Многоугольники навсегда
Хотя может показаться, что эта фигура будет увеличиваться до бесконечности, на самом деле она всегда остается в пределах ограниченной области на плоскости: круга радиусом приблизительно 8,7.
Отношение радиусов окружности, описанной вокруг правильного n-угольника, и окружности, вписанной в него, равно sec π/n, где sec – это тригонометрическая функция секанс, а угол измеряется в радианах. (Если хотите измерять угол в градусах, замените π на 180°.) Таким образом, для любого n радиус окружности, описанной вокруг правильного n-угольника на рисунке, равен
S = sec π/3 × sec π/4 × sec π/5 × … × sec π/n.
Мы хотим узнать предел этого произведения при n, стремящемся к бесконечности. Возьмем логарифм:
lnS = lnsec π/3 + lnsec π/4 + lnsec π/5 + … + lnsec π/n.
Пока x мал, lnsec x ~ x²/2, так что этот ряд можно сравнить с рядом
1/3² + 1/4² + 1/5² + … + 1/n²,
который при n, стремящемся к бесконечности, сходится. Следовательно, lnS конечен, так что и S конечно. Сумма членов ряда до n = 1 000 000 дает 8,7 в качестве разумной оценки предела.
Я узнал об этой задаче, а также о приведенном ответе из книжного обзора Харольда Боаса. Этот автор нашел эту задачу в книге «Математика и воображение» Эдварда Каснера и Джеймса Ньюмена, изданной в 1940 г. Он пишет: «Может быть, если этот рисунок воспроизвести в достаточном числе книг, этот забавный пример станет частью стандартного набора задач занимательной математики».
Я стараюсь, Харольд.
