Поразительные квадраты
Основная идея здесь может быть выражена в совершенно общем виде с использованием алгебры, но я обойдусь без формальностей и проиллюстрирую ее примером. Взгляните на процесс в обратном порядке: начинаем
с 9² + 5² + 4² = 8² + 3² + 7²
и расширяем до
89² + 45² + 64² = 68² + 43² + 87².
Первое равенство несложно проверить, с этого все и начинается, но почему второе уравнение тоже верно?
Реальная величина двузначного числа [ab] составляет 10a + b. Поэтому левую часть уравнения можно записать как
(10 × 8 + 9)² + (10 × 4 + 5)² + (10 × 6 + 4)²,
что равняется
100 (8² + 4² + 6²) + 20 (8 × 9 + 4 × 5 + 6 × 4) + 9² + 5² + 4².
Аналогично правая часть уравнения превращается в
100 (6² + 4² + 8²) + 20 (6 × 8 + 4 × 3 + 8 × 7) + 8² + 3² + 7².
Сравнивая эти выражения, обнаруживаем, что первые слагаемые в них равны, потому что 6² + 4² + 8² (это то же, что 8² + 4² + 6², только в другом порядке); третьи слагаемые равны, потому что мы, собственно, с этого начали. Поэтому нам достаточно посмотреть, равны ли в этих выражениях вторые слагаемые, то есть действительно ли
8 × 9 + 4 × 5 + 6 × 4 = 6 × 8 + 4 × 3 + 8 × 7.
Если посчитать, то и другое равно 116.
Все вышесказанное сработало бы нисколько не хуже, если бы мы вместо 8, 4 и 6 использовали любые другие три однозначных числа. Так что нам, чтобы сделать конечные выражения верными, нужно просто выбрать эти числа.
Дальнейшие этапы можно объяснить аналогично.
