Какое это простое число?

Книга: Тайны чисел: Математическая одиссея

Назад: Почему писатели-фантасты любят простые числа?

Дальше: Как древние греки использовали решето для приготовления простых чисел?

Рис. 1.06

Некоторые из первых математических вычислений в нашей истории были сделаны в Древнем Египте. Вот так египтяне записывали число 200 201. Уже около 6000 г. до н. э. люди начали отказываться от кочевой жизни и селиться в долине Нила. С развитием египетского общества у него возникла потребность в числах, чтобы вести учет налогов, измерять земельные участки и строить пирамиды. Как и для своего языка, египтяне использовали иероглифы для записи чисел. У них уже была развита числовая система, основанная на степенях 10, как и в той десятичной системе, которая используется нами. (Этот выбор основан не на каком-то особом математическом значении данного числа, а на том анатомическом факте, что у нас десять пальцев.) Но им еще нужно было изобрести позиционную систему, то есть такой способ записи чисел, когда положение каждой цифры соответствует той степени 10, которую она считает. Например, цифры 2 в числе 222 соответствуют различным величинам в зависимости от их места. Вместо этого египтяне предпочли создать новые символы для каждой степени 10:

Рис. 1.07. Древнеегипетские символы для степеней 10. 10 –это стилизованная пяточная кость, 100 –кольцо веревки, 1000 изображает лотос

200 201 может быть довольно кратко записано таким способом. Но лишь попытайтесь записать простое число 9 999 991 с помощью иероглифов: вам понадобится 55 символов. Хотя египтяне не осознавали важность простых чисел, у них была разработана довольно сложная математика, включающая – что неудивительно – формулу для объема пирамиды и понятие дробей. Но их числовая система была не очень-то изощренной – в отличие от системы, используемой их соседями, вавилонянами.

Рис. 1.08

Так древние вавилоняне записывали число 71. Вавилонская империя, подобно Египетской, была сосредоточена вблизи главной реки – Евфрата. С 1800 г. до н. э. вавилоняне контролировали значительную часть современных Ирака, Ирана и Сирии. Для расширения своей империи и управления ею им пришлось мастерски овладеть обращением с числами. Их записи велись на глиняных табличках, и писцы использовали деревянные палочки, или стилосы, чтобы делать отметки на сырой глине, которая потом высушивалась. Кончик стилоса имел форму клина, и вавилонское письмо теперь известно как клинопись.

Около 2000 г. до н. э. вавилоняне одними из первых пришли к идее использования позиционной системы счисления. Однако они использовали не основание 10, как египтяне, а 60. У них были различные символы для обозначения чисел от 1 до 59, а когда они доходили до 60, то начинали слева новый разряд «шестидесятков», подобно тому как мы ставим слева цифру 1 в разряде десятков, когда число становится больше 9. Итак, простое число, показанное выше, состоит из одного «шестидесятка» и символа, обозначающего 11, что вместе дает 71. У чисел от 1 до 9 имеется скрытая связь с десятичной системой, потому что они представляются горизонтальными линиями, но затем 10 представляется своим символом (рис. 1.09):

Рис. 1.09

Выбор основания 60 для системы счисления значительно более обоснован математически, чем 10. Ведь у числа 60 много делителей, что делает его удобным для проведения вычислений. Например, если у меня 60 бобов, я могу разделить их множеством способов:

60 = 30 × 2 = 20 × 3 = 15 × 4 = 12 × 5 = 10 × 6.

Рис. 1.10. Различные способы поделить 60 бобов

Как считать до 60 на пальцах

И сегодня у нас остаются следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления. В минуте 60 секунд, а в часе 60 минут. В круге 360 = 6 × 60 градусов. Имеются свидетельства, что вавилоняне использовали пальцы для счета до 60, причем довольно изощренным способом.

Если исключить большой палец, то на каждом из четырех оставшихся пальцев руки по три фаланги. Поэтому большим пальцем вы можете указать на одну из 12 фаланг. Левая рука используется для счета до 12. Затем 4 пальца правой руки используются для обозначения количества дюжин. В общей сложности вы можете так досчитать до пяти дюжин (4 дюжины на правой руке плюс одна дюжина на левой), то есть до 60.

Например, чтобы обозначить простое число 29, вам требуется показать две дюжины на правой руке и на фалангу, обозначающую 5, на левой.

