Глава 16. Сферичность буквально повсюду

Апелляция преподобного Стэкпола к вездесущности круглых объектов находит отклик в нашей душе. Обезьяны-сказочники предпочитают ясные, простые геометрические формы. Круги и сферы занимали почётное место в первых теориях планетарного движения, например у Птолемея и его последователей (смотри главу 22). В какой-то степени вся современная наука с её не менее ясными и простыми математическими законами берёт своё начало в той древней традиции, когда определённые формы или числа имели мистический смысл. Сферичность Плоского мира Стэкпол доказывает исходя из сферичности объектов, которые не являются Плоским миром. Он пользуется уловкой, весьма популярной среди людей, пытающихся распространить свои системы верований: они указывают вам на некий «несомненный» факт, а затем обращают ваше внимание, что он полностью согласуется с их верой, тихой сапой обходя здоровенную логическую дыру. А именно: является ли их догмат единственным возможным объяснением или всё-таки имеются альтернативы?

Когда речь шла о форме Вселенной, космологи начала XX века немного напоминали преподобного Стэкпола. Они полагали, что Вселенная сферична и ведёт себя одинаково в каждой своей точке и в каждом направлении, – ведь так куда проще производить расчёты. Когда они вставили свою веру в уравнения и затем всё честно рассчитали, математика выдала ответ: Вселенная сферична. Это утверждение вскоре стало восприниматься как трюизм. Однако имеет место явный недостаток независимых источников, подтверждающих исходную гипотезу. Получился, как бы это сказать попроще, логический замкнутый круг.

Так какая же форма у нашей Вселенной на самом деле?

Вопрос, как говорится, интересный. Для того, чтобы на него ответить, нам каким-то образом надо выяснить форму всего сущего, находясь при этом внутри него, то есть в одной из его точек. На первый взгляд задача выглядит абсолютно неразрешимой. Однако мы можем продвинуться по пути её решения, если позаимствуем кое-какие трюки из рассказов о квадрате и муравье.

В 1884 году директор Школы Лондонского Сити, богослов и шекспировед Эдвин Эббот Эббот опубликовал небольшую, но очень любопытную книжицу – «Флатландия», которая переиздаётся до сих пор. Главный герой по имени А. Квадрат живёт в плоском, с точки зрения евклидовой геометрии, мире. Его вселенная – это бесконечная двухмерная плоскость. И хотя главной целью Эббота было написание сатиры на сексистское классовое общество Викторианской эпохи, а также объяснение свежеиспечённой идеи четвёртого измерения, он сумел нарисовать довольно складную физико-биологическую картинку двухмерного мира. Смесь сатирической фантазии и науки, «Флатландия» может быть на полном серьёзе названа «Наукой Плоского мира № 0».

Своих научных целей Эббот добился посредством пространственной аналогии: для того, кто существует в трёхмерном пространстве, пытаться понять четвёртое измерение – всё равно что для двухмерного существа понять трёхмерное. Мы говорим тут «четвёртое» исключительно из соображений удобства, памятуя, что оно совершенно не обязано быть единственным дополнительным измерением. Тогда как сама «Флатландия» в своё время действительно была практически единственной книгой в своём роде. Впоследствии появилась ещё одна история двухмерного мира: «Случай во Флатландии, или Как плоский народец открыл третье измерение», принадлежащая перу Чарльза Говарда Хинтона. Хотя его книга была опубликована только в 1907 году, Хинтон написал несколько статей о четвёртом измерении, исходя из аналогии с двухмерным миром, незадолго до того, как увидела свет эбботовская «Флатландия».

Есть косвенные свидетельства, что эти двое встречались, однако ни Хинтон, ни Эббот не оспаривали пальму первенства и не напрягались по поводу работ друг друга. В ту пору идея «четвёртого измерения», что называется, «витала в воздухе». К ней то и дело обращались серьёзные физики и математики, она будоражила умы самых разных людей – от спиритуалистов и охотников за привидениями до так называемых теологов гиперпростраства. Так же как мы, трёхмерные существа, можем наблюдать за плоской бумажной «вселенной», ничем не выдавая своего присутствия, так и четвёртое измерение – очень удобное место для поселения там всевозможных привидений, духов и богов.

А. Квадрат из истории Эббота напрочь отрицает не только наличие третьего измерения, но и саму возможность его существования, до тех пор, пока посетившая его Сфера не раскрывает ему глаза, демонстрируя трёхмерное пространство. Там, где оказалась бессильна логика, пригодился личный опыт. Эббот призывал своих читателей не вводить себя в заблуждение картиной мира, рисуемой несовершенными человеческими органами чувств. Наивно думать, что все потенциально возможные миры должны быть похожи на наш собственный, или, если точнее, на мир нашего воображения. Используя бенфордовскую дихотомию, между антропоцентризмом и космоцентризмом, Эббот твёрдо стоял на позициях последнего.

