Проведите эксперимент: возьмите газету и оберните ей арбуз, словно хотите подарить его другу на день рождения. Что же получается? Неважно, как усердно вы стараетесь, но на нем всегда будут складки и загибы, которые будут торчать в разные стороны; бумага никогда не будет лежать ровно на поверхности арбуза. (Чтобы бумага повторила форму арбуза, вам необходимо взять ножницы и разрезать ее на части, но даже в этом случае вам скорее всего, придется время от времени приглаживать складки.) В действительности невозможно сложить такую ровную поверхность, как лист бумаги, в форму шара, не разрезая и не сгибая его.

Обратное действие будет таким же трудным. Очистите грейпфрут так, чтобы у вас остался один кусок в форме шара, и попытайтесь его разгладить. Шкурка неизбежно порвется. Вы не сможете ее полностью разгладить, если не порежете или не порвете ее. Но почему превращение плоской поверхности в круглую или круглой в плоскую такое трудное? Что мешает плоской и круглой поверхностям спокойно преобразовываться одна в другую?

Ответ скрывается в куске пиццы и в работах Карла Фридриха Гаусса, немецкого математика, который родился в 1777 году и умер в 1855 году. (Гаусс занимает особое место в истории математики. Его считают одним из величайших математиков со времен Древней Греции и обычно называют Принцем Математики. Не забывайте, что он был учителем Августа Фердинанда Мебиуса – см. главу 1.7.) Гаусс доказал теорему об искривлении поверхности, которая известна как theorem egregium (от лат. – «выдающаяся теорема»).

Чтобы понять теорему Гаусса, представьте человека, которого уменьшили до одного дюйма и поместили на поверхность цилиндра. Если человек начинает идти, он может найти множество маршрутов, которым он может следовать. Например, он может пройти вдоль верхушки цилиндра по прямой линии. Или он может пройти вдоль изогнутой части цилиндра по кругу, пока не вернется в отправную точку. (Нам придется представить, что этот человек надел уж очень липкие ботинки.) Он также мог бы идти по спирали, кружась вокруг цилиндра и одновременно продвигаясь вдоль его длины. Теорема Гаусса гласит, что можно измерить кривизну этого цилиндра, используя все эти маршруты, их нужно умножить друг на друга, и получится значение. Плоская поверхность имеет нулевую кривизну – в конце концов, она плоская, – а криволинейная траектория имеет положительную кривизну. (Вогнутая кривая – которая выгнута внутрь – будет иметь отрицательную кривизну.) Когда вы умножаете кривизны, то в итоге умножаете положительное значение на ноль, в результате чего получается ноль (так как любое число, умноженное на ноль, дает ноль). Получается, что цилиндр имеет нулевую гауссовскую кривизну.

В теореме Гаусса также говорится о поверхности фигуры. Утверждается, что вы можете сгибать и растягивать поверхность и она будет иметь ту же гауссовскую кривизну, что и изначально, до тех пор, пока вы не нарушите ее целостность. Поэтому неважно, как сильно вы будете мять или деформировать цилиндр, гауссовская кривизна от этого не изменится.

Это приводит нас к пицце. Если вы когда-нибудь пытались держать большой кусок пиццы ровно в руке, особенно если на этом куске много расплавленного сыра и пеперони, то вы знаете, что конец пиццы всегда падает и вам становится трудно его есть. С другой стороны, если вы сложите кусок продольно, то конец вовсе не падает, а смотрит прямо, а начинка остается там, где ей и место. В чем же дело? Итак, если вы посчитаете кривизну не согнутого куска пиццы, то получите ноль. (Любые возможные траектории, по которым может пройти однодюймовый человек на поверхности куска являются плоскими.) А это значит, что вы можете сколько угодно двигать или сгибать этот кусок, но его кривизна будет все равно равна нулю.

А теперь посмотрите на кусок пиццы, конец которого смотрит вниз. Траектория от корочки до конца будет изогнутой, а траектория от одной стороны до другой – прямой. Теперь если мы сложим кусок, то траектория от одной стороны до другой будет кривой, а от корочки до конца – прямой.

Что же все это значит? Неважно, как согнут кусок, одна возможная траектория должна быть прямой (так как плоская кривая имеет нулевую гауссовскую кривизну, и нам нужен ноль в расчетах, чтобы получить в результате ноль). Если траектория между сторонами плоская, то траектория от начала до конца будет кривой. Если траектория от начала до конца плоская, то траектория между сторонами будет кривой.

Вернемся к изначальной задаче: мы не можем аккуратно обернуть арбуз бумагой или разровнять кожуру от грейпфрута потому, что плоские и круглые объекты имеют разную гауссовскую кривизну. Так что в следующий раз, когда будете заказывать пиццу, подумайте о гауссовской кривизне и смело сгибайте ваши куски пиццы.

Карл Гаусс был вундеркиндом. Однажды в школе его попросили сложить все числа от 1 до 100. Сообщается, что он нашел решение за считанные секунды. Он предложил разбить сумму на 50 пар чисел – 1 и 100, 2 и 99, 3 и 98 и т. д., сумма каждой такой пары составляла 101. Поэтому результат составлял 101 × 50, или 5050.