Рис. 1.11

Вавилоняне близко подошли к открытию очень важного числа в математике – ноля. Ведь у вас появится проблема, если вы захотите записать клинописью простое число 3607. Оно представляется как 60 «шестидесятков» (3600 или 60 в квадрате) плюс 7. Его можно было бы перепутать с другим простым числом 67, не будь специального символа для обозначения пустого разряда. Этот символ находится посередине рис. 1.12, на котором записано число 3607.

Рис. 1.12

Но вавилоняне не считали ноль отдельным числом. Для них это был лишь символ в позиционной системе, использующийся для обозначения того, что отсутствуют определенные степени 60. Математике пришлось ждать еще 2700 лет, пока в VII в. индийцы не ввели ноль как число и не исследовали его свойства. Вавилоняне не только придумали изощренный способ записи чисел, но и первыми научились решать квадратные уравнения, чему теперь учат всех детей в школе. У них также появились намеки на теорему Пифагора о прямоугольных треугольниках. Однако нет никаких свидетельств того, что вавилоняне ценили красоту простых чисел.

Какое это простое число?

Рис. 1.13

Центральноамериканская цивилизация майя находилась в своем расцвете с 200 по 900 г. Ее территория простиралась от Южной Мексики через Гватемалу до Сальвадора. У них была изощренная числовая система, разработанная для проведения сложных астрономических вычислений. Вот так они записали бы число 17. В отличие от египтян и вавилонян, основанием числовой системы у майя было 20. Они использовали точку для обозначения единицы, две точки – для двух, три точки – для трех. Подобно тюремному заключенному, отмечающему мелом дни на стене, они проводили черту через четыре точки, когда доходили до 5. Итак, черта соответствует пяти.

Эта система соответствует тому принципу, что наш мозг может быстро распознавать небольшие количества – мы легко различаем один, два, три или четыре предмета, – но далее положение становится все сложнее и сложнее. После того как майя доходили до 19 – трех черт, над которыми было четыре точки, – они начинали новую колонку, подсчитывавшую количество двадцаток. Следующая колонка должна была бы учитывать количество групп по 400 (20 × 20), но в причудливой системе майя она учитывала количество групп по 360 (20 × 18). Этот странный выбор связан с циклами в календаре майя. Один цикл состоит из 18 месяцев, в каждом из которых по 20 дней. (Таким образом, получается 360 дней. Чтобы получить 365 дней в году, они добавляли дополнительный месяц, в котором было 5 «плохих дней», считавшихся крайне несчастливыми.)

Интересно, что, как и у вавилонян, у майя был специальный символ для обозначения отсутствия определенных степеней 20. Каждый разряд в их числовой системе был связан с тем или иным богом, и оттого считалось непочтительным, что богу ничего не дано. Поэтому «ничто» обозначалось изображением ракушки. Создание этого символа было в равной мере обусловлено математическими и религиозными соображениями. Но, как и вавилоняне, майя не считали ноль самостоятельным числом.

Майя была нужна числовая система, способная считать очень большие числа, потому что их астрономические вычисления охватывали огромные временные циклы. Один цикл времени, измеряемый так называемым «длинным счетом», начался 11 августа 3114 г. до н. э., в нем пять разрядов, и он длится 20 × 20 × 20 × 18 × 20 дней. Это составляет 7890 лет. Значимой датой в календаре майя будет считаться 21 декабря 2012 г., которое соответствует 13.0.0.0.0. Подобно тому как дети на задних сиденьях машины ждут, когда одометр совершит полный круг, жители Гватемалы полны предвкушения наступающего события. Однако некоторые пророки конца света утверждают, что он придется на этот день.

Рис. 1.14

Хотя это скорее буквы, чем числа, именно так записывается число 13 на иврите. В еврейской традиции гематрии буквам алфавита даны числовые значения. Так, гимел – третья буква алфавита, а йод – десятая. Поэтому эта комбинация букв представляет число 13. В таблице 1.01 приведены числовые значения всех букв.

Люди, сведущие в каббале, любят игры с числовыми значениями различных слов и их интерпретациями. Например, числовое значение моего имени

такое же, как и у «славного человека», либо, альтернативно, у «ослов». Одно из объяснений того, что 666 считается числом зверя, состоит в том, что таково числовое значение имени Нерон, который был одним из самых жестоких римских императоров.

