3. Часть 3. Примеры

Тот постер М. К. Эшера, который, возможно, висел на стене вашей комнаты в общежитии, имеет больше связей с математикой, чем вы можете предположить. Рисунки Эшера являются примерами мозаики, замощения двухмерного пространства, такого, как лист бумаги, геометрическими фигурами так, что эти фигуры не накладываются друг на друга и между ними существует очень маленькое расстояние. Как доказывают иллюстрации Эшера, эти фигуры не обязательно должны быть треугольниками или квадратами, они могут быть птицами, ангелами, рыбами или каплями. На самом деле, мозаикой можно считать и пазл. Кусочки соединяются друг с другом и полностью заполняют пространство готового пазла без зазоров. Но мозаику можно найти не только в работах Эшера. Мозаика встречается как в необычайных плитках Альгамбрн в Испании, шестисторонних клетках в пчелиных сотах, так и в геометрических узорах, которые покрывают стены и полы древних римских построек, и в лоскутных одеялах.

Мозаика оказалась плодородным разделом математики. На протяжении веков математики обнаруживали, что мозаика принимала различные формы:

• Некоторые мозаики являются периодическими, их узоры повторяются, а другие – непериодическими, их узоры не повторяются.

• Некоторые мозаики правильные: они образованы путем повторения одного правильного многоугольника, фигуры, у которого стороны и углы имеют одинаковый размер. (Например, квадрат.)

• Другие мозаики являются полуправильными, то есть состоят из более чем одного правильного многоугольника.

Анализ продолжается. В 1891 году русский кристаллограф Евграф Федоров доказал, что правильные мозаики входят в одну из 17 категорий. И существует 8 видов полуправильных мозаик.

Это все доказывает, что математика – не только вычисления. Математика – это еще и нечто удивительное и ценящее красоту фигур.

Художник-график из Нидерландов Мауриц Корнелис Эшер провалил экзамены, которые позволили бы ему заниматься архитектурой. Но поездка в Альгамбру, мавританский дворец XIV века, вдохновила его сконцентрироваться на создании рисунков, которые полностью заполняли бы пространство. Остальное уже история.