемычки» должно предоставить возможность удаленным лампочкам быстрее общаться между собой, что, вероятно, предотвратит застревание в «полосатом» состоянии. Мы изучили действие «правила большинства» в кольцевых сетях с разными объемами произвольной переустановки связей. Как и ожидалось, когда объем произвольной переустановки связей был очень незначительным, «правило большинства» по-прежнему не срабатывало: полученная система была неотличима от первоначального кольца и в очередной раз скатывалась в тупиковое «полосатое» состояние. Когда мы увеличили объем переустановленных связей, какое-то время функционирование сети оставалось плохим, но затем, после достижения определенного порога, резко улучшалось. Это происходило примерно на том этапе, когда от каждой лампочки исходила одна «перемычка», в среднем. В этом режиме «правило большинства» начало работать блестяще, правильно классифицируя примерно 88 % всех первоначальных конфигураций. Другими словами, довольно примитивное правило («правило большинства») в случае его применения к эффективной архитектуре (тесный мир) позволило достичь результатов, которые превзошли мировой рекорд.

В такой сети самопроизвольно вырабатывалась способность к вычислению после внесения даже незначительных изменений в схему соединений этой сети. Это позволяет сделать вывод о том, что использование архитектуры тесного мира может оказаться весьма эффективным способом решения других задач коллективного вычисления – способом, который придает огромную дополнительную силу даже простейшим локальным правилам. Возникает даже соблазм предположить, что процесс эволюции мог использовать эту архитектуру при формировании нервных систем живых организмов.

Важность системы связей тесного мира оказывается еще более очевидной при рассмотрении процессов распространения инфекций. Все, что может распространяться – инфекционные заболевания, компьютерные вирусы, идеи, слухи и т. п., – будет распространяться гораздо эффективнее и быстрее в тесном мире. Менее очевидным моментом является то, что буквально нескольких «перемычек» может оказаться достаточно для того, чтобы создать тесный мир.

Необычайная эффективность «перемычек» была трагически проиллюстрирована распространением СПИД в Северной Америке, подстегнутым, как полагают, так называемым «нулевым пациентом», неразборчивым в своих половых связях франкоговорящим канадским стюардом, который летал в самолетах по всему миру и был завсегдатаем саун в Сан-Франциско, Лос-Анджелесе, Ванкувере, Торонто и Нью-Йорке. По меньшей мере 40 из 248 мужчин, у которых был диагностирован СПИД, вступали в половые связи с ним или с одним из его предыдущих партнеров.

Аналогично, эпидемиологи из Великобритании обратили внимание на новую, и весьма тревожную, картину распространения ящура в ходе самой последней вспышки этого опасного заболевания. Ящур – вирус, характеризующийся высокой вероятностью заражения; этому инфекционному заболеванию подвержены коровы, свиньи, овцы и прочие парнокопытные животные. Распространение этого заболевания влечет за собой катастрофические последствия для промышленного животноводства. Во время последней вспышки, которая случилась в 1967 г., вирус распространялся главным образом воздушно-капельным путем (хотя его переносчиками могут также быть птицы и животные; более того, он может переноситься даже на обуви и одежде). Из примерно 2000 случаев заболевания ящуром свыше 95 % было локализовано в радиусе 100 км от источника вспышки. Однако нынешняя эпидемия в Великобритании уже охватывает область в радиусе 500 км от источника. Полагают, что столь существенная разница объясняется изменениями, которые в последнее время имели место в сельском хозяйстве, особенно возросшими перевозками скота между разными регионами, достаточно удаленными друг от друга, что в данном случае послужило механизмом образования «перемычек». Вирус ящура уже перекинулся с Англии на Ирландию, Францию и Голландию; лишь с 2000 г. вспышки этого заболевания отмечались в 34 странах. Хотя эпидемия ящура еще не добралась до Соединенных Штатов (по крайней мере на момент написания этой книги) и вообще вирус не появлялся на территории Соединенных Штатов с 1929 г., это не может быть поводом для самоуспокоенности. Острословы заметили недавно по этому поводу, что «мы живем не просто в “глобальной деревне” – мы живем на “глобальной ферме”».

