Явление под названием «резонанс» делает возможным огромное количество вещей, которые в противном случае либо не могли бы существовать вовсе, либо были бы намного менее интересным. Это касается не только музыки, но и радио, часов, батутов, детских качелей, компьютеров, гудков поезда, церковных колоколов и МРТ, которую вам вполне могли делать, исследуя больное колено или плечо (знаете ли вы, что буква «Р» в этой аббревиатуре обозначает слово «резонансная» – «магнитно-резонансная томография»?).

Что же такое резонанс? Это довольно легко понять, вспомнив о качании ребенка на качелях. Раскачивая малыша, вы на интуитивном уровне знаете, что можете достичь довольно больших амплитуд в результате очень небольших усилий. Поскольку качели, по сути, не что иное, как маятник, и, следовательно, имеют четко определенную частоту (), то, если вы точно рассчитаете время своих толчков, синхронизируя их с частотой качели, совсем несильные дополнительные толчки будут оказывать значительный кумулятивный эффект на амплитуду качания качелей. Иными словами, ваш ребенок будет взлетать все выше и выше, а вы – всего лишь легонько толкать качели кончиками пальцев.

В этом случае вы пользуетесь преимуществами резонанса. Резонанс в физике представляет собой тенденцию чего-либо – будь то маятник, камертон, струна, винный бокал, барабанная кожа, стальная балка, атом, электрон, ядро или даже столб воздуха – сильнее вибрировать при определенных частотах. Мы называем их резонансными частотами (или частотами собственных колебаний).

Камертон, например, сконструирован так, чтобы всегда вибрировать на своей резонансной частоте колебаний. Если она равна 440 герц, камертон издает ноту, известную как ля основной октавы. Практически независимо от того, каким способом вы заставляете камертон вибрировать, его зубцы будут колебаться, то есть двигаться взад-вперед, с частотой 440 раз в секунду.

Все материалы имеют свои резонансные частоты, и если у вас есть возможность добавить энергию в систему или объект, он может начать вибрировать на этих частотах и вам потребуется затратить относительно немного энергии, чтобы получить весьма существенный результат. Например, если легонько постучать по пустому бокалу ложечкой или потереть обод мокрым пальцем, он отреагирует определенным звуком, то есть резонансной частотой колебаний. Конечно, резонанс – это вам не какая-то дармовщина, хотя иногда все выглядит именно так. Но на резонансных частотах объекты действительно с наибольшей эффективностью используют прилагаемую к ним энергию.

По этому же принципу работает скакалка. Если вы когда-нибудь держали ее за один конец, то знаете, что чтобы раскрутить скакалку ровной красивой дугой, потребуется некоторое время – и хотя, чтобы получить такую дугу, вы, возможно, крутили рукой с зажатой в ней ручкой, главное в этом движении то, что вы раскачиваете скакалку вверх-вниз или взад-вперед, производя колебания. В определенный момент скакалка начинает легко вертеться красивой дугой, и чтобы поддерживать этот процесс, вам достаточно едва двигать кистью, а друзья могут начать прыгать в середине этой дуги, интуитивно синхронизируя свои прыжки с резонансной частотой колебаний скакалки.

Возможно, вы этого не знали, играя в свое время на детской площадке, но вертеть рукой достаточно только одному человеку – второй может просто держаться за другой конец и скакалка все равно будет отлично крутиться. Разгадка в том, что в определенный момент крутящие достигают самой низкой резонансной частоты колебания, также называемой резонансом на основной частоте. Без него игра, известная как прыжки через двойную скакалку – когда два человека крутят скакалку в противоположных направлениях, а третий прыгает, – была бы практически невозможной. Две скакалки движутся в противоположных направлениях в руках одних и тех же людей благодаря тому, что для продолжения процесса каждому из них достаточно затратить совсем немного энергии. Поскольку тяговым усилием в данном случае являются кисти рук, скакалка становится тем, что мы называем совершающим вынужденные колебания осциллятором. Достигнув этого резонанса скакалки, вы на интуитивном уровне знаете, что вам нужно оставаться на этой частоте, и больше не ускоряете движение кисти.

