Число является совершенным, если оно равно сумме всех его собственных делителей (т. е. чисел, на которые оно делится без остатка, включая единицу, но исключая само число). Примеры таких чисел:

Евклид доказал, что если число 2ⁿ − 1 простое, то число 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) совершенно. Приведенные выше примеры соответствуют n = 2, 3. Простые числа такого вида называются простыми Мерсенна, их известно 47 штук, и самое большое из них 2^43 112 609 − 1 (кроме того, это самое большое известное простое число). Эйлер доказал, что все четные совершенные числа должны иметь такой вид, но никому еще не удалось отыскать хотя бы одно нечетное совершенное число или доказать, что их не существует. Померанс предложил нестрогое рассуждение, которое вроде бы указывает, что таких чисел действительно нет. Любое нечетное совершенное число должно удовлетворять нескольким жестким условиям. По величине оно должно быть не меньше 10³⁰⁰, должно иметь простой делитель больше чем 10⁸, его второй по величине простой делитель должен быть по крайней мере 10⁴; кроме того, у него должно быть по крайней мере 75 простых делителей и по крайней мере 12 различных простых делителей.