Если у вас когда-либо были соседи по комнате, то вы знакомы с непростой задачей, стоящей перед тремя или четырьмя людьми, которым нужно поделить аренду дома или квартиры. Справедливо посчитать, кто сколько должен заплатить, может быть сложнее, чем это кажется. Задача трудная, так как комнаты очень часто отличаются друг от друга – например, в некоторых больше ламп, а в других больше пространства – и каждый человек может оценивать любой аспект по-разному. Как разделить комнаты и аренду, чтобы каждый остался доволен, а не завидовал соседу?

Эти проблемы попадают под категорию справедливого дележа и свойственны многим областям, включая математику, экономику, право и политику; справедливый дележ занимается разделением товаров так, чтобы каждая сторона получила справедливую долю. Разделение должно также происходить таким образом, чтобы ни одна сторона не захотела поменять свою долю товара на другую. Примеры справедливого дележа можно наблюдать при разводах, на аукционах и даже на войне.

В 1999 году Френсис Су, профессор математики из колледжа Харви Мадд, опубликовал исследование, в котором объяснил, как решить проблему справедливого дележа, используя лемму Шпернера, теорему, затрагивающую раздел математики, известный как комбинаторика (см. главу 1.26). Изначально лемма затрагивает треугольники. Возьмите треугольник и разделите его внутри на маленькие треугольники. Вы можете разделить его на любое количество треугольников; просто убедитесь, что они плотно прилегают друг к другу и между ними нет свободного пространства. Дальше обозначьте вершины большого треугольника цифрами 1, 2 и 3 так, чтобы каждая вершина была обозначена разными цифрами. На этом этапе заметьте, что углы некоторых треугольников меньшего размера касаются как минимум одной стороны большого треугольника. На каждом угле напишите цифру. На стороне между вершинами 1 и 2 отметьте каждый угол меньших треугольников 1 или 2. (Какую цифру вы поставите, зависит только от вас.) На стороне между вершинами 2 и 3 отметьте каждый угол 2 или 3, а на стороне между углами 3 и 1 отметьте каждый угол 3 или 1. Что касается углов внутри большого треугольника, вы можете отметить их цифрами 1, 2 и 3 в любом порядке. Лемма Шпернера утверждает, что там должен быть хотя бы один маленький треугольник с вершинами 1, 2 и 3. Их может быть больше чем один, но их всегда будет нечетное число.

Когда лемму Шпернера применяют при дележе аренды, цифры заменяются буквами, которые обозначают имя каждого арендатора, а каждый треугольник, большой и маленький, представляет разное распределение аренды. Согласно лемме, существует такое распределение аренды, которое удовлетворит каждого жильца настолько, что он не будет завидовать ничьей комнате или доле аренды. Другими словами, так как в большом треугольнике есть маленький треугольник с вершинами 1, 2 и 3, то есть и способ распределить комнаты и аренду так, чтобы все были счастливы.

Лемма Шпернера – это пример математической находки, которая может показаться абстрактной и неприменимой в повседневной жизни, но на самом деле может помочь людям решить проблему быстро и эффективно.

Особый пример справедливого дележа возник после Второй мировой войны, когда члены антифашистской коалиции пытались выяснить, что делать с Берлином. В итоге они поделили город на четыре секции. Секции США, Великобритании и Франции сформировали Западный Берлин, а секция СССР сформировала Восточный Берлин.