Некоторые числа являются особенными, а некоторые самые особенные числа являются простыми числами. Простые числа делятся только на себя и на 1. Например, 5 – это простое число, так как его можно разделить только на 5 и на 1. А 10 не является простым, так как его можно разделить на 1, 2, 5 и 10. Простые числа очаровывали математиков больше 2000 лет еще со времен древних греков и Евклида (одного из величайших математиков в истории и автора одной из самых влиятельных книг в человеческой цивилизации «Начала»).

Простые числа интересны, так как они являются фундаментальными составляющими всех других чисел. На самом деле, простые числа иногда называют атомами в математике, но порядок их появления, кажется, не поддается никакому закону. Согласно основной теореме арифметики, каждое число, которое больше 1, является или простым, или получено путем перемножения серии простых чисел. Вот несколько примеров:

2 – простое число.

3 – простое число.

4 = 2 × 2

5 – простое число.

6 = 2 × 3

7 – простое число.

8 = 2 × 2 × 2

9 = 3 × 3

10 = 2 × 5

11 – простое число.

12 = 2 × 2 × 3

13 – простое число.

И так далее.

Сколько простых чисел существует? Евклид доказал, что на самом деле их бесконечное количество. Неважно, как далеко мы находимся на числовой прямой, мы никогда не доберемся до последнего простого числа. Их всегда будет больше.

То, как Евклид пришел к этому выводу, стоит рассмотреть, так как это хороший пример того, как математики используют рассуждение в изучении чисел и их свойств.

1. Во-первых, помните, что каждое число – это простое число или же получено путем перемножения ряда простых чисел.

2. Во-вторых, мы будем использовать особый вид способа доказательств под названием reduction ad absurdum (доведение до абсурда): мы попробуем доказать противоположное тому, что мы пытаемся доказать. Если мы докажем, что это противоположное не может быть правдой, тогда мы будем знать, что противоположное ему утверждение – то, что мы изначально хотели доказать, – будет истиной.

Другими словами, мы собираемся доказать, что существует ограниченное количество простых чисел. Внимание, спойлер: если мы поймем, что наше доказательство упрется в логическое препятствие, то мы косвенно докажем, что противоположное утверждение является истиной и что количество простых чисел неограниченно.

Шаг первый: давайте изобретем число и назовем его «Джордж». Скажем, что мы можем получить Джорджа, если перемножим все простые числа, от первого до последнего, а потом прибавим к результату 1. (Не забывайте, что мы предполагаем, что существует ограниченное количество простых чисел.) Мы знаем, что Джордж должен быть простым числом или должен быть получен в результате умножения простых чисел. Мы сразу же можем увидеть, что если Джордж является простым числом, то мы доказали, что есть простое число – Джордж! – которое не входило в наш изначальный список. Теперь мы можем остановиться и похлопать себя по спине, так как наш результат будет актуален для любого количества простых чисел.

Но давайте представим другой вариант: скажем, что Джордж не является простым числом. Это значит, что его можно получить путем умножения двух или более простых чисел. Но ни одно простое число из нашего списка не подойдет, так как если мы будем использовать их в наших вычислениях, у нас всегда будет оставаться остаток 1. Следовательно, должны существовать другие простые числа, не из нашего списка, которые путем перемножения дадут нам Джорджа. Опять же мы доказали, что для любого ряда простых чисел всегда будут существовать простые числа, не входящие в него.

Это один из примеров силы и красоты математического умозаключения.

Некоторые простые числа экзотичнее других. Числа Ферма, например, имеют вид 2²ⁿ + 1 и являются простыми. Однако единственными известными числами Ферма являются те, где n = 0, 1, 2, 3 и 4 и равны 3, 5, 17, 257 и 65537 соответственно.