Пространство Флатландии подчиняется традиционной евклидовой геометрии, с которой Эббот пересекался ещё в школе и, похоже, они друг другу не приглянулись. Чтобы избавиться от ограничения, обусловленного формой пространства, нам понадобится более общая модель, изобретённая, по всей видимости, великим математиком Карлом Фридрихом Гауссом. Он составил изящную формулу для вычисления кривизны поверхности, то есть определения кривизны поверхности в произвольно заданной точке. Эту формулу Гаусс полагал одним из наиболее выдающихся своих достижений, называя её theorema egregium — «замечательной теоремой». Замечательно в ней прежде всего то, что она не зависит от характера вложения поверхности во вмещающее пространство. Эта формула описывает сущность самой поверхности.

Звучит, может быть, не слишком впечатляюще, но на деле из этого следует, что пространство может быть изогнутым само по себе, а не под действием внешних причин. Вообразите сферу, парящую в трёхмерном пространстве. То, что предстаёт перед вашим мысленным взором, определённо искривлено. Подобный взгляд на кривизну естественен для человеческого воображения, однако он предполагает наличие окружающего пространства, внутри которого будет искривляться сфера. Формула Гаусса не оставляет камня на камне от этой идеи: она доказала, что искривление сферы можно обнаружить, не покидая её поверхности. Чтобы иметь направление для искривления, поверхности не требуется окружающее пространство, становящееся, таким образом, несущественным.

По словам биографа Гаусса, Сарториуса фон Вальтерсхаузена, великий математик имел привычку объяснять свою мысль, прибегая к образу муравья, ползущего по некой поверхности. По мнению такого муравья, кроме неё ничего не существует. Тем не менее, блуждая по поверхности с рулеткой (хорошо-хорошо, Гаусс не упоминал ни о каких рулетках, но не будем пуристами), муравей может сделать логический вывод о том, что его вселенная искривлена. Не обязательно изогнута вокруг чего-то, а просто искривлена.

Все мы когда-то учили в школе, что, согласно евклидовой геометрии, сумма углов любого треугольника равна 180°. И это верно, но только для плоской поверхности, а не для искривлённой. Возьмите глобус и нарисуйте на нём треугольник, начиная с Северного полюса и вниз до экватора, затем вдоль экватора на четверть его длины, после чего обратно назад к Северному полюсу. Стороны такого треугольника окажутся дугами на сфере. По аналогии с прямыми линиями эти дуги будут кратчайшими путями между двумя заданными точками на поверхности. Все углы этого треугольника получатся прямыми, то есть равными 90°, а их сумма будет составлять не 180°, а 270°. А что такого, спросите вы, ведь сфера не плоскость? Однако данный пример показывает нам, как, измеряя треугольники, можно определить, находимся мы на плоскости или нет. Именно это говорит нам замечательная теорема Гаусса. Метрика Вселенной, которую можно найти, проанализировав формы и размеры сравнительно небольших треугольников, расскажет муравью, как именно она искривлена. Ему достаточно будет подставить полученные данные в формулу.

Сам Гаусс был очень впечатлён своим открытием. Его ассистент, Бернхард Риман, распространил формулу на многомерные континуумы, положив начало новому разделу математики – дифференциальной геометрии. Тем не менее вычисление кривизны пространства в каждой его точке требовало огромной работы, и математики пытались понять, нет ли более простого пути решения этой задачи, пусть даже несколько менее информативного. Они искали более гибкое определение «формы», которым было бы проще пользоваться.

Способ, который они придумали, сейчас называется топологией. Она оперирует качественными характеристиками формы и не требует численных измерений. В топологии два континуума считаются одинаковыми, если один из них можно преобразовать в другой с помощью непрерывной деформации. Например, бублик и кружка с точки зрения топологии неотличимы (гомеоморфны). Представьте, что кружка сделана из какого-то пластичного материала, который можно гнуть, сжимать или растягивать. Сначала вы сплющиваете кружку в диск так, чтобы получился «блин» с ручкой. Затем уминаете «блин» до тех пор, пока он не станет одной толщины с ручкой, и получаете кольцо. Теперь остаётся лишь немного его сгладить – и вуаля, перед вами бублик. В действительности, согласно топологии, и бублик, и кружка являются просто-напросто деформированной каплей, к которой зачем-то приделали ручку.