Если же вы это сделаете, то красивая вращающаяся дуга скакалки разобьется на отдельные загогулины, и прыгающий вряд ли этому обрадуется. Но если ваша скакалка достаточно длинная и вы сможете крутить свой конец быстрее, то увидите, что вскоре появятся две дуги в противофазе – когда одна идет вниз, а вторая вверх, а посередине веревка будет оставаться неподвижной. Мы называем эту среднюю точку узлом. При таком раскладе прыгать через скакалку могут двое ваших друзей – каждый через свою дугу. Возможно, вы видели такое в цирке. Что же в данном случае происходит? Вы достигли второй резонансной частоты. Практически все, что может вибрировать, имеет несколько резонансных частот, которые мы вскоре обсудим подробнее. Кроме того, у скакалки есть и более высокие резонансные частоты, что я могу продемонстрировать без особого труда.

Чтобы показать множественные резонансные частоты студентам, я натягиваю прямо в аудитории веревку длиной около трех метров между двумя вертикальными стержнями. Когда я передвигаю один конец веревки вверх и вниз (всего на пару сантиметров), производя ее колебания на стержне с помощью небольшого двигателя, частоту которого я могу изменять, она вскоре достигает своей самой низкой резонансной частоты колебаний, называемой первой гармоникой (ее еще называют основной), и выгибается дугой, как скакалка. Я раскачиваю конец веревки быстрее, и через какое-то время видим уже две дуги, представляющие собой зеркальные изображения друг друга. Это явление называется второй гармоникой, и она возникает, когда веревка начинает колебаться со скоростью, в два раза превышающей первую гармонику. Таким образом, если первая гармоника составляет 2 герца, два колебания в секунду, то вторая – 4 герца. Если мы продолжим раскачивать конец веревки еще быстрее, то достигнем третьей гармоники, которая, соответственно, будет в три раза больше первой, в нашем случае 6 герц. В этот момент мы увидим, что веревка разделилась поровну на три части с двумя неподвижными точками (узлами) на ней и с дугами, поочередно идущими вверх и вниз по мере движения вверх-вниз конца веревки с частотой шесть раз в секунду.

Помните, я говорил, что самый низкий звук, который способно уловить человеческое ухо, составляет около 20 герц? Вот почему вы не слышите музыку скакалки – ее частота слишком низкая. Но если воздействовать на струны иного рода – скажем, скрипичные или гитарные, – происходит нечто совершенно другое. Например, возьмите, скрипку. (Вы же не хотите, чтобы это сделал я? Поверьте, за последние шестьдесят лет я так и не добился никаких успехов на ниве музицирования…)

Чтобы мы могли услышать один-единственный долгий, красивый, пронзительный звук скрипки, должно произойти немало физических процессов. Звук струны скрипки, виолончели, арфы или гитары – любой струны или даже просто веревки – зависит от трех факторов: длины, силы натяжения и веса. Чем длиннее струна, чем слабее ее натяжение и чем она тяжелее – тем ниже тон. И, конечно же, наоборот: чем короче струна, чем сильнее ее натяжение и чем она легче, тем тон выше. Вот почему музыкантам, играющим на струнных инструментах, время от времени приходится настраивать их, регулируя натяжение струн, чтобы они издавали звуки нужной частоты, или ноты.

Вот тут и начинается магия. Когда скрипач проводит смычком по струне, он передает ей энергию и струна каким-то образом выбирает свои собственные резонансные частоты (из всех возможных колебаний) и – что еще более удивительно, хоть мы и не можем этого видеть – вибрирует одновременно на нескольких разных резонансных частотах (с несколькими гармониками). Совсем не похоже на камертон, который способен вибрировать только на одной частоте.

