При работе в двойственной сети пусть F — число граней (включая одну большую грань, окружающую сеть целиком), E — число ребер, а V — число вершин. Можно считать, что каждая грань двойственной сети имеет по крайней мере три ребра — ведь если в ней есть грань только с двумя ребрами, то она соответствует «лишней» вершине первоначальной сети, в которой встречаются всего два ребра. Такую вершину можно удалить, а два ребра объединить в одно.

Каждое ребро граничит с двумя гранями, и каждая грань имеет по крайней мере три ребра, потому E ≥ 3F/2 или, что то же самое, 2E/3 ≥ F. Согласно уравнению Эйлера, F + V — E = 2, так что 2E/3 + V — E ≥ 2. Из этого следует, что 12 + 2E ≤ 6V.

Пусть V_m — это число вершин с m соседями. Тогда V = V₆ + V₇ + V₈ + …

Поскольку каждое ребро соединяет две вершины:

Подставив в неравенство, получаем:

так что 12 + V₇ + 2V₈ + … ≤ 0,

что невозможно.