Распространение по интернету компьютерных вирусов и компьютерных червей также демонстрирует действенность системы соединений в тесном мире. Рассмотрим пример компьютерного червя Love Bug, который автоматически передавался каждому, кто оказывался в списке контактов пользователя, ставшего жертвой этого червя. С учетом того, что онлайн-сообщество, по-видимому, кластерировано в виде достаточно узких кругов друзей и знакомых, которые практически не общаются с теми, кто не входит в их кластер, кажется несколько странным, что червю Love Bug удалось буквально за несколько дней инфицировать столь большое количество компьютеров в глобальном масштабе: ведь можно было ожидать. что он будет бесконечно циркулировать в каком-то узком сообществе (кластере). Предполагают, что в сети существовало несколько соединений большого радиуса действия, которые позволяли червю переходить из одного социального мира в другой. К счастью, следует отметить, что «перемычки» играют не только отрицательную роль в нашей повседневной жизни. В конце 1960-х годов социолог Марк Грановеттер провел опрос сотен специалистов и технических работников на предмет того, как они нашли свое нынешнее место работы. Вот что он вспоминал об этом в ходе интервью на радио.

В частности, Марк Грановеттер обнаружил, что из 56 % тех, кто нашел работу посредством личных контактов, лишь 17 % считали такой контакт «частым» (иными словами, считали такого человека своим приятелем), тогда как 55 % считали такой контакт «эпизодическим», а 28 % считали такой контакт «редким». Чтобы описать жизненно важную функцию таких отношений за пределами обычного круга общения человека, Грановеттер даже придумал запоминающуюся фразу: его статья на эту тему, получившая впоследствии широкую известность, называется «Сила слабых связей».

Пока мы с Дунканом исследовали сети тесного мира, их преимущества и возможные применения, другая группа ученых, независимо от нас, размышляла над такими же вопросами.

В университете Нотр-Дам Ласло Барабаши и его студенты Река Альберт и Хавонг-Ционг исследовали анатомию «всемирной паутины», пытаясь выявить регулярности в этой чащобе из миллиарда страниц, соединенных гиперссылками. То, что им удалось выявить, оказалось еще одним организующим принципом для широкого класса природных и рукотворных сетей. Ласло Барабаши – энергичный молодой физик с очаровательным трансильванским акцентом и умением ставить правильные вопросы. Будучи по своему формальному образованию специалистом по статистической механике (отрасль физики, которая изучает огромные системы атомов и другие совокупности частиц), он использовал оригинальный инструментарий для решения задачи, не относящейся к сфере интересов традиционной физики. Вместе со своей группой исследователей он показал, что «всемирная паутина» – это не только тесный мир, но и яркая иллюстрация особой картины в его анатомии. Некоторые страницы обладают гораздо большей совокупностью связей, чем другие: количество входящих и исходящих связей у таких страниц оказывается гораздо большим, чем в среднем по сети. Этот вывод не был слишком уж неожиданным: на краях спектра любой популяции всегда можно встретить экстремальные объекты. Неожиданной оказалась форма распределения. Это не была хорошо знакомая нам колоколообразная кривая, наподобие распределения роста людей. Она была в большей степени похожа на распределение доходов, с чрезвычайно длинным «хвостом», тянущимся вправо. (Что означает эта необычная структура, подробно рассматривается в недавно опубликованной книге Барабаши, которая называется Linked.)

В распределениях, которые изучались в традиционных курсах статистики, среднее значение задает характерный масштаб, типичный размер для членов соответствующей популяции в целом. Рассмотрим, например, распределение роста людей. Рост почти всех взрослых людей находится в диапазоне от двух до девяти футов. Вы никогда не встретите взрослого человека, рост которого равнялся бы одному дюйму или ста футам. Характерный масштаб роста людей составляет примерно пять футов и, несомненно, не отклоняется от этого значения более чем на порядок величины (коэффициент «десять») по обе стороны от среднего значения. Напротив, распределение доходов охватывает много порядков величины, начиная с годового дохода, близкого к нулю, вплоть до миллиардов долларов, которые Билл Гейтс получает лишь в виде процентов. Такое распределение иногда называют «безмасштабным», подчеркивая тем самым, что в нем не доминирует какой-то один, репрезентативный масштаб.

Барабаши и его коллеги выяснили, что распределение ссылок во «всемирной паутине» является безмасштабным, причем по той же причине, что и в случае распределения доходов, и характеризуется чрезвычайно длинным «хвостом». В частности, этот «хвост» затухает гораздо медленнее, чем в случае обычной колоколообразной кривой. Вместо того чтобы это затухание происходило, как обычно, по экспоненциальному закону, оно подчиняется «степенному» закону, причем показатель степени равняется 2,2. В алгебраическом смысле этот закон утверждает, что десятикратное снижение количества входящих ссылок сопровождается увеличением количества страниц, имеющих такое количество ссылок, в среднем в 10^2,2 раза, что равняется приблизительно 158. Иными словами, вероятность появления страниц, количество ссылок у которых в 10 раз больше, будет в 158 раз меньшей.