Эти дополнительные гармоники (с частотами выше основной) обычно называют обертонами. Взаимодействие резонансных частот (одни звучат сильнее, другие слабее) – этакий коктейль из гармоник – и дает скрипке или виолончели то, что специалисты называют техническим термином «тембр» и что воспринимается как уникальный характер звучания инструмента. Именно этим объясняется и очевидная разница между звуком одной-единственной частоты камертона, аудиометра или аварийной сирены и гораздо более сложным звучанием музыкальных инструментов, издающих звук одновременно на нескольких частотах гармоник. Характерные звуки трубы, гобоя, банджо, фортепиано или скрипки обусловлены разными «коктейлями» гармонических частот, которые производит каждый из этих инструментов. Мне лично ужасно нравится образ такого невидимого космического бармена, истинного эксперта в смешивании сотен разных коктейлей из гармоник, который подает звучание банджо одному клиенту, звук литавр – другому, а арфы или тромбона – третьему.

Создатели первых музыкальных инструментов были несомненными гениями в деле разработки их еще одной чрезвычайно важной характеристики, позволяющей нам сегодня наслаждаться прекрасными звуками музыки. Чтобы мы могли слышать музыку, звуковые волны должны не только находиться в пределах диапазона частот, воспринимаемых человеческим ухом, но и быть достаточно громкими. Например, если просто тихонько дернуть струну, звук будет недостаточно громким для того, чтобы его можно было услышать на расстоянии. Конечно, вы можете передать струне (а следовательно, и звуковым волнам, которые она производит) намного больше энергии, дернув за нее гораздо сильнее, но это отнюдь не значит, что у вас получится четкий, качественный и приятный для уха звук. На наше счастье, люди очень давно, как минимум тысячи лет назад, нашли способ сделать так, чтобы струнные инструменты звучали достаточно громко и были слышны на довольно большом расстоянии.

Сегодня вы можете точно воспроизвести проблему, с которой столкнулись тогда наши гениальные предки, и без особого труда решить ее. Возьмите кусок струны длиной сантиметров в тридцать, привяжите один конец к дверной ручке или ящику стола, сильно натяните, держа за другой конец, а потом дерните за нее. Не слишком впечатляющий результат, верно? Вы, конечно, услышите какой-то звук, который может быть вполне различим в зависимости от длины струны, ее толщины и силы натяжения. Но, скорее всего, он будет не слишком сильным. Даже из соседней комнаты его никто не услышит. Теперь возьмите пластиковый стакан, нанижите его на струну, удерживая ее под углом к ручке, к которой она привязана (но так, чтобы стакан не соскользнул к вашей руке), и опять дерните за струну. Вы услышите куда более явный звук. Почему? Потому что струна передает часть своей энергии стакану, который теперь вибрирует с той же частотой, но имеет гораздо большую площадь поверхности, через которую вибрация передается в воздух. В результате вы слышите более громкий звук.

Вот так, с помощью банального пластикового стакана, вы продемонстрировали принцип деки, жизненно важный для всех струнных инструментов, от гитары и контрабаса до скрипки и фортепиано. Эти инструменты, как правило, сделаны из дерева и принимают колебания струн и передают эти частоты в воздух, многократно усиливая их звук.

Деки лучше всего видны в гитарах и скрипках. В рояле дека плоская, горизонтальная и находится под струнами, которые монтируются на ней; она стоит за струнами вертикально. В арфе дека представляет собой основание, к которому крепятся струны.

В аудитории я показываю студентам разные способы функционирования дек. Для одной из таких демонстраций я использую музыкальный инструмент, который смастерила в детском саду моя дочь Эмма. Он состоит из одной самой обычной струны, прикрепленной к картонной коробке из ресторана Kentucky Fried Chicken. Вы можете изменить натяжение струны с помощью деревянного брусочка. Это действительно ужасно забавно: я увеличиваю натяжение, и звук заметно меняется. Коробка KFC – просто идеальная дека, и студенты слышат звук легонько пощипываемой мной струны с довольно большого расстояния. Другая моя любимая демонстрация предполагает использование музыкальной шкатулки, купленной мною много лет назад в Австрии; она размером не больше спичечного коробка, и никакой деки к ней не прикреплено. Вы крутите рукоятку, и шкатулка благодаря вибрирующим зубчикам издает очень тихие мелодичные звуки. Я начинаю крутить рукоятку в аудитории, держа шкатулку в руках, и никто ничего не слышит, даже я сам! Тогда я ставлю шкатулку на лабораторный стол и кручу снова. Теперь звуки слышат все, даже студенты, сидящие в задней части нашего довольно большого лекционного зала. Меня не перестает поражать, насколько эффективной может быть даже самая простая дека.