Таблица 1.01

Хотя простым числам не придавалось особого значения в еврейской культуре, таким значением обладали родственные им числа. Возьмите какое-либо число и найдите все числа (за исключением самого числа), на которые оно делится без остатка. В случае, когда сумма всех найденных делителей равна самому числу, оно называется совершенным. Первое совершенное число – это 6. Помимо самого числа 6 его делителями являются 1, 2 и 3. Сложите их вместе, и вы снова получите 6. Следующее совершенное число – это 28. Сумма его делителей 1, 2, 4, 7 и 14 опять-таки равна 28. Согласно иудаизму, мир был создан за 6 дней, а в лунном месяце еврейского календаря было 28 дней. Это привело к сложившемуся в еврейской культуре убеждению, что у совершенных чисел должно быть особое значение.

Вы можете найти число, отвечающее вашему имени, сложив значения, приведенные в таблице 1.01. Чтобы найти другие слова, отвечающие тому же числовому значению, что и ваше имя, посетите .

Математические и религиозные свойства совершенных чисел также отмечались христианскими комментаторами. Святой Августин (354–430) написал в своем знаменитом труде «О граде Божьем»: «Шесть – совершенное число само по себе, а не потому, что Бог сотворил все сущее за шесть дней; скорее наоборот. Бог сотворил все сущее за шесть дней, потому что это число совершенно».

Весьма интригует то, что за совершенными числами скрываются простые. Каждое совершенное число соответствует простому числу специального вида, так называемому числу Мерсенна (подробнее о них далее в этой главе). К настоящему времени нам известны лишь 47 совершенных чисел. В самом большом из них 25 956 377 цифр. Четные совершенные числа всегда имеют вид 2^N – 1(2^N – 1). Всякий раз, когда 2^N – 1(2^N – 1) совершенно, 2^N – 1 является простым числом и наоборот. Мы до сих пор не знаем, существуют ли нечетные совершенные числа.

Какое это простое число?

Рис. 1.15

Вы могли бы подумать, что это 5, ведь рисунок определенно походит на 2 + 3. Тем не менее это вовсе не знак плюс, а китайский символ 10. Рисунок соответствует записи двух десятков и трех единиц, то есть 23.

В традиционном китайском письме не использовалась позиционная система, а был свой иероглиф для различных степеней 10. Но имелась и альтернативная система со счетными палочками. Эта система эволюционировала из счетной доски, в которой использовались бамбуковые палочки, и была позиционной. Каждый раз при достижении десяти начиналась новая колонка. Вот так записываются числа от 1 до 9 на счетных палочках:

Рис. 1.16

Во избежание путаницы через разряд (а именно для десятков, тысяч, сотен тысяч…) числа поворачивались, и палочки укладывались вертикально:

Рис. 1.17

В Древнем Китае даже было понятие отрицательного числа, оно представлялось счетными палочками другого цвета. Полагают, что использование черных и красных чернил в европейском бухгалтерском учете восходит к китайской практике использования черных и красных палочек. Любопытно, впрочем, что китайцы пользовались черными палочками для обозначения отрицательных чисел.

По-видимому, впервые простые числа получили свою важную роль именно в китайской культуре. В ней полагалось, что у каждого числа был свой род – у четных чисел женский, а у нечетных мужской. У некоторых нечетных чисел были замечены особенности. Например, если у вас 15 камней, то их можно выложить в аккуратный прямоугольник 3 на 5. Но 17 камней нельзя представить прямоугольником, а лишь выложить в прямую линию. Поэтому для китайцев простые числа были настоящими мачо. А у нечетных чисел, которые не были простыми, был ощутимый налет женственности.

Точка зрения древних китайцев была обусловлена тем важным свойством простых чисел, что кучку из простого числа камней нельзя разложить в аккуратный прямоугольник.

Ранее мы видели, что египтяне рисовали жаб для представления чисел, майя использовали точки и черточки, вавилоняне занимались клинописью, китайцы располагали палочки, а в еврейской культуре числа находились в соответствии с буквами алфавита. Хотя особую роль простых чисел поняли китайцы, первые шаги по раскрытию тайн этих загадочных чисел были сделаны в другой культуре – в древнегреческой.

Назад: Почему писатели-фантасты любят простые числа?

Дальше: Как древние греки использовали решето для приготовления простых чисел?