Иногда математика показывает аспекты мира, которые кажутся невозможными, но которые тем не менее являются правдой. Рассмотрим, например, парадокс дней рождения. В любой группе людей какова вероятность того, что у двух из них день рождения в один день? Вероятность, на первый взгляд, не так уж и высока, так как в году 365 дней. Кажется, что вероятность, что в какой-нибудь случайной группе людей двое из них родились в один день, невероятно мала.

А все же это не так. Шанс, что два человека из группы делят один день рождения намного выше, чем вы думаете. На самом деле, в группе, состоящей из 23 человек, вероятность составляет 50 %. Как такое возможно? В конце концов, если вы являетесь членом этой группы, остается 22 человека, которые могли родиться с вами в один день, так что существуют только 22 вероятности совпадения. Это число совсем не впечатляет. Но помните, что вы не сравниваете свой день рождения со всеми. Каждый человек сравнивает дни рождения друг с другом! Итак, помимо 22 сравнений с вашей датой рождения, существует и множество других.

Чтобы увидеть, как такое возможно, представьте всех 23 человек в виде точек, выстроенных в линию. (Если хотите, возьмите лист бумаги и карандаш, чтобы нарисовать их.) Для сравнения дня рождения человека № 1 начертите линии от первой точки до всех остальных. Теперь сделайте то же самое для человека № 2. Заметьте, что линия между человеком № 2 и человеком № 1 такая же, какую вы уже нарисовали от человека №#1 до человека № 2 в первый раз сопоставлений. Так как мы не хотим повторять эти сравнения, число сравнений для человека № 2 на один меньше, чем у человека № 1, то есть 21. Процесс продолжается: для человека № 3 число сравнений равно 20. Общее число сравнений в этом случае равно не 22, а 22 + 21 + 20 + 19 …, и в конце концов выходит 253.

Теперь мы подошли к принципу, который часто используется в математическом мышлении; а именно, чтобы установить истинность, нужно доказать, что обратное является ложью. Итак, как мы можем вычислить вероятность того, что у двух человек из 23 день рождения в один день? Итак, помните, что дата рождения человека имеет 365 возможных вариантов (исключаем 29 февраля, которое появляется на календарях в високосный год). Тогда вероятность совпадения дат рождения составляет 364/365, так как существуют 364 возможных дат, которые будут отличаться от изначальной даты. В итоге получается 99,726027 % вероятность, что любые два человека рождены в разные дни.

Теперь давайте применим это мышление к группе из 23 человек. Каждое сравнение имеет 99,726027 % вероятность несовпадения. Не забывайте, что в нашей группе существуют 253 возможных сравнения, тогда общая вероятность того, что никакие два человека не родились в один день, составляет 99,726027 % × 99,726027 % × 99,726027 % × …, и так 253 раза. (Мы можем написать эти расчеты сокращенно, как 99,726027²⁵³). Конечная вероятность равна 49,952 %. Если такова вероятность, что два человека не делят одну дату рождения, то вероятность того, что два человека родились в один день, составляет 50,048 %.

Поэтому в следующий раз, когда окажетесь в большой компании людей, спросите их даты рождения и посмотрите, что произойдет!

Согласно Мэтту Стайлсу, журналисту из National Public Radio, 16 сентября – самый популярный день рождения среди американцев в возрасте 14–40 лет. Он определил, что сентябрь и июль – наиболее распространенные месяцы рождения. Самым редким днем рождения стало 29 февраля, а потом 25 декабря.