Такая топологическая версия «формы» позволяет задать вопрос, является ли Вселенная сферической, наподобие английского пончика (без дырки) или же американского (с дыркой), а может быть, это вообще что-то гораздо более сложное? Выяснилось, что подкованный в топологии муравей сумеет многое узнать о форме своего мира, если будет обвязывать его замкнутыми верёвочными петлями и наблюдать за их поведением. Если в таком мире имеется дыра, муравей может обвязать её своей петлёй, а вот стянуть её в математическую точку и при этом не разорвать невозможно. Если дыр несколько, муравей может обвязывать петлёй каждую из них и в результате подсчитать их количество и расположение. Если же в его мире дыр нет, муравей сможет стягивать свою петлю до тех пор, пока вся она не стянется в математическую точку.

К подобному «муравьиному» мышлению, обусловленному внутренними особенностями пространства, нужно привыкнуть, однако без него современную космологию не понять, поскольку общая теория относительности Эйнштейна, используя риманово обобщение уравнений Гаусса, определяет гравитацию как искривление пространства-времени.

До сих пор мы использовали слово «искривление» в широком смысле, а именно как форму изгибов. Однако теперь нам следует быть более осторожными, поскольку с муравьиной точки зрения искривление – это весьма тонкая штука, причём, возможно, он понимает под искривлением совсем не то, что мы. В частности, муравей, обитающий на поверхности цилиндра, будет настаивать, что его вселенная ни капельки не искривлена. С точки зрения внешнего наблюдателя, цилиндр выглядит подобно свёрнутому листу бумаги, однако геометрия небольших треугольников на цилиндре точно такая же, как и на евклидовой плоскости. Не верите? Тогда просто разверните скрученный лист. Длины и углы, измеренные на поверхности листа, не изменятся. Поэтому муравей, живущий на цилиндре, волен считать, что живёт на плоскости.

И математики с космологами совершенно с ним согласны. Тем не менее цилиндр в некотором отношении отличается от плоскости. Если муравей выйдет из своего домика на поверхность цилиндра и будет двигаться вдоль его образующей, через некоторое время он вернётся туда, откуда вышел, хотя путь, по которому он двигался, воспринимается им как прямая линия. В отличие от движения по плоскости, траектория его пути обогнёт цилиндр и вернётся в исходную точку. Таким образом, здесь есть топологическое различие, хотя гауссова кривизна не может его обнаружить.

Мы заговорили о цилиндре не только потому, что он всем знаком, но и потому, что у него имеется интересный двоюродный братец – плоский тор. На первый взгляд может показаться, что это какой-то оксюморон, ведь тор выглядит как замечательно пухлый бублик. И всё же название не так уж бессмысленно, если метрически рассматриваемое пространство является плоскостью, а топологически – тором. Чтобы сделать плоский тор, надо склеить противоположные стороны квадрата, а ведь квадраты – это плоскости. Аналог такой конструкции применяется в компьютерных играх: противоположные края экрана соединены так, что, когда монстр или инопланетный корабль пропадает с одной стороны, он тут же появляется в соответствующей точке на противоположной. Программисты называют подобный приём «заворачиванием», что довольно точно отражает его сущность, хотя мы надеемся, вы не станете проверять это на практике, по крайней мере, если не хотите основать кладбище разбитых мониторов. Топологически сворачивание вертикальных сторон превращает плоский экран в цилиндр. Последующее сворачивание горизонтальных – соединяет края такого цилиндра, и у нас получается тор. Обратите внимание, края при этом вообще исчезают, и ни один инопланетянин от вас теперь не удерёт.

Плоский тор – это простейший пример общего метода, которым пользуются топологи для создания сложных пространств из простых. Возьмите одно или несколько простых пространств и склейте их, соблюдая определённые правила. Вспомните плоскую коробку с мебелью из «Икеи»: в ней куча досок и инструкции вида «Вставьте полку А в паз Б». С точки зрения математики, отдельные детали и инструкции – это всё, что вам требуется в жизни, если, конечно, вам не нужно собирать мебель на практике. Достаточно представить, как это было бы в реальности.

До изобретения космических путешествий в вопросе о форме Земли человечество сидело в одной лодке с муравьём. В отношении формы Вселенной у нас до сих пор ничего не изменилось. Тем не менее, чтобы сделать кое-какие выводы о её форме, мы, подобно муравью, можем воспользоваться соответствующими наблюдениями. Только наблюдений самих по себе недостаточно – нам потребуется ещё истолковать их в контексте неких логических концепций о природе мира. Если муравей вообще не знает, что находится на поверхности, формула Гаусса ему мало чем поможет.

В настоящей момент такой логической концепцией принято считать общую теорию относительности, рассматривающую гравитацию как искривление пространства-времени. В плоском пространстве-времени частицы движутся по прямым, точно так же, как они это делают в ньютоновской физике, если на них не действуют какие-либо внешние силы. Если же пространство-время деформировано, они движутся по криволинейным траекториям, что в ньютоновской физике соответствует воздействию силы, в частности гравитации. Эйнштейн выбросил силы, сохранив искривление. В общей теории относительности массивные тела, такие как звёзды и планеты, искривляют пространство-время; частицы начинают отклоняться от прямых траекторий из-за этого искривления, а вовсе не под действием каких-либо сил. Эйнштейн говорил, что для понимания гравитации необходимо понять геометрию Вселенной.

