Пусть область представляет собой многоугольник, как на рис. 55. Для любой точки, не лежащей на линиях многоугольника, существует проходящая через нее прямая, которая выходит за пределы описывающей многоугольник окружности и не проходит ни через одну его вершину. (Вершин — конечное количество, а прямых — бесконечное, есть из чего выбрать.) Эта прямая пересекает многоугольник конечное число раз, причем число это либо четное, либо нечетное. Определим, что внутренняя часть состоит из точек, для которых это число нечетное, а внешняя — из точек, для которых оно четное. Без труда доказывается, что каждая из этих областей является связной, а многоугольник их разделяет (см. рис. 55).