Если ваше знакомство с математикой ограничивается школьной программой, это означает, что вам известна весьма ограниченная, а в какой-то степени даже ложная версия этого предмета. Школьная математика состоит главным образом из совокупности фактов и правил – фактов, которые нельзя оспаривать, и правил, которые предписаны высшим авторитетом и не подлежат сомнению. Такой подход рассматривает математические концепции как нечто непреложное.

Но математика не неизменна. Даже если речь идет о базовых объектах изучения, таких как числа и геометрические фигуры, наше незнание гораздо больше знания. А то, что мы все же знаем, получено в результате огромных усилий, разногласий и недоразумений. Весь этот труд и смятение тщательно завуалированы в ваших учебниках.

Безусловно, факты фактам рознь. Никогда не было особых споров по поводу того, что 1 + 2 = 3. Но можем ли мы действительно доказать, что 1 + 2 = 3, и как это можно сделать, – вопрос, который блуждает где-то между математикой и философией. Однако это совсем другая история, и мы вернемся к ней в конце книги. Правильность вычислений в данном случае не подлежит сомнению. Проблема кроется совсем в другом. Мы не раз столкнемся с ней на этих страницах.

Математические факты могут быть простыми и сложными, поверхностными и глубокими, что делит математическую вселенную на четыре сектора:

Базовые арифметические факты, такие как 1 + 2 = 3, относятся к категории простых и поверхностных. К этой же категории принадлежат и основные тождества, в частности sin(2x) = 2sin x × cos x или формула корней квадратного уравнения. Возможно, убедить себя в истинности таких тождеств немного труднее, чем в том, что 1 + 2 = 3, но по большому счету они не так уж сложны на концептуальном уровне.

В сегменте сложных и поверхностных фактов находится, например, задача умножения двух десятизначных чисел, или вычисление сложного определенного интеграла, или (при условии, что вы пару лет учились в магистратуре) определение следа Фробениуса на модулярной форме кондуктора 2377. Можно предположить, что по какой-то причине вам понадобится найти ответ на вопрос такого рода, но поиск решения вручную, вне всяких сомнений, покажется слишком раздражающей и невыполнимой задачей. В случае модулярной формы вам, возможно, понадобится серьезное образование даже для того, чтобы понять, о чем идет речь. Однако в действительности знание этих ответов не обогащает понимание окружающего мира.

Сектор сложных и глубоких математических фактов – это именно то, на что тратят большую часть своего времени профессиональные математики, к числу которых отношусь и я. Здесь обитают знаменитые теоремы и гипотезы, такие как гипотеза Римана, последняя теорема Ферма, гипотеза Пуанкаре, равенство классов P и NP, теорема Гёделя и так далее. Каждая из этих теорем касается идей, имеющих глубокий смысл, фундаментальную важность, поразительную красоту и сугубо специальный характер, и каждая из них сама по себе выступает в качестве главного персонажа многих книг.

Но только не моей. То, о чем пойдет речь в настоящей книге, относится к верхнему левому сектору, где находятся простые и глубокие факты. Вы сможете непосредственно, с выгодой для себя использовать представленные здесь математические идеи независимо от того, ограничивается ли ваше математическое образование основами алгебры или охватывает гораздо более широкую область математики. И речь идет не о «фактах самих по себе», таких как простые арифметические утверждения, а о принципах, применение которых выходит далеко за рамки привычных представлений о математике. Мы будем говорить о надежных практических инструментах – их применение поможет вам не совершать ошибок.

Чистая математика представляется чем-то вроде монастыря – спокойное место, надежно защищенное от влияния окружающего мира со всей его суетой и противоречиями. Я вырос в стенах такого убежища. Знакомых мне математически одаренных молодых людей интересовало практическое применение математики в физике или геномике, многих влекла черная магия управления хедж-фондами, но все эти подростковые шатания и проблемы выбора были не для меня. Во время учебы в магистратуре я посвятил себя изучению теории чисел, которую Гаусс называл «королевой математики». Из всех чистых дисциплин это была самая чистейшая – закрытый сад посреди монастыря, где мы размышляли над теми же вопросами о числах и уравнениях, которые занимали умы древних греков и которые едва ли стали менее мучительными за прошедшие две с половиной тысячи лет.