Ещё в самом начале существования теории относительности космологи открыли подходящую для Вселенной форму, согласующуюся с эйнштейновской теорией: гиперсферу. Топологически это самая обыкновенная сфера, под которой понимается исключительно поверхность. Сфера двухмерна: для локализации любой точки на ней достаточно двух координат. Например, широты и долготы. Гиперсфера же трёхмерна. Математики определяют её, также используя геометрию координат. К сожалению, в естественном пространстве такой фигуры не существует, поэтому мы не можем соорудить модель или нарисовать картинку.

Это не просто плотный шар, состоящий из сферической поверхности и заполнящего материала. У сферы, как и у гиперсферы, нет границ. Вот Плоский мир, он имеет границы, показывающие, где кончается, собственно, мир, а океан низвергается с Краепада. С нашим сферическим миром всё не так просто: у него границы отсутствуют. Где бы вы ни находились, оглянитесь вокруг и увидите сушу или океан. Сколько бы муравей ни бродил по такому миру, он не найдёт места, где тот заканчивается и начинается Вселенная. То же самое справедливо и для гиперсферы. Однако плотный шар всё же имеет границу – это его поверхность. Если представить, что муравей способен углубляться внутрь сферы, подобно тому, как мы перемещаемся в пространстве, то, достигнув поверхности с внутренней стороны, он должен обнаружить конец Вселенной.

Для наших целей достаточно знать, что гиперсфера – естественный аналог обычной сферы, но с одним дополнительным измерением. Для большей ясности вообразите, как может представить себе сферу муравей, а затем возьмите и добавьте одно измерение. Такой же фокус проделал А. Квадрат из Флатландии. Сфера, как известно, состоит из двух полусфер, склеенных в районе экватора. Каждую полусферу можно сплющить в плоский диск в процессе непрерывной деформации. Следовательно, для топологов сфера ничем не отличается от летающей тарелки: двух дисков, соединённых по краям. Итак, трёхмерный аналог диска – плотный шар. Отсюда следует: гиперсфера – это склеенные плотные шары. В реальном пространстве с круглыми шарами такое проделать невозможно, но математически мы можем легко вывести правило, согласно которому каждой точке на поверхности одного шара будет соответствовать точка на поверхности другого. После чего достаточно представить, что соответствующие точки совпадают, подобно тому, как совпали стороны квадрата при изготовлении плоского тора.

Гиперсфера играла значительную роль в ранних работах одного из создателей современной топологии – Анри Пуанкаре. Он работал на рубеже XIX-XX веков и, являясь одним из ведущих математиков того времени, чуть было не опередил Эйнштейна с созданием специальной теории относительности. В начале XX века Пуанкаре разработал множество базовых инструментов топологии. Он знал, что гиперсфера является фундаментом трёхмерной топологии, точно так же как сфера – двухмерной. В частности, гиперсфера не имеет «дыр», как в бублике-торе, а следовательно, в определённом смысле она является простейшим трёхмерным топологическим пространством. Пуанкаре априори предположил, что верно и обратное: любое трехмерное топологическое пространство без дыр будет гиперсферой.

Однако в 1904 году он изобрёл более сложное додекаэдрическое пространство, не имеющее дыр, но не являющееся гиперсферой. Существование подобного частного случая формы доказало, что его изначальное предположение было ошибочно. Эта неожиданная проблема заставила его добавить ещё одно условие, которое, как он надеялся, будет более полно характеризовать гиперсферу. Как известно, двухмерная поверхность является сферой тогда и только тогда, когда любая замкнутая петля на ней может быть стянута в одну точку. Пуанкаре предположил, что тем же свойством должно обладать и трёхмерное пространство гиперсферы. Он был прав, но математикам потребовалось почти сто лет для доказательства его гипотезы. В 2003 году молодой русский математик Григорий Перельман успешно доказал идею Пуанкаре. За это ему полагался миллион долларов, но, как все прекрасно помнят, от денег он отказался.

Хотя гиперсферичность Вселенной является самым простым и наиболее очевидным объяснением, с экспериментальным подтверждением у этой гипотезы пока туговато. Когда-то самой простой и очевидной формой Земли считалась плоскость, и посмотрите, к чему это привело. Поэтому космологи перестали по умолчанию полагать, что Вселенная имеет форму гиперсферы, и принялись искать другие варианты. Некоторое время одной из наиболее популярных версий, разрекламированных масс-медиа, была Вселенная в виде футбольного мяча. Издателям эта идея также весьма по душе, поскольку читатели обычно не слишком сведущи в космологии, зато все прекрасно знают, что такое футбол.