Эта загадочная картина наблюдается во всей «всемирной паутине», начиная со сравнительно небольшого числа гигантских хабов, наподобие CNN и Yahoo, каждый из которых содержит тысячи входящих ссылок, до сотен миллиардов почти никому не известных страниц, у которых входящих ссылок нет вообще. С чисто математической точки зрения, степенной закон ничего особенного не означает – это лишь один из множества возможных видов алгебраических соотношений. Но когда со степенным законом сталкивается физик, у него сразу же загорается взор. Поскольку, с точки зрения физика, степенной закон означает, что, возможно, речь идет о самоорганизующейся системе. Степенной закон действует в фазовых переходах, когда система находится на грани, балансируя между порядком и хаосом. Степенной закон действует во фракталах, когда произвольно малый фрагмент некой сложной формы представляет собой микрокосм целого. Степенной закон действует в статистике опасных природных явлений – лавин и землетрясений, наводнений и лесных пожаров, – масштабы которых колеблются в столь широких пределах от одного случая к другому, что среднее значение оказывается не в состоянии охарактеризовать соответствующее распределение в целом. Но несмотря на то что степенной закон активно изучается на протяжении последних 20 лет, причины его появления все еще остаются не вполне понятными для нас.

Именно поэтому обнаружение степенного закона во «всемирной паутине» оказалось столь неожиданным. Интернет – нерегулируемый и неконтролируемый лабиринт, где каждый может выложить тот или иной документ и связать его с любой другой страницей по собственному желанию. Нет никакой причины ожидать появления во «всемирной паутине» какой-либо внятной картины связей (ссылок). Тем не менее интернет, несомненно, является весьма утонченно и загадочно упорядоченной сетью, подчиняясь все тому же степенному закону, действие которого мы обнаруживаем то здесь, то там.

Барабаши и его коллеги предложили интересное объяснение этому феномену. На их взгляд, степенной закон является естественным результатом разрастания интернета. Интернет не статичен. Новые страницы появляются в интернете буквально каждый день, добавляются все новые и новые гиперссылки, а уже существующие гиперссылки либо перенаправляются, либо удаляются; старые страницы со временем полностью перестают интересовать пользователей и удаляются. Допустим, в грубом приближении, что можно игнорировать все эти процессы, за исключением добавления новых страниц, и что новые страницы связываются произвольным образом с уже существующими страницами – правда, предпочтение отдается страницам, пользующимся популярностью. В таком случае узлы с большим количеством гиперссылок приобретают еще большее количество гиперссылок, а математический анализ показывает, что автоматически вступает в действие степенной закон с показателем степени 3, что оказывается достаточно близко к наблюдавшемуся значению 2,2. Более совершенные модели, появившиеся с тех пор, уменьшили зазор между этими значениями.

Новые представления о сетях тесного мира и безмасштабных сетях, сформировавшиеся за последние пять лет, вызвали бурный рост эмпирических исследований, имеющих своей целью анализ структуры сложных сетей. Эти исследования позволили выявить схожесть скелетных структур в сетях, которые, на первый взгляд, должны иметь не так уж много общего между собой. Магистральная сеть интернета и мозг примата являются тесными мирами. То же можно сказать о сетях питания (то есть системах взаимосвязанных и взаимозависимых цепочек питания в животном мире) видов, поедающих друг друга, сетчатой структуре метаболических реакций в клетке, взаимосвязанных и взаимно пересекающихся советах директоров компаний, входящих в перечень 1000 ведущих компаний мира по версии журнала Fortune, и даже о структуре английского языка как такового. Большинство таких сетей (хотя и не все они) также являются безмасштабными (то есть, в большей степени похожими на распределение доходов и в меньшей степени – на распределение роста взрослых людей).

На анатомическом уровне – то есть на уровне чистой, абстрактной системы соединений – мы, по-видимому, натолкнулись на некую универсальную картину сложности. Несопоставимые сети демонстрируют три одинаковые тенденции: короткие цепочки, высокий кластеринг и безмасштабное распределение связей. Эти совпадения выглядят весьма загадочно, их невозможно интерпретировать.