Сначала я работал над теорией чисел в ее классическом виде, доказывая факты о суммах четвертых степеней целых чисел, о которых я при необходимости мог рассказать членам своей семьи на День благодарения, даже если мне и не удавалось объяснить им, как именно я доказал то, что доказал. Но вскоре я увлекся еще более абстрактными областями, изучая задачи, основные элементы которых («остаточно модулярные представления Галуа», «когомология модулярных схем», «динамические системы однородных пространств») невозможно было обсуждать за пределами архипелага университетских аудиторий, коридоров и комнат отдыха, раскинувшегося в водах Оксфорда, Принстона, Киото, Парижа и Мэдисона (штат Висконсин), где я сейчас преподаю. Если я назову все перечисленное волнующим, имеющим смысл и прекрасным и скажу вам, что мне никогда не надоедает размышлять над этими темами, вам придется просто поверить мне, поскольку требуется длительное обучение даже для того, чтобы выйти на уровень, на котором эти объекты изучения попадают в ваше поле зрения.

Но затем произошло нечто интересное. Чем более абстрактными и далекими от реальной жизни становились мои исследования, тем чаще я начал замечать, как много математики присутствует во внешнем мире, за стенами этого убежища. Речь идет не о представлениях Галуа или когомологиях, а о более простых, древних и не менее глубоких понятиях, попадающих в верхний левый сектор нашей таблицы математических концепций. Я начал писать для газет и журналов статьи о том, как выглядит мир сквозь призму математики, и, к своему удивлению, обнаружил, что их охотно читают даже люди, твердящие, как они ненавидят математику. Это было своего рода обучение математике, но обучение, весьма отличающееся от обычных занятий.

Но у такого подхода есть нечто общее с обычными занятиями. Это кое-какие задания, которые предстоит выполнить читателям. Давайте вернемся к эссе фон Неймана «Математик»:

Другими словами, довольно трудно понять математику, не решая математических задач. Царской дороги в геометрии нет, как сказал Евклид Птолемею или – в зависимости от вашего источника – Менехм Александру Македонскому. (Надо признать, популярные изречения, приписываемые древним, вполне возможно, им не принадлежат, но это не делает их менее поучительными.)

В этой книге я не собираюсь вставать в позу и делать величественные жесты в сторону великих математических памятников, не буду учить вас восхищаться ими с большого расстояния. Нам предстоит с головой погрузиться в работу. Мы с вами сделаем кое-какие вычисления. Чтобы донести ту или иную мысль, мне придется, когда это понадобится, прибегать к помощи кое-каких формул и уравнений. Вам не понадобится никаких формальных математических знаний, кроме знаний арифметики, но в то же время вы узнаете о математике многое из того, что выходит за пределы арифметики. Я привожу здесь ряд упрощенных графиков и таблиц. Мы с вами встретим некоторые темы из школьной математики, но вне их обычной среды обитания. Мы узнаем, как тригонометрические функции описывают степени взаимозависимости между двумя переменными, что говорит математический анализ о соотношении между линейными и нелинейными явлениями, а также каким образом формула корней квадратного уравнения служит в качестве когнитивной модели научного познания. Кроме того, мы встретим здесь некоторые математические концепции, изучение которых обычно откладывается до колледжа или до университета. В частности, мы поговорим о таких вещах, как кризис в теории множеств, выступающий здесь в качестве метафоры для судебной практики Верховного суда и судейства в бейсболе; последние достижения в аналитической теории чисел, подтверждающие наличие взаимосвязи между структурой и случайностью; теория информации и комбинаторные схемы, позволяющие объяснить, как несколько студентов MIT выиграли миллионы долларов, разобравшись во внутреннем механизме лотереи штата Массачусетс.

В книге вы найдете рассказы об известных математиках, а также некоторые философские рассуждения. Представлены даже пара доказательств. Зато нет ни домашних заданий, ни тестов.