Учтите, футбольный мяч – это вам не сфера. Тогда на какое-то небольшое время футбольный мяч утратил привычную форму (18 прямоугольников, сшитых во что-то вроде куба) и приобрёл новую стильную форму: 12 пятиугольников и 20 шестиугольников, сшитых в виде усечённого икосаэдра. Это геометрическое тело возвращает нас прямиком в Древнюю Грецию. Вообще нам повезло, что мы можем говорить о таком прекрасном названии просто как о футбольном мяче. Правда, есть одно но: в действительности это никакой не усечённый икосаэдр. Это трёхмерная гиперповерхность, имеющая к усечённому икосаэдру самое отдалённое отношение. Футбол находится в другом измерении, так сказать.

А если быть совсем точным, это додекаэдрическое пространство Пуанкаре.

Короче, чтобы получить додекаэдрическое пространство Пуанкаре, вам надо начать с додекаэдра. Додекаэдр – геометрическое тело с двенадцатью гранями, каждая из которых правильный пятиугольник. Чем-то он похож на футбольный мяч, только без шестиугольников. После того как разобрались с дедекаэдром, вы соединяете вместе его противоположные грани. С реальным додекаэдром такой фокус не пройдёт, а вот с математической точки зрения можно представить всё так, что различные грани – это одно и то же, тогда нет никакой необходимости мять и плющить настоящий додекаэдр. Точь-в-точь как мы поступили с плоским тором. Хотя топологи всё равно настаивают на термине «склейка».

Додекаэдрическое пространство является более сложной вариацией плоского тора. Напомним, что плоский тор получается посредством склейки противоположных сторон квадрата. Чтобы получилось додекаэдрическое пространство, являющееся при этом трёхмерным объектом, а не поверхностью, вам надо всего-навсего взять додекаэдр и склеить его противоположные грани. В результате у вас получится трёхмерное топологическое пространство. Как и у тора, у него нет границ, причём по той же самой причине: всё, что случайно свалится с одной из граней, тут же объявится на противоположной. Таким образом, покинуть его нельзя, это пространство конечно. И точно так же как гиперсфера, дыр оно не имеет. Будь вы как тополог несколько наивным, у вас возникло бы искушение посчитать, что гипотеза прошла проверку и гиперсфера наконец-то найдена. Однако то, что у вас получилось, отнюдь не гиперсфера, даже в топологическом смысле.

Пуанкаре рассматривал своё додекаэдрическое пространство как чисто математический экзерсис, демонстрирующий ограниченность доступных в то время топологических методов, которую он намеревался преодолеть. Но в 2003 году для додекаэдрического пространства наступили его пять минут славы. Космологи наконец нашли ему применение, когда запущенный НАСА зонд микроволновой анизотропии Уилкинсона (WMAP) проводил измерения флуктуаций реликтового излучения – фонового шума, улавливаемого радиотелескопами, который считается эхом Большого взрыва. Статистика этих флуктуаций предоставляет нам информацию о том, как формировалась материя в молодой Вселенной, становясь семенем, из которого впоследствии выросли звёзды и галактики. Таким образом, WMAP способен заглянуть в далёкий космос, а по сути в прошлое, в момент, отстоящий всего на 380 тысяч лет от Большого взрыва.

Некогда большинство космологов полагало, что Вселенная бесконечна. (Пусть это и противоречит стандартной модели Большого взрыва, но так хочется как-нибудь разрешить это противоречие, ведь в образе Вселенных «до упора» есть, что ни говори, внутреннее обаяние, которое мы с вами уже почувствовали в картинке Вселенных «вниз, до самого конца». Правда, по несчастной иронии судьбы это не согласуется с теорией Большого взрыва.) Тем не менее, судя по данным WMAP, Вселенная всё-таки конечна. В бесконечной Вселенной должны были бы существовать флуктуации шума во всех частотных диапазонах, однако в полученных данных длинные волны отсутствовали. Как написали тогда в отчёте, опубликованном в журнале Nature, «в ванне не может быть океанского прибоя». Подробные результаты предоставляют нам дополнительные подсказки о возможной форме нашей маленькой вселенской «ванны», в которой не бывает прибоев. Математик Джеффри Уикс, рассчитывая статистистическую значимость флуктуаций в применении к различным вариантам потенциальных форм Вселенной, заметил, что додекаэдрическое пространство прекрасно и без каких-либо специальных оговорок описывается данными. Группа Жан-Пьера Люмине опубликовала анализ, показывающий, что, если выводы верны, размер Вселенной равняется примерно 30 миллиардам световых лет в поперечнике. Однако затем последовали другие наблюдения, и гипотеза была подвергнута остракизму, хотя, пока она существовала, было весело.