Но некоторые деки – истинные произведения искусства. Всем известно, что изготовление высококачественных музыкальных инструментов окружено строжайшей секретностью, и в Steinway & Sons вам вряд ли расскажут, как они создают деки для своих всемирно известных роялей! Вы, вероятно, слышали о знаменитой семье Страдивари, изготавливавшей в XVII и XVIII веках самые лучшие в мире скрипки, мечту любого скрипача. Сегодня специалистам известно о существовании всего 540 скрипок Страдивари; один такой инструмент был продан в 2006 году за 3,5 миллиона долларов. В надежде разгадать «секреты Страдивари», чтобы в результате изготавливать дешевые скрипки с таким же волшебным звучанием, физики всесторонне исследовали старинные инструменты. Если интересно, можете прочитать о некоторых таких исследованиях на сайте .

То, насколько приятны те или иные комбинации звуков для человеческого уха, во многом зависит от их частот и гармоник. Наиболее известная разновидность комбинации звуков, во всяком случае, в западной музыке, предполагает объединение двух звуков, у которых частота одного ровно в два раза больше частоты другого. Мы говорим, что они разделены одной октавой. Но есть и много других мелодичных комбинаций: терции, кварты, квинты и так далее.

Математики и естествоиспытатели очарованы красотой числовых взаимоотношений между разными частотами еще со времен древнегреческого философа и математика Пифагора. Историки расходятся во мнениях, что именно Пифагор открыл сам, а что позаимствовал у вавилонян и какова в этом роль его последователей, но, судя по всему, именно этому ученому принадлежит идея, что струны разной длины и натяжения производят различные звуки в предсказуемых и приятных уху соотношениях. В связи с этим современным физикам очень нравится называть Пифагора первым автором теории струн.

Производители музыкальных инструментов используют эти ценные знания с огромной эффективностью. Например, разные струны на скрипке имеют разный вес и по-разному натянуты, что позволяет им производить более высокие и более низкие частоты и гармоники, даже если все они примерно одинаковой длины. Скрипач изменяет длину струн, перемещая пальцы вверх и вниз по грифу скрипки. Когда пальцы двигаются по направлению к подбородку, длина струны уменьшается, увеличивая частоту первой гармоники, так же как и всех других, более высоких гармоник. Это может быть довольно сложно. Некоторые струнные инструменты, например индийский ситар, имеют так называемые симпатические струны – дополнительные струны, расположенные рядом или под основными и вибрирующие на собственных резонансных частотах.

Увидеть разные частоты гармоник на струнах музыкального инструмента трудно, а то и невозможно, но я могу наглядно продемонстрировать их, подключив микрофон к осциллографу, который вы, вероятно, видели хотя бы по телевизору. Осциллограф отображает вибрации – или колебания – на экране в виде линии, идущей вверх и вниз, выше и ниже центральной горизонтальной линии. В отделениях интенсивной терапии и реанимациях эти приборы используют для измерения сердцебиения пациентов.

Я всегда предлагаю студентам принести в аудиторию свои музыкальные инструменты, чтобы мы могли оценить различные коктейли гармоник, которые производит каждый из них.

Когда я подношу к микрофону камертон для получения концертного ля, на экране появляется обычная синусоида частотой 440 герц. Линия четкая и чрезвычайно правильная, потому что, как мы уже знаем, камертон генерирует только одну частоту. Но когда я прошу студента, принесшего на лекцию скрипку, сыграть ту же ля, картинка на экране становится куда интереснее. По сути, мы видим то же самое: на экране явно доминирует синусоида, но теперь кривая гораздо сложнее из-за более высоких гармоник. А если сыграть ля на виолончели, картинка опять поменяется. А представляете, что происходит, если скрипач играет две ноты одновременно!

