На занятии по алгебре профессор выписывает различные выражения, среди которых странное равенство «100 + 100 = 1000».

– Профессор, тут у вас ошибочка, так не бывает! – кричат ему из зала.

Профессор возвращается к равенству, перепроверяет – нет, говорит, здесь все верно.

Как такое может быть? Профессор бредит или у равенства и правда есть какой-то смысл?

1. Переутомился профессор, увы.

2. Очевидно, это тождество «8 = 8».

3. Подобное равенство возможно в случае комплексных чисел, профессор просто пропустил мнимую единицу.

Все мы настолько привыкли к десятичной системе счета (когда любое число, например 234, означает 2 × 100 + 3 × 10 + 4 × 1), что обычно даже не задумываемся о том, что существуют какие-то еще. А они существуют, причем их сколько угодно: в качестве основания для счета можно же брать любое целое число! Правда, если это число больше десяти, то вам уже не хватит привычных десяти цифр, придется добавлять новые. Так, у компьютерщиков в ходу шестнадцатеричная (hexadecimal) система, в которой «цифры» с 10 по 15 заменены буквами ABCDEF, к примеру число FF = 15 × 16 + 15 = 255. Те же компьютерщики широко используют и двоичную систему, и нетрудно проверить, что в двоичной системе наше равенство действительно выполняется: 100 на наши деньги (т. е. в десятичной системе) – это 4, 4 + 4 = 8, переводим 8 (это 2 в кубе) обратно в двоичную систему – получаем 1000. Ну и осталось сказать, что ни в какой другой системе, кроме двоичной, это равенство выполняться не будет. Возьмем, например, систему счета по основанию 3, там 100 – это 9 в десятичной системе, 9 + 9 = 18, и, переводя обратно, получаем… 200! Несложно показать, что вообще во всех системах 100 + 100 = 200. Во всех, кроме двоичной, – потому хотя бы, что в ней вовсе не используется цифра 2, все числа записываются нулями и единицами.