Книга: Математические головоломки профессора Стюарта
Назад: Последний лимерик Ферма[28]
Дальше: Квадратные остатки
Ошибка Малфатти 
Из мемуаров доктора Ватсапа
– Необычайно! – воскликнул я.
Сомс бросил в мою сторону недовольный взгляд, очевидно раздраженный тем, что его прервали, – в тот момент он с упоением копался в своей обширной коллекции гипсовых отпечатков беличьих следов.
– Ответ кажется очевидным, но тем не менее, судя по всему, неверен! – воскликнул я.
– С очевидным это бывает, – заметил Сомс. – В смысле, оказывается неверным, – добавил он тоном пояснения.
– Слышали когда-нибудь о Джан-Франческо Малфатти? – спросил я.
– Убийца с топором?
– Нет, Сомс, это был Фрэнк Макавити по прозвищу Хакер.
– Ах. Мои извинения, Ватсап, вы, разумеется, правы. Я отвлекся. Мой образец следов Ratufa macroura разрушается. Большехвостая гигантская белка.
– Малфатти был итальянским геометром, Сомс. В 1803 г. он заинтересовался вопросом о том, как высечь из клиновидного куска мрамора три цилиндрические колонны так, чтобы максимизировать их суммарный объем. Он предположил, что эта задача эквивалентна тому, чтобы вычертить на треугольном сечении куска мрамора три окружности так, чтобы максимизировать их суммарную площадь.
– Наивное, но, вероятно, верное предположение, – отозвался Сомс. – Хотя колонну, конечно, можно высечь и наискось.
– О-о, я не имел в виду… Но допустим, что его предположение было верным, поскольку вопрос всегда можно нужным образом переформулировать. Малфатти считал очевидным, что решение должно состоять из трех кругов, касающихся друг друга и двух внешних сторон треугольника.
– Понятно, в чем тут промах, – сказал Сомс тем раздражающе небрежным тоном, которым он часто пользуется, когда ему удается мгновенно схватить суть дела, не доступную большинству прочих смертных.
– А я, откровенно говоря, не понимаю, – сказал я. – Ведь если круг лежит внутри треугольника, не перекрывается другими кругами и не касается сторон и соседей так, как описано, то его можно увеличить.
– Верно, – отозвался Сомс. – Но это лишь доказывает достаточность, но не необходимость условий касания.
– Это я понимаю, Сомс. Но… как еще могли бы располагаться круги?
– Ну, касание может быть организовано и другими способами, конечно. К примеру, Ватсап: вы рассматривали простейший случай, с равносторонним внешним треугольником?
– Во-первых, – сказал Сомс, – есть вариант Малфатти, на рисунке слева. Но как насчет варианта справа? Здесь опять же ни один круг не может быть увеличен, но схема касаний иная. Маленькие круги касаются большого, но не касаются друг друга. Вместо этого есть большой круг, который касается всех трех сторон треугольника.
Я вгляделся в рисунки.
– На глаз, Сомс, в первом варианте площадь больше.
Он рассмеялся.
– Что показывает лишь, насколько легко наш глаз обмануть, Ватсап. Предположим, что стороны треугольника имеют единичную длину. Тогда вариант Малфатти имеет площадь 0,31567, но площадь второго варианта составляет 0,31997, то есть немного больше.
Бывают моменты, когда от эрудиции Сомса буквально перехватывает дыхание.
– Может быть, разница и невелика, Сомс, но вывод ясен. Малфатти ошибся.
– В самом деле. Мало того, Ватсап, разница между вариантом Малфатти и правильным решением в некоторых случаях может оказаться намного больше. К примеру, если треугольник будет длинным, тонким и равнобедренным, то верным решением будет расположить круги один на другом, и площадь такого варианта будет почти вдвое превосходить вариант Малфатти.
Он сделал паузу, чтобы швырнуть раскрошившийся гипсовый отпечаток следов Ratufa macroura через всю комнату в камин.
– Ирония в том, – добавил он наконец, – что вариант Малфатти никогда не бывает лучшим. «Жадный» алгоритм – вписать в треугольник наибольший возможный круг, затем найти наибольший круг, который вписывается в оставшиеся промежутки, и напоследок проделать то же самое в третий раз – всегда лучше и всегда приводит к верному ответу.
Дополнительную информацию см. в главе «Загадки разгаданные».
Назад: Последний лимерик Ферма[28]
Дальше: Квадратные остатки