Когда физику резонанса демонстрируют певцы, пропуская воздух через голосовые связки (кстати, куда более точным и описательным был бы термин «голосовые складки»), мембраны вибрируют и создают звуковые волны. На лекции я прошу кого-либо из студентов спеть, и осциллограф рассказывает такую же историю – на экране громоздятся не менее сложные кривые линии.

Во время игры на пианино клавиша, на которую вы нажимаете, заставляет молоточек ударять по струне – проволоке, – длина, вес и натяжение которой настроены так, чтобы она вибрировала при заданной первой частоте гармоники. Но каким-то образом, как и в случае со скрипичными струнами и голосовыми связками, струны пианино вибрируют одновременно и на более высоких гармонических частотах.

А теперь сделайте огромный мысленный прыжок, чтобы перескочить из мира музыки в субатомный мир, и представьте себе сверхкрошечные струны, похожие на скрипичные, но намного меньше атомного ядра, которые колеблются на разных частотах и с разными гармониками. Иными словами, подумайте о том, что фундаментальными строительными блоками материи являются эти крошечные вибрирующие струны, которые генерируют так называемые элементарные частицы – кварки, глюоны, нейтрино и электроны, – вибрируя на разных гармонических частотах и в разных направлениях. Если вам удалось совершить этот непростой шаг, считайте, что вы только что постигли основное положение «теории струн» – обобщающий термин, используемый для описания усилий, предпринимаемых физиками-теоретиками на протяжении последних сорока лет с тем, чтобы предложить единую теорию, которая бы позволила объяснить все элементарные частицы и силы, действующие во Вселенной. То есть в некотором смысле они хотят предложить теорию «всего».

Сегодня никто не имеет ни малейшего представления, удастся ли подтвердить эту теорию, а нобелевский лауреат Шелдон Глэшоу вообще задался вопросом, является ли она «физической или философской». Но если она верна, и базовыми элементами Вселенной действительно являются различные резонансные уровни невообразимо крошечных струн, значит, наша Вселенная, равно как и ее силы и элементарные частицы, представляет собой своего рода космическую версию замечательных, постепенно усложняющихся вариаций Моцарта на тему старинной английской детской песенки «Сияй, малютка звездочка».

Все объекты имеют свои резонансные частоты, от бутылки кетчупа в вашем холодильнике до высочайших небоскребов; многие из них таинственны и крайне трудно предсказуемы. Если вы водите автомобиль, вам наверняка приходилось слышать и его резонансы, хотя вряд они приносили усладу вашим ушам. Почти все водители во время вождения слышали шум, который исчезает, когда авто набирает скорость.

В моей последней машине, стоило мне остановиться на светофоре на холостом ходу, приборная панель, казалось, сразу же переходила на свою основную частоту. А если я жал на газ, разгоняя двигатель, то, даже не двигаясь с места, изменял частоту вибрации автомобиля и шум исчезал. Иногда какое-то время я слышал новый шум, который обычно прекращался, когда я начинал ехать быстрее либо медленнее. На разных скоростях, приводящих к разным частотам вибраций, мой автомобиль – и тысячи его частей, порой, увы, довольно разболтанных, – достигал резонансной частоты, скажем, немного отвинтившегося глушителя или разболтавшихся монтажных опор двигателя, и те начинали со мной разговаривать. Все они упорно твердили одно и то же: «Покажи меня механику, покажи меня механику». Но я упорно игнорировал эти просьбы до тех пор, пока не довел дело до серьезного ущерба, нанесенного этими резонансами. А когда мне в конце концов пришлось тащить машину в ремонт на буксире, я не смог воспроизвести эти ужасные звуки механику и чувствовал себя довольно глупо.