Мы, человеческие мураши, можем воспользоваться другим фокусом, чтобы узнать форму Вселенной. Если она конечна, можно предположить, что некоторые лучи света возвращаются в исходную точку. Если бы вы могли посмотреть вдоль «замкнутой геодезической» (кратчайшее расстояние на геодезической поверхности) в достаточно мощный телескоп, а скорость света была бы бесконечна, то вы могли бы увидеть собственный затылок. С учётом же ограниченности скорости света в реликтовом излучении должен быть некий порядок, формирующий в пространстве концентрические круги. Расположение этих кругов дало бы информацию о топологии пространства. Космологи и математики пытались их найти, однако без каких-либо заметных успехов. Даже если Вселенная конечна, она слишком велика, чтобы мы сумели заглянуть достаточно далеко и их обнаружить.

Поэтому сейчас ответить на вопрос о форме Вселенной легче лёгкого: она неизвестна. Мы не знаем даже, гиперсфера это или что-нибудь более замысловатое. Вселенная слишком огромна, чтобы мы могли рассмотреть её целиком, но даже если бы и могли, наше нынешнее понимание космологии и фундаментальной физики никак не соответствует уровню задачи.

Отдельные трудности современной космологии проистекают из комбинаторного подхода, при котором для одних задач применяется теория относительности, а для других – квантовая механика, без учёта того, что они противоречат друг другу. Теоретики не склонны отказываться от привычных инструментов, даже если эти инструменты никуда не годятся. Однако проблема формы Вселенной действительно нуждается в комбинации этих двух великих физических теорий. Это подводит нас к идее необходимости создания единого теоретического подхода, то есть некой «теории всего на свете», над которой много лет безуспешно бился Эйнштейн. Каким-то образом теория относительности и квантовая механика должны быть трансформированы в последовательную и непротиворечивую теорию.

Как мы уже упоминали в «Науке Плоского мира III», сегодня в этом «забеге» лидирует теория струн, в которой элементарные частицы-дробинки сменились некими многомерными формами. Некоторые вариации теории струн настаивают на девятимерном пространстве – в этом случае пространство-время должно быть десятимерным. Дополнительные шесть измерений пространства, как предполагается, либо плотно свёрнуты и мы их не замечаем, либо вообще нам недоступны. Точно так же А. Квадрат не мог без посторонней помощи покинуть пределы Флатландии, для восприятия третьего измерения ему потребовался «пинок» от Сферы. Кроме того, модная ныне теории струн ввела в оборот принципы «суперсимметрии», предсказывающие существование множества «суперпартнёров» уже известных элементарных частиц. Электрону, например, должен составлять пару «скалярный суперпартнер электрона», или, коротко, «сэлектрон», и так далее. Пока, однако, эти предсказания ничем не подтверждены. Учёные, работающие на БАК, искали суперпартнёров, но до сих пор ни одного не нашли.

Одна из последних попыток объединения, отличающаяся от большинства предпринятых ранее, уводит нас прямиком во Флатландию. Идея, принятая в математике и зачастую приносящая там свои плоды, состоит в поэтапном решении проблемы. Если слишком сложно объединить теорию относительности и квантовую механику в трёхмерном пространстве, то почему бы всё не упростить, используя весьма информативный (если не в физическом, то в математическом плане) случай двухмерного пространства, добавив к нему, естественно, одно измерение для времени? Для начала этого вполне хватит. Чтобы объединить две теории, вам нужны две теории для объединения. Итак, на что будут похожи гравитация и квантовая механика во Флатландии? Сразу заметим, что под Флатладией здесь не обязательно понимается евклидова плоскость А. Квадрата. Сгодится любое двухмерное пространство, любая поверхность. Более того, жизненно необходимы другие топологические модели, если вы хотите получить что-нибудь интересное.

Написать вразумительный аналог эйнштейновских уравнений поля для плоского пространства несложно. Это очень близко к тому, что сделал Гаусс, который всё это затеял: его муравей легко вывел бы правильные уравнения, поскольку все они завязаны на кривизне пространства. Аналогия напрашивается сама собой: просто в ключевых местах заменить тройку на двойку. Физик из Круглого мира, поляк Анджей Старушкевич, сделал это ещё в 1963 году.

Оказалось, что гравитация двухмерного мира сильно отличается от гравитации трёхмерного. В трёх измерениях теория относительности предсказывает существование гравитационных волн, распространяющихся со скоростью света. В двух измерениях никаких гравитационных волн нет. В трёх измерениях теория относительности говорит, что любая масса искривляет пространство, образуя «горб», и всё, движущееся поблизости, следует по искривлённой траектории, как если бы испытывало воздействие ньютоновской гравитации. Тело, находящееся в покое, попадает в гравитационный колодец, созданный этой массой. В двух же измерениях гравитация сворачивает пространство в конус. Движущиеся тела будут отклоняться от своего маршрута, а покоящиеся так и останутся в покое. В трёх измерениях массивные тела коллапсируют под действием собственной гравитации, формируя чёрные дыры. В двух измерениях это невозможно.