Например, чтобы построить сеть для английского языка, физики Рамон Феррер-и-Канчо и Райкард Соле рассмотрели два слова, которые нужно связать, если они оказываются вблизи друг друга (либо рядом друг с другом, либо разделены лишь одним словом) в предложениях, встречающихся в British National Corpus, собрании (включающем приблизительно 100 миллионов слов) примеров письменного и разговорного языка из широкого круга источников, которое призвано представить некий срез современного английского языка (его британской версии). Канчо и Соле пришли к выводу, что перейти от какого-либо слова к какому-либо другому слову можно таким образом лишь за 2,67 шага (в среднем). Поначалу складывается впечатление, что случиться может все, что угодно (поскольку осмысленным предложениям на английском языке присуще бесконечное разнообразие), однако лингвистическая сеть оказалась чрезвычайно организованной и отнюдь не произвольной, причем кластеринг ассоциаций слов оказался примерно в 4000 раз большим, чем кластеринг эквивалентной произвольной сети. Схема ассоциаций слов оказалась безмасштабной с двумя разными режимами: широко распространенные слова (то есть слова, содержащие более 1000 связей) подчиняются степенному закону с показателем степени 2,7, тогда как для сравнительно редко употребляемых слов показатель степени составил 1,5.

В подобных случаях не вполне ясно, являются ли такие картины действительно значимыми или они больше похожи на нумерологию. Учитывая ажиотаж и шумиху, поднятые в последнее время вокруг сложных сетей, наблюдается явная тенденция к громким заявлениям. Один мой знакомый физик, решив подшутить надо мной, заявил о своем мнимом открытии: он утверждал, что если слой сахарной глазури на кусочке яблочного штруделя представляет собой картину тесного мира, то такой кусочек оказывается не только вкуснее, но и содержит меньше калорий.

Сейчас проблема заключается в том, чтобы расшифровать потайной смысл тесного мира и безмасштабной архитектуры, если таковая действительно существует. В ходе недавно проведенного эксперимента Райкард Соле обратил внимание на тенденцию к формированию системы соединений в электронных схемах в стиле тесного мира, причем он утверждает, что понял, в чем тут дело. Когда он анализировал и новейшие цифровые микросхемы, и безнадежно устаревшие схемы, применявшиеся в старых телевизорах, он замечал, что все компоненты этих схем находились друг от друга на расстоянии буквально двух-трех «электрических шагов»; вместе с тем они были гораздо более кластерированы, чем если бы они были в составе эквивалентной произвольной схемы, благодаря модульной конструкции, которую предпочитают разработчики электронных схем. Соле утверждает, что такой способ компоновки электронных схем вполне мог возникнуть в результате естественного отбора, в ходе которого альтернативные подходы к конструированию электронных схем конкурировали между собой за выживание. Другими словами, разработчики чисто интуитивно конструировали свои схемы в соответствии с принципами тесного мира, пытаясь найти идеальный компромисс между сокращением затрат и обеспечением высокой надежности.

Барабаши и его коллеги указывали, что безмасштабные сети также воплощают некий компромисс, который носит на себе печать естественного отбора: они обладают внутренне присущей им устойчивостью к случайным сбоям, оставаясь при этом уязвимыми к преднамеренной атаке против их хабов. Учитывая то обстоятельство, что мутации случаются в непредсказуемые моменты времени, естественный отбор отдает предпочтение конструкциям, устойчивым к внезапным сбоям. В силу самой своей геометрии безмасштабные сети устойчивы по отношению к внезапным сбоям, поскольку заведомое большинство их узлов имеет небольшое число связей и, следовательно, используется достаточно редко. К сожалению, эта эволюционная конструкция имеет и обратную сторону. Когда хабы целенаправленно выбираются хакерами в качестве мишеней для атаки (что совершенно невозможно, когда речь идет о случайной мутации), целостность сети быстро снижается – размер гигантского компонента сокращается, а средняя длина пути, наоборот, увеличивается, по мере того как узлы оказываются изолированными, брошенными на произвол судьбы на их собственных маленьких островках.

