Двое играют в такую игру: по очереди слева направо пишут цифры 20-значного числа. Задача первого игрока (он записывает 1-ю, 3-ю, 5-ю и т. д. цифры) – сделать так, чтобы итоговое число не делилось на 7, второго – чтобы, наоборот, делилось. У кого из игроков больше шансов на выигрыш?

1. Первый выигрывает в шести случаях из семи.

2. Первый гарантированно выигрывает.

3. Второй гарантированно выигрывает.

Самое важное в этой игре – последний ход, и его предстоит сделать второму игроку. Перед ним 19 цифр, осталось дописать последнюю цифру, итоговое число будет A × 10 + B, где A – это число, полученное на предпоследнем шаге, B – та самая последняя цифра. Любое число A × 10 можно представить в виде С × 7 + D, где C – целое число, D – остаток от деления A × 10 на 7 (число от 0 до 6). Если в качестве B брать цифру 7 – D, итоговое число будет (C + 1) × 7 и оно заведомо делится на 7, второй игрок всегда выигрывает в этой игре.