Приложение 5
Математика неопределенности
Принцип неопределенности в физике – всего лишь следствие из того, что частицы обладают волновыми свойствами.
Фундаментальная математика волновых колебаний разработана достаточно давно, и в ней есть знаменитая теорема, согласно которой буквально любой импульс можно представить в виде суммы бесконечных, но при этом непрерывных гармонических колебаний (синусоидальных и косинусоидальных). Эта область математики носит название Фурье-анализа и считается частью продвинутого интегрального исчисления. Студентов на занятиях часто просят представить «квадратную волну» (периодический сигнал, состоящий из последовательности одинаковых прямоугольных импульсов) в виде суммы синусов и косинусов.
В Фурье-анализе есть одна очень важная теорема. Суть ее такова: если волна состоит из одного короткого импульса, такого, что большая его часть располагается в небольшой области ∆x (читается «дельта икс»), то для ее описания с помощью синусов и косинусов потребуется много различных длин волн. Длины волн в математике обычно описываются числом k. Это такое число, что k/2π – это число целых волн (полных циклов), которое укладывается в единицу длины. Физики называют k пространственной частотой, или волновым числом (связанное понятие – волновой вектор: вектор, модуль которого равен волновому числу, а направление перпендикулярно волновому фронту). Волна, целиком заключенная в интервал ∆x, должна содержать некоторый диапазон пространственных частот ∆k. Тогда, по теореме Фурье, два этих интервала должны быть связаны следующим образом:
∆x∆k ≥ 1/2.
Это уравнение не имеет никакого отношения к квантовому поведению; оно получено методами интегрального исчисления. Теорема появилась раньше трудов Гейзенберга; Жан Батист Фурье умер в 1830 году. Это всего лишь математика волн: водяных, звуковых, световых, сейсмических, колебаний натянутой веревки и рояльной струны, волн в плазме и в кристалле. И эта математика верна для любых волн.
В квантовой физике импульс волны равен постоянной Планка h, деленной на длину волны (формула де Бройля). Длина волны равна 2π/k. Это означает, что мы можем записать импульс (традиционно обозначаемый буквой p) как p = (h/2π)k. Взяв разницу между двумя значениями p, получим ∆p = (h/2π)∆k. Если умножить уравнение Фурье-анализа ∆x∆k ≥ 1/2 на h/2π, получим:
(h/2π)∆x∆k ≥ 1/2(h/2π).
Далее подставим ∆p = (h/2π)∆k и получим:
∆x∆p ≥ h/4π.
(Иногда можно увидеть запись ∆x∆p ≥ ħ/2, где ħ = h/2π – приведенная постоянная Планка, порой называемая постоянной Дирака.)
Это знаменитый принцип неопределенности Гейзенберга. Вот почему я сказал, что если мы примем предположение, что все частицы движутся как волны, то принцип неопределенности станет просто математическим следствием из этого факта.
В математике эта теорема не считается настоящим принципом неопределенности; скорее, она описывает диапазон пространственных частот, необходимых для получения короткого импульса. Но в квантовой физике диапазон частот превращается в неопределенность импульса, а ширина импульса становится неопределенностью положения частицы в пространстве. Все дело в копенгагенской вероятностной интерпретации волновой функции. Если для волновой функции доступны разные значения импульса (скорости) и пространственных координат, то акт измерения (к примеру, наблюдение за тем, как она отклоняется в магнитном поле) означает выбор одного из возможных значений. Как сказала мать Форреста Гампа о жизни: «[Это] как коробка шоколадных конфет. Никогда не знаешь, что у каждой конфеты внутри».