Свидетельством этого предполагаемого сочетания устойчивости и уязвимости является гибкость живых клеток. Исследуя сеть белковых взаимодействий в дрожжах, Барабаши и его коллеги обнаружили, что большинство белков, обладающих множеством связей, играют, вообще говоря, самую важную роль в выживаемости клетки. Они пришли к этому выводу, сопоставив информацию из двух разных баз данных. Сначала они проанализировали данные о связях, где два белка считаются связанными между собой, если известно, что один из них «приклеен» к другому. Такая сеть взаимодействий соответствует чрезвычайно неоднородной, безмасштабной архитектуре с небольшим количеством главных белков, опосредующих взаимодействия «рядовых» белков, имеющих гораздо более слабую систему связей. Затем Барабаши и его коллеги сопоставили данные о системе связей с результатами экспериментов по систематической мутации, в которых биологи предварительно удалили определенные белки, чтобы выяснить, будет ли их удаление иметь летальные последствия для клетки. Они обнаружили, что удаление любого их «рядовых» белков (93 % всех белков, имеющих менее 5 связей) оказалось фатальным лишь в 21 % случаев. Другими словами, клетка защищена от потери большинства своих индивидуальных белков точно так же, как безмасштабная сеть защищена от случайных сбоев большинства своих индивидуальных узлов. Напротив, удаление любого из главных белков (которые составляют 1 % от всех белков; у каждого из таких белков имеется не менее 15 соединений) оказалось смертельным в 62 % случаев.

Вскоре после того как мы с Дунканом опубликовали в журнале Nature свою статью о тесном мире, на нас обрушился шквал информации из разных СМИ, начиная с The New York Times и CBS News и заканчивая венгерской ежедневной газетой Magyar Hirlap. Люди, представляющие разные профессии и занимающие разное положение в обществе, делились с нами своими собственными мыслями и соображениями. Автор статьи, опубликованной в Business Week, предлагал использовать идеи тесного мира для «переформатирования» организаций путем добавления небольшого числа «перемычек» для улучшения каналов коммуникации между разными уровнями организационной иерархии. Нам позвонил некто из приемной сенатора Пола Веллстоуна с предложением провести сеанс «мозгового штурма» с целью изыскания наиболее эффективного способа распространения сведений об этом сенаторе-либерале из Миннесоты, который хотел выдвинуть свою кандидатуру на пост президента США во время президентских выборов в 2000 г. Самым запоминающимся обращением было таинственное письмо, полученное по электронной почте, от одного ученого, работающего в судебной системе ФБР. Он требовал, чтобы я немедленно связался с ним. Томимый мрачным предчувствием, я перезвонил ему. «Волосы и волокна», – ответил мне голос в трубке. Его вопрос касался так называемого вторичного переноса волокон. Если, например, какое-либо волокно, найденное на теле жертвы, совпадает с тканью футболки, в которую был одет подозреваемый, прокурор трактует такое совпадение как явную улику. Естественно, адвокат станет уверять, что в прошлом году были проданы тысячи таких футболок; возможно, жертва просто подцепила на брюки кусочек волокна такой футболки, оставленный человеком, который ранее сидел на том же месте в автобусе. Вопрос заключался в следующем: можно ли – учитывая вероятность таких вторичных переносов, количество изготовленных футболок, систему связей в американских социальных сетях, а также любые другие подобные данные – вычислить вероятность того, что обнаруженное волокно действительно принадлежало подозреваемому.

К сожалению, я ничем не смог помочь этому сотруднику ФБР.

На пути к пониманию причин самопроизвольного возникновения порядка – пути, который начался с Кристиана Гюйгенса и его симпатизирующих друг другу маятниковых часов, – эта теория сложных сетей, пока еще пребывающая в младенческом возрасте, является, тем не менее, очень важным шагом. После столетий размышлений о чисто ритмичных объектах – осцилляторах, связанных попарно друг с другом, затем по принципу «каждый с каждым», затем соединенных в пространстве в регулярные сети, в наши дни математики и ученые лишь приступают к рассмотрению более сложной динамики (например, хаоса и возбудимости) и более сложных архитектур (например, тесных миров и безмасштабных сетей).

На этой начальной стадии наши модели являются лишь жалкими имитациями реальности. Мы делаем вид, будто сети состоят из обезличенных, статичных, идентичных друг другу узлов, соединенных связями, не имеющими определенной направленности и одинаковыми по своей силе и характеру. Нам еще много предстоит узнать собственно о возможности тех или иных соединений. Правда, уже сейчас можно пытаться рассматривать более реалистичные варианты сетей: например, можно задействовать в сетях нелинейную динамику, не ограничиваться лишь минималистскими схемами соединений. Узлы в наших моделях должны стать осцилляторами, или нейронами, или электростанциями. Сами по себе соединения должны быть разнообразными и динамичными. Мы все еще почти ничего не знаем о законах, которым подчиняются взаимодействия между генами, или белками, или людьми.