Помнится, в мою бытность студентом, когда во время официального обеда в моем братстве начинал выступать нежелательный оратор, мы брали свои бокалы и водили мокрыми пальцами вокруг обода, генерируя довольно громкий звук (можете попробовать сделать это дома). Это была основная частота наших винных бокалов. Понятно, что когда это одновременно делали сотни студентов (в конце концов, на то оно и братство), звук получался весьма сильным и противным, зато способ работал безотказно, и говорящий быстро понимал «тонкий» намек.

Вы наверняка слышали, что оперный певец, громко взяв ноту, может голосом разбить стеклянный бокал. Теперь, зная кое-что о резонансе, подумайте, как такое возможно? Довольно просто, по крайней мере теоретически, верно? Что произойдет, если взять бокал, измерить его основную частоту, а затем генерировать на ней звук? По моему опыту, в большинстве случаев ровным счетом ничего. Я лично никогда не видел оперного певца, разбивающего голосом бокал, поэтому и не привлекаю их к своим экспериментам. Я беру бокал, легонько стучу по нему ложкой и измеряю его основную частоту с помощью осциллографа – понятно, что она варьируется от бокала к бокалу, но для тех, которые я использую, всегда колеблется где-то в диапазоне от 440 до 480 герц. Затем я электронным способом генерирую звук точно такой же частоты (ну, совсем точно, конечно, это сделать невозможно, но я стараюсь получить максимально близкое значение). Я прикладываю бокал к усилителю и медленно увеличиваю громкость. Зачем я это делаю? Потому что чем громче звук, тем больше энергии в виде звуковой волны будет ударяться в стекло. И чем больше амплитуда колебаний в бокале, тем больше стекло будет прогибаться внутрь и выгибаться обратно – до тех пор, пока не разобьется (на что я и рассчитываю, проводя демонстрацию).

Чтобы показать, что стекло вибрирует, я крупно навожу на него камеру и подсвечиваю лучом стробоскопа, отрегулированным на несколько иную частоту, нежели звук. Это просто невероятно! Вы видите, как бокал начинает вибрировать; его две противоположные стороны сначала сходятся, а затем расходятся, и расстояние, на которое они смещаются, растет и растет по мере увеличения громкости динамика. Иногда мне приходится немного настроить частоту, а потом – бац! – и стеклянные осколки. Эта часть эксперимента особенно нравится студентам; они просто дождаться не могут, пока стекло лопнет.

А еще я обожаю показывать студентам штуки под названием «пластины Хладни», позволяющие демонстрировать резонанс невероятно причудливым и красивым способом. Это металлические пластины сантиметров тридцать в диаметре, которые бывают квадратными, прямоугольными или даже круглыми, но лучше всего квадратные. Они насаживаются в месте центра на стержень, или основание. Далее мы насыпаем на них мелкий порошок, а затем проводим скрипичным смычком вдоль одной из сторон, всей длиной смычка. Пластина начинает колебаться с одной или несколькими ее резонансными частотами. На пиках и падениях колеблющихся волн на пластине порошок будет стряхиваться, оставляя на металле прогалины, а в узлах, где пластина не вибрирует вообще, порошок будет, наоборот, накапливаться. (Струны имеют узловые точки, а двумерные объекты, такие как пластины Хладни, – узловые линии.)

В зависимости от того, как и где вы «играете» на пластине, проводя по ней смычком, вы будете возбуждать различные резонансные частоты и получите на ее поверхности удивительные, совершенно непредсказуемые узоры. В аудитории я использую более эффективную, но гораздо менее романтичную методику – вместо смычка прикрепляю пластину к вибратору и, изменяя его частоту, генерирую на пластине разные потрясающие узоры. Вы можете увидеть то, о чем я говорю, на YouTube по адресу: . Просто представьте себе математические принципы, лежащие в основе всех этих красот!

На публичных лекциях, которые я читаю маленьким детям, я обычно приглашаю малышей самих водить смычком по краю пластины – они просто обожают создавать красивые и загадочные узоры. Именно такие чувства к физике я стремлюсь пробудить во всех своих учениках.