Со всеми этими различиями можно смириться, но гравитационные волны в трёхмерном мире нужны для того, чтобы связать теорию относительности с квантовой. Отсутствие гравитационных волн в двухмерном мире является сплошной головной болью, поскольку это означает, что нет ничего для квантования, то есть отсутствует точка отсчёта для разработки квантовой механики. Гравитации должны соответствовать гипотетические частицы, названные «гравитонами», а в квантовой теории у каждой частицы имеется призрачный попутчик – волна. Нет волн – нет гравитации. В 1989 году Эдвард Виттен, один из создателей теории струн, столкнулся с другими проблемами квантовой теории, связанными с полями неволновой природы. Двухмерная гравитация, рисующая сходную картинку, открыла ему глаза на недостающий элемент.

Топологию.

Даже когда гравитация не является волной, она может оказывать сильное воздействие на пространство. Решение Виттену подсказал его опыт в топологической теории квантового поля, где появляется этот элемент. Скромный тор, являющийся по сути простейшим из нетривиальных топологических пространств, сыграл тут главную роль. Мы уже упоминали о плоском торе, получаемом путём склеивания противоположных сторон квадрата. Квадрат замечателен тем, что его можно заполнить сеткой из меньших квадратов, из-за своей дискретности вызывающих у нас ассоциации с квантами, так как они похожи на маленькие дробинки. Но плоский тор можно сделать и из другой фигуры, а именно из параллелограмма.

Форму параллелограмма описывает число, называемое модулем, которое позволяет отличать длинные и узкие параллелограммы от коротких и широких. Различные модули – различные торы. И хотя все полученные таким способом торы окажутся плоскими, их метрики будут различаться. Их нельзя отобразить друг в друге, сохранив нетронутыми все расстояния. Гравитация в Торландии не нуждается в гравитонах, она меняет модуль, то есть форму пространства.

Стивен Карлип доказал наличие в Торландии аналога Большого взрыва. Однако он начинается не с точки сингулярности, а с круга, то есть с тора нулевого модуля. По прошествии времени модуль увеличивается, и круг разрастается в тор. Вначале всё это напоминает велосипедную шину и соответствует узкому параллелограмму, постепенно превращавшемуся в квадрат – стандартную модель плоского тора, который затем сворачивается в бублик. Таким образом, главная цель флатландского Большого взрыва – создание А. Квадрата. Важно то, что Карлип смог полностью заквантовать весь процесс и сформулировать его квантово-механический аналог. Это позволило физикам-теоретикам исследовать связь между квантовой теорией и гравитацией в точной математической среде.

Торландия проливает свет и на процесс квантования теории гравитации, одной из «жертв» которого стало время. Квантовая волновая функция Торландии вообще его игнорирует.

В шестой главе «Науки Плоского мира III» мы с вами беседовали о книге Джулиана Барбура «Конец времени», в которой он выдвигает идею отсутствия времени в квантовом мире, где существует лишь одна универсальная, вневременная волновая функция. Идеи Барбура широко интерпретировались как попытка доказать нам, что время – это иллюзия. Барбур пишет: «Существуют только вероятности, заданные раз и навсегда». Мы же доказывали, что помимо универсальной волновой функции в нашей Вселенной имеется и другая – базовая квантово-теоретическая функция, описывающая вероятные переходы от одного состояния к другому. Эти вероятности показывают, что некоторые состояния находятся ближе друг к другу, чем к другим. Именно это позволяет нам располагать события в их естественном порядке, придавая тем самым смысл понятию «время».

Торландия поддерживает эту идею, потому что для неё есть несколько рациональных определений времени, даже если в её квантовой волновой функции время отсутствует. Во-первых, время там можно измерить, используя торландский аналог GPS-спутников; во-вторых, с помощью длин кривых, изменяющихся в период от «Большого взрыва» до «сейчас»; в-третьих, можно воспользоваться текущим размером «вселенной». Так что Торландия отнюдь не безвременна. Просто нужно знать, как на неё посмотреть. Время Торландии подсказывает интригующую мысль: а что, если время – это всего лишь следствие гравитации?

Ещё одна идея, которую ставит под сомнение Торландия, – это голографический принцип. Он заключается в том, что квантовое состояние всего наблюдаемого универсума может быть спроецировано на горизонт событий любой чёрной дыры – точки, из которой ни для чего нет возврата. Поэтому трёхмерную Вселенную можно свести к двухмерной. Это всё равно что сделать «волшебную» фотографию, достоверно передающую все аспекты реальности. В Круглом мире, когда вам показывают фотографию лужка с пасущимися овечками, вы не знаете, не спрятались ли за некоторыми из них ягнята. Но если это будет «горизонтально-событийное» фото Вселенной, ничто не скроется от ваших глаз. Два измерения будут вести себя так же, как три. Физические законы изменятся, но всё остальное будет совпадать точь-в-точь.

