Сколькими способами можно разбить число 64 на сумму 10 различных слагаемых, которые все являются натуральными числами и при этом максимальное из них равно 12? (Порядок следования слагаемых в сумме не имеет значения.)

1. Такого способа не существует.

2. Единственным способом.

3. Четырьмя способами.

Поскольку порядок слагаемых в сумме по условию не играет роли, мы можем расположить их в порядке возрастания: 64 = a + b + c + d + e + f + g + h + i + j и при этом a < b < c < d < e < f < g < h < i < j = 12. Поскольку j всегда равно 12, мы можем переписать равенство в виде 52 = a + b + c + d + e + f + g + h + i. Вообще, заметим, что для натуральных a, b, c… меньших 12 сумма a + b + c + d + e + f + g + h + i принимает значения от 45 (для ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) до 63 (для ряда 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11), так что есть основания надеяться, что для каких-то значений будет получаться и сумма 52. Действительно, это будет происходить для следующих наборов: {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11}, {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11} и {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11} – и только в этих четырех случаях.