Это немного похоже на то, как двухмерная голограмма создаёт трёхмерную картинку, из-за чего принцип и получил название голографического. Это наводит на мысль, что вопрос о количестве измерений не просто остаётся открытым. Вполне вероятно, что это просто не может быть определено и ответы «два» или «три» оба одновременно окажутся верными. Данная идея привела не только теорию струн к некоторому прогрессу в описании гравитации, но и к появлению в прессе статеек под броскими заголовками типа «Ты – голограмма!».

Физики начали подозревать, что схожий принцип работает при любом количестве измерений. Однако, как выяснилось, никакого голографического принципа в Торландии нет. А. Квадрат, может быть, и плоский тип, но он не голограмма. Так что мы с вами, наверное, тоже не голограммы, что, конечно, не может не радовать.

В самое последнее время всплыли ещё более радикальные идеи о форме нашей Вселенной, угрожающие разрушить самые укоренившиеся космологические представления. Вселенная может оказаться не гигантской гиперсферой и даже не евклидовой плоскостью, а чем-то намного более сложным, словно сошедшим с офортов голландца Морица Эшера.

Добро пожаловать в Эшерландию.

Гиперсфера – это классическая поверхность с постоянной положительной кривизной. Классическая поверхность с постоянной отрицательной кривизной называется гиперболической плоскостью. Её можно представить как круглый диск в обычной евклидовой плоскости, но с необычной метрикой: по мере приближения к границе диска единица измерения уменьшается. Некоторые гравюры Эшера основаны именно на свойствах гиперболической плоскости. Одна из самых знаменитых – это «Предел круга IV», хотя обычно вспоминают его «Ангелов и демонов», на которой изображён круг, заполненный чёрными демонами и белыми ангелами. Чем ближе к границе круга, тем мельче становятся фигурки, словно превращаясь в бесконечное множество. По метрике же гиперболической плоскости все эти фигурки, и ангелов, и демонов, одинакового размера.

Теория струн пытается объединить три квантово-механических взаимодействия (слабое, сильное и электромагнитное) с релятивистской силой тяжести, которая целиком зависит от кривизны пространства. Таким образом, на первый план в теории струн выходит кривизна. Всё же попытки «скрестить» теорию струн с релятивистской космологией ни к чему хорошему не привели, поскольку первая лучше ориентируется в пространствах с отрицательной кривизной, а вторая – в космосе. Который, между прочим, и является помехой.

По крайней мере, раньше так считалось.

Однако в 2012 году Стивен Хокинг, Томас Хертог и Джеймс Хартл открыли, как можно воспользоваться одной из версий теории струн и составить квантовую функцию Вселенной (точнее, для всех вероятных вариаций Вселенной) с помощью пространства с постоянной отрицательной кривизной. Это и есть Эшерландия. С точки зрения математики – потрясающее открытие, к тому же опровергающее все прежние представления о кривизне пространства-времени. Впрочем, нужно ещё убедиться, будет ли это работать с точки зрения физики.

Итак, чему мы с вами научились? Мы с вами узнали, что форма Вселенной тесно связана с законами природы и их изучение проливает немного света – и ужасно много тьмы – на возможные пути унификации теории относительности и квантовой механики. Математические модели, такие как Торландия и Эшерландия, могут открыть новые возможности путём опровержения ошибочных допущений. Но при всём этом великолепии мы так и не знаем форму нашей Вселенной. Не знаем, конечна она или бесконечна. Мы даже не уверены, сколько у неё измерений и, хуже того, можно ли их количество однозначно определить.

Подобно А. Квадрату, застрявшему во Флатландии, мы не можем покинуть пределов нашего мира и взглянуть на него со стороны. Но всё же мы, как и герой книги Эббота Эббота, можем кое-что узнать о нашем мире. В Плоском мире существа из подземельных измерений находятся на расстоянии одного-единственного заклинания. Флатландию внезапно может навестить услужливая Сфера, не дав повествованию окончательно захиреть. Однако Круглый мир работает не на нарративиуме, и надеяться на пришельца из других вселенных, видимо, не приходится.

Так что нам остаётся рассчитывать лишь на собственные силы: воображение, изобретательность, логику и должное уважение к доказательствам. С их помощью мы наверняка сможем узнать о нашей Вселенной больше. Конечная она или бесконечная? Четырёхмерная или одиннадцатимерная? Круглая, плоская или гиперболическая?

Исходя из наших нынешних познаний, она вполне может